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95번 문제의 원리를 삼각형의 넓이 비에 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. 95번과 동일하게, 내각의 이등분선 정리에 따라 밑변의 분할비 BD:DC는 AB:AC와 같습니다.
2. 두 삼각형 ABD와 ADC는 꼭짓점 A를 공유하므로 높이가 같습니다.
3. 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비는 **밑변의 길이의 비**와 같습니다.
4. 따라서 (넓이 비) ABD:ADC = (밑변 비) BD:DC = (변의 비) AB:AC 입니다. 선분 AB와 AC의 길이를 구해 그 비율을 찾으면 됩니다.
주의할 점:
각의 이등분선이 밑변을 나누는 비가, 원래 삼각형의 넓이를 나누는 비와도 같다는 점을 이해하는 것이 핵심입니다.
”
각의 이등분선과 넓이 비
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삼각형의 내각의 이등분선 정리를 이용하여 선분의 내분점 좌표를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 내각의 이등분선 정리는 **AB : AC = BD : DC** 라는 변의 길이 비 관계입니다.
2. [cite_start]먼저 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 선분 AB와 선분 AC의 길이를 각각 구합니다. [cite: 2434-2436]
3. 두 길이의 비(AB:AC)가 바로 밑변 BC를 나누는 비(BD:DC)가 됩니다.
4. 따라서 점 D는 선분 BC를 AB:AC의 비율로 내분하는 점이므로, 내분점 공식을 이용해 좌표를 구합니다.
주의할 점:
내각의 이등분선 정리를 모르면 풀 수 없는 문제입니다. ‘각의 이등분선’이라는 키워드를 보면 이 정리를 바로 떠올릴 수 있도록 암기해두어야 합니다.
”
내각의 이등분선 정리
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마름모의 두 가지 핵심 성질을 모두 활용하여 모든 미지수를 찾는 종합 문제입니다.
접근법:
1. **(성질 1: 변의 길이)** 마름모는 네 변의 길이가 같습니다. [cite_start]원점을 포함하므로 OA=OC 라는 조건을 이용하면 미지수 a의 값을 먼저 구할 수 있습니다. [cite: 2455-2457]
2. **(성질 2: 대각선 중점)** 대각선 OB와 대각선 AC의 중점이 일치한다는 성질을 이용합니다.
3. 1단계에서 구한 a값을 포함하여 AC의 중점 좌표를 구하고, 이를 OB의 중점 좌표와 같다고 놓으면 나머지 미지수 b, c의 값을 구할 수 있습니다.
주의할 점:
어떤 성질을 먼저 적용해야 미지수를 효율적으로 줄여나갈 수 있는지 판단하는 전략이 필요합니다. 이 문제에서는 변의 길이 조건을 먼저 사용하는 것이 유리합니다.
”
마름모 성질 종합 (대각선, 변)
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평행사변형의 성질과 함께 둘레의 길이 조건이 주어진 응용 문제입니다.
접근법:
1. 평행사변형의 둘레의 길이가 16√2이므로, 이웃한 두 변의 길이의 합은 그 절반인 8√2입니다. (AB+AD = 8√2 또는 AB+BC = 8√2)
2. 선분 AB의 길이는 주어진 좌표로 계산할 수 있습니다.
3. 이를 통해 선분 AD(또는 BC)의 길이를 알 수 있습니다.
4. 꼭짓점 D의 좌표를 미지수로 두고, AD의 길이가 특정 값이 된다는 방정식을 세워 풀어 모든 가능한 k값을 찾습니다.
주의할 점:
평행사변형의 성질(대각선 중점 일치)을 이용해 점 D의 좌표를 먼저 k에 대한 식으로 표현한 뒤, 변의 길이를 계산하는 방법도 있습니다.
”
평행사변형 둘레와 꼭짓점
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마름모의 성질과 무게중심 개념이 결합된 종합 문제입니다.
접근법:
1. [cite_start]먼저 91번 문제와 같이, 마름모의 두 가지 성질(대각선 중점 일치, 이웃한 변의 길이 같음)을 이용해 모든 꼭짓점의 좌표를 확정합니다. [cite: 2366-2378]
2. 꼭짓점 B, C, D의 좌표가 모두 정해졌습니다.
3. 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 BCD의 무게중심을 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
여러 단계를 거쳐야 하는 문제입니다. 각 단계에서 요구하는 개념(마름모 성질, 무게중심 공식)을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
”
마름모 성질과 무게중심
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마름모의 성질을 이용하여 미지수를 찾는 문제입니다. 마름모는 평행사변형의 성질을 모두 가집니다.
