“
65번 문제와 동일하게, 주어진 선분 길이의 비를 만족시키는 두 개의 점을 모두 찾아 그 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 3AB=2BC를 비례식 **AB:BC = 2:3** 으로 변환합니다.
2. 경우 1) 점 C가 선분 AB의 바깥쪽에 있어 A-B-C 순서일 때, 점 B는 AC를 2:3으로 내분하는 점입니다.
3. 경우 2) 점 C가 선분 AB의 바깥쪽에 있어 C-A-B 순서일 때, 점 A는 CB를 1:2로 내분하는 점입니다.
4. 두 경우의 점 C 좌표를 각각 구한 뒤, 두 점 사이의 거리를 계산합니다.
주의할 점:
세 점의 위치 관계를 직선 위에 그려보면서 경우를 나누면 실수를 줄일 수 있습니다. 각 경우에 어떤 점이 내분점이 되는지를 정확히 파악하는 것이 중요합니다.
”
두 외분점 사이의 거리
“
선분 길이의 비를 만족시키는 점이 두 가지 경우로 존재할 수 있음을 이해해야 하는 문제입니다.
접근법:
1. AB=3BC 라는 조건은 AB:BC = 3:1 을 의미합니다.
2. 경우 1) 점 C가 선분 AB의 안쪽에 있을 수 있습니다. 이 경우 C는 AB를 2:1로 내분하는 점입니다.
3. 경우 2) 점 C가 선분 AB의 바깥쪽(연장선 위)에 있을 수 있습니다. 이 경우 B는 AC를 3:1로 내분하는 점입니다.
4. 두 가지 경우에 해당하는 점 C의 좌표를 각각 구하고, 문제에서 요구하는 답(좌표의 합)을 찾습니다.
주의할 점:
단순히 연장선 위의 점(외분점)만 생각하지 않고, 선분 위에 존재하는 내분점의 가능성도 함께 고려해야 모든 해를 찾을 수 있습니다.
”
내분점과 외분점의 좌표 합
“
63번 문제와 동일하게 선분의 연장선 위의 점의 좌표를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 등식 2AB=BC를 비례식 **AB:BC = 1:2** 로 변환합니다.
2. 점 C는 ‘B방향으로의 연장선’ 위에 있으므로, 세 점은 A-B-C 순서로 배열됩니다.
3. 이는 점 B가 선분 AC를 **1:2로 내분하는 점**임을 의미합니다.
4. C의 좌표를 (a,b)로 두고, AC를 1:2로 내분하는 점이 B라는 식을 세워 a,b 값을 구합니다.
주의할 점:
선분 길이의 비를 정확히 파악하고, 세 점의 위치 관계를 직선 위에 그려보면 내분점과 외분점 관계를 혼동하지 않고 풀 수 있습니다.
”
선분 연장선 위의 점 좌표
“
선분의 연장선 위의 점에 대한 조건이 주어졌을 때, 그 점의 좌표를 찾는 문제입니다. 외분점의 개념이지만, 내분점으로 해석하여 푸는 것이 더 쉽습니다.
접근법:
1. 주어진 등식 2AB=3BC를 비례식 **AB:BC = 3:2** 로 변환합니다.
2. 점 C가 연장선 위에 있으므로, 세 점은 A-B-C 순서로 배열됩니다.
3. 이는 점 B가 선분 AC를 **3:2로 내분하는 점**임을 의미합니다.
4. 점 C의 좌표를 (a,b)로 두고, AC를 3:2로 내분하는 점이 B라는 식을 세워 a,b 값을 구합니다.
주의할 점:
문제를 외분점으로 해석하여 ‘C는 AB를 5:2로 외분하는 점’으로 풀 수도 있지만, 외분점 공식은 부호 때문에 실수가 잦습니다. 내분점으로 변환하여 푸는 것이 더 안전하고 직관적입니다.
”
선분 연장선 위의 점 (외분점)
“
두 교점을 잇는 선분의 중점에 대한 정보가 주어졌을 때, 선분의 길이를 구하는 종합적인 문제입니다.
접근법:
1. 두 교점의 x좌표를 알파, 베타로 두고, 연립한 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 식으로 표현합니다.
2. 중점 M의 x좌표가 1이라는 조건(선분 MH의 길이가 1)을 이용해 (알파+베타)/2 = 1 이라는 식을 세웁니다.
3. 두 식을 이용해 미지수 a값을 구하고, 이를 통해 두 근의 합과 곱을 확정합니다.
4. 선분 PQ의 길이는 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 구하며, 이때 곱셈 공식의 변형( (베타-알파)² = (알파+베타)² – 4알파베타 )을 활용합니다.
주의할 점:
선분의 길이를 구할 때 x좌표의 차와 y좌표의 차를 모두 고려해야 합니다. 점 P, Q가 직선 위의 점이므로 y좌표의 차는 (기울기) * (x좌표의 차) 와 같다는 점을 이용하면 계산이 간편해집니다.
”
포물선과 직선 교점의 중점 활용
“
58, 59번 문제와 유사하게, 두 교점을 잇는 선분의 내분점의 정보가 주어졌을 때 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 교점 P, Q의 x좌표를 알파, 베타로 둡니다.
2. 이들은 두 식을 연립하여 만든 이차방정식의 두 근이므로, 근과 계수의 관계를 이용해 두 근의 합과 곱을 식으로 나타냅니다.
3. 선분 PQ를 1:2로 내분하는 점의 x좌표가 1이라는 조건을 이용해, 알파와 베타의 관계식을 추가로 얻습니다.
4. 두 관계식을 연립하여 알파, 베타 값을 구한 뒤, 이를 다시 근과 계수의 관계에 대입하여 k값을 찾습니다.
주의할 점:
내분점의 x좌표 정보만으로도 충분히 답을 구할 수 있습니다. y좌표까지 고려하면 계산이 복잡해질 수 있습니다.
”
포물선과 직선 교점의 내분
“
이차함수와 직선의 두 교점을 잇는 선분의 중점의 좌표가 주어졌을 때, 직선의 방정식을 구하는 문제입니다. 역시 근과 계수의 관계가 핵심입니다.
접근법:
1. 두 교점의 x좌표를 알파, 베타로 둡니다. 이들은 두 식을 연립한 이차방정식의 두 근입니다.
2. 중점의 x좌표가 3이므로, (알파+베타)/2 = 3 이라는 식을 얻습니다.
3. 1단계에서 세운 이차방정식의 근과 계수의 관계(두 근의 합)와 2단계의 식을 비교하여 직선의 기울기 m을 구합니다.
4. 중점 (3,5)는 직선 위의 점이므로, 좌표를 대입하여 y절편 n을 구합니다.
주의할 점:
중점의 좌표는 x, y 성분을 모두 활용할 수 있는 중요한 단서입니다. x좌표는 두 근의 합과, y좌표는 직선의 방정식을 완성하는 데 사용됩니다.
”
포물선과 직선 교점의 중점
“
58번 문제와 완전히 동일한 구조입니다. 근과 계수의 관계와 내분점의 성질을 결합하여 해결합니다.
접근법:
1. 두 교점의 x좌표를 알파, 베타라고 설정합니다. 이들은 두 식을 연립한 이차방정식의 두 근입니다.
2. y축 위의 점 P가 선분 AB를 1:3으로 내분하므로, 내분점의 x좌표는 0입니다. 이를 통해 알파와 베타의 관계식을 구합니다.
3. 두 식을 연립한 이차방정식에서 근과 계수의 관계(두 근의 곱)를 이용합니다.
4. 위 정보들을 종합하여 알파, 베타 값을 확정한 뒤, 두 점이 직선 위의 점임을 이용해 기울기 a를 구합니다.
주의할 점:
내분점 조건으로 두 근의 관계를 찾고, 근과 계수의 관계로 방정식을 완성하는 흐름을 이해하는 것이 중요합니다.
”
포물선과 직선 교점의 내분 (y축)
“
이차함수와 직선의 교점을 선분의 양 끝점으로 하는 내분점 문제입니다. 근과 계수의 관계를 활용합니다.
접근법:
1. 두 교점의 x좌표를 미지수 알파, 베타로 둡니다. 이들은 두 함수의 식을 연립한 이차방정식의 두 근입니다.
2. 근과 계수의 관계를 이용해 두 근의 합과 곱을 구합니다.
3. y축이 선분 AB를 1:2로 내분하므로, 내분점의 x좌표는 0입니다. 내분점 공식을 이용해 알파와 베타 사이의 관계식을 하나 더 만듭니다.
4. 두 관계식을 연립하여 알파, 베타 값을 구하고, 이를 다시 근과 계수의 관계에 대입하여 m값을 찾습니다.
주의할 점:
교점의 좌표를 직접 구하는 것이 아니라, 두 교점의 x좌표를 두 근으로 설정하고 근과 계수의 관계로 푸는 것이 훨씬 효율적입니다.
”
포물선과 직선 교점의 내분
“
55번 문제와 동일하게, 삼각형의 넓이 비를 선분의 내분비로 해석하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 삼각형 BOC와 OAC는 꼭짓점 C를 공유하고 밑변 BO와 OA가 한 직선(y=1/3x) 위에 있습니다. 따라서 높이가 같습니다.
2. 넓이의 비가 2:1이므로, 밑변의 길이의 비 **BO : OA = 2:1** 입니다.
3. 이는 원점 O가 선분 BA를 2:1로 내분하는 점임을 의미합니다.
4. 점 B의 좌표를 (a,b)로 두고, BA를 2:1로 내분하는 점이 원점(0,0)이라는 식을 세워 a, b를 구합니다.
주의할 점:
어떤 선분을 어떤 점이 몇 대 몇으로 내분하는지를 명확히 파악해야 합니다. 이 문제에서는 원점 O가 내분점 역할을 합니다.
”
삼각형 넓이 비와 선분 내분점