접근법:
1. **(성질 1: 평행사변형)** 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치한다는 식을 세워 미지수 a, b 사이의 관계식을 하나 얻습니다.
2. **(성질 2: 마름모)** 마름모는 네 변의 길이가 모두 같습니다. 이웃한 두 변의 길이가 같다는 조건(예: AB=AD)을 이용해 두 번째 식을 세웁니다.
3. 두 식을 연립하여 a, b의 값을 구하고, 문제의 조건(a
주의할 점:
마름모는 ‘네 변의 길이가 같다’는 성질과 ‘두 대각선이 서로를 수직이등분한다’는 성질을 모두 가지고 있습니다. 두 가지 성질 중 어떤 것을 이용하는 것이 계산이 더 편리할지 판단하는 것이 좋습니다.
”
마름모의 성질 (변의 길이, 대각선)
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무게중심의 좌표를 단서로 하여 평행사변형의 나머지 꼭짓점을 찾는 응용 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 삼각형 ABC의 무게중심 좌표를 이용해 꼭짓점 C의 좌표를 구합니다.
2. 이제 평행사변형의 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 모두 알게 되었습니다.
3. 89번 문제와 동일하게, 대각선 AC의 중점과 대각선 BD의 중점이 일치한다는 성질을 이용하여 나머지 꼭짓점 D의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
문제를 해결하기 위해 무게중심 공식을 먼저 사용하고, 그 결과를 바탕으로 평행사변형의 성질을 적용하는 단계적인 문제 해결 능력이 필요합니다.
”
무게중심을 이용한 평행사변형 꼭짓점
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평행사변형의 가장 중요한 성질 중 하나를 이용하여 꼭짓점의 좌표를 찾는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 평행사변형의 두 대각선은 **서로를 이등분**합니다. 즉, 두 대각선의 **중점이 일치**합니다.
2. 대각선 AC의 중점 좌표를 구합니다.
3. 대각선 BD의 중점 좌표를 구합니다.
4. 두 중점의 x좌표는 x좌표끼리, y좌표는 y좌표끼리 같다고 등식을 세워 미지수 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
대각선은 마주보는 꼭짓점을 이은 선분(AC와 BD)입니다. 이웃한 꼭짓점(AB와 CD)을 연결하는 실수를 하지 않도록 주의해야 합니다.
”
평행사변형의 성질 (대각선 중점)
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입체도형에서의 무게중심과 최단 거리를 묻는 고난도 문제입니다. 전개도를 활용하여 평면 문제로 바꾸어 푸는 것이 핵심입니다.
접근법:
1. 최단 거리 문제는 두 점을 평면 위에 펼쳐 직선으로 잇는 것이 기본입니다. 사각뿔의 옆면을 펼친 전개도를 그립니다.
2. 전개도 위에서 두 무게중심 G와 G’의 위치를 정확히 표시합니다.
3. GP+PQ+QG’의 최솟값은 전개도에서 **선분 GG’의 길이**와 같습니다.
4. 정삼각형의 높이와 무게중심의 성질을 이용해 한 변의 길이를 미지수 a로 두고 GG’의 길이를 a에 대한 식으로 표현합니다.
5. 이 식이 문제에서 주어진 값과 같다고 놓고 방정식을 풀어 a값을 구합니다.
주의할 점:
공간 도형을 2차원 평면(전개도)으로 변환하여 사고하는 능력이 필요하며, 정삼각형의 무게중심이 높이를 2:1로 내분한다는 성질을 정확히 활용해야 합니다.
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사각뿔의 무게중심과 최단 거리
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매우 중요한 성질을 묻는 문제입니다. 평면 위의 한 점에서 삼각형의 세 꼭짓점까지의 거리의 제곱의 합이 최소가 되게 하는 점은 그 삼각형의 무게중심입니다.
접근법:
1. 이 성질을 알고 있다면, 문제에서 요구하는 점 P는 삼각형 ABC의 무게중심과 같다는 것을 바로 알 수 있습니다.
2. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심 공식을 적용하여 점 P의 좌표를 구합니다.
3. 문제에서 요구하는 좌표의 합을 계산합니다.
주의할 점:
이 성질을 모를 경우, 점 P를 (x,y)로 두고 거리의 제곱의 합을 x, y에 대한 이차식으로 표현한 뒤, 완전제곱식으로 변형하여 최솟값을 찾아야 합니다. 이는 시간이 매우 오래 걸리므로, 성질 자체를 암기하는 것이 효율적입니다.
”
거리 제곱 합이 최소인 점 (무게중심)
