“
58번 문제와 완전히 동일한 구조입니다. 근과 계수의 관계와 내분점의 성질을 결합하여 해결합니다.
접근법:
1. 두 교점의 x좌표를 알파, 베타라고 설정합니다. 이들은 두 식을 연립한 이차방정식의 두 근입니다.
2. y축 위의 점 P가 선분 AB를 1:3으로 내분하므로, 내분점의 x좌표는 0입니다. 이를 통해 알파와 베타의 관계식을 구합니다.
3. 두 식을 연립한 이차방정식에서 근과 계수의 관계(두 근의 곱)를 이용합니다.
4. 위 정보들을 종합하여 알파, 베타 값을 확정한 뒤, 두 점이 직선 위의 점임을 이용해 기울기 a를 구합니다.
주의할 점:
내분점 조건으로 두 근의 관계를 찾고, 근과 계수의 관계로 방정식을 완성하는 흐름을 이해하는 것이 중요합니다.
”
포물선과 직선 교점의 내분 (y축)
“
이차함수와 직선의 교점을 선분의 양 끝점으로 하는 내분점 문제입니다. 근과 계수의 관계를 활용합니다.
접근법:
1. 두 교점의 x좌표를 미지수 알파, 베타로 둡니다. 이들은 두 함수의 식을 연립한 이차방정식의 두 근입니다.
2. 근과 계수의 관계를 이용해 두 근의 합과 곱을 구합니다.
3. y축이 선분 AB를 1:2로 내분하므로, 내분점의 x좌표는 0입니다. 내분점 공식을 이용해 알파와 베타 사이의 관계식을 하나 더 만듭니다.
4. 두 관계식을 연립하여 알파, 베타 값을 구하고, 이를 다시 근과 계수의 관계에 대입하여 m값을 찾습니다.
주의할 점:
교점의 좌표를 직접 구하는 것이 아니라, 두 교점의 x좌표를 두 근으로 설정하고 근과 계수의 관계로 푸는 것이 훨씬 효율적입니다.
”
포물선과 직선 교점의 내분
“
55번 문제와 동일하게, 삼각형의 넓이 비를 선분의 내분비로 해석하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 삼각형 BOC와 OAC는 꼭짓점 C를 공유하고 밑변 BO와 OA가 한 직선(y=1/3x) 위에 있습니다. 따라서 높이가 같습니다.
2. 넓이의 비가 2:1이므로, 밑변의 길이의 비 **BO : OA = 2:1** 입니다.
3. 이는 원점 O가 선분 BA를 2:1로 내분하는 점임을 의미합니다.
4. 점 B의 좌표를 (a,b)로 두고, BA를 2:1로 내분하는 점이 원점(0,0)이라는 식을 세워 a, b를 구합니다.
주의할 점:
어떤 선분을 어떤 점이 몇 대 몇으로 내분하는지를 명확히 파악해야 합니다. 이 문제에서는 원점 O가 내분점 역할을 합니다.
”
삼각형 넓이 비와 선분 내분점
“
내분점이 좌표축 위에 있을 조건을 활용하여 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 점 A, B를 3:1로 내분하는 점의 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 구합니다.
2. ‘y축 위에 있다’는 것은 x좌표가 0이라는 의미입니다.
3. 1단계에서 구한 내분점의 x좌표가 0이라고 등식을 세워 a의 값을 찾습니다.
4. 확정된 점 A, B의 좌표를 이용해 선분 AB의 길이를 구합니다.
주의할 점:
y축 위의 점은 x=0, x축 위의 점은 y=0 이라는 기본 정의를 정확히 적용하는 것이 중요합니다. 문제를 끝까지 읽고 최종적으로 무엇을 구해야 하는지(길이) 확인하세요.
”
내분점이 좌표축 위에 있을 조건
“
삼각형의 넓이의 비를 선분 위 내분점의 위치로 해석하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 삼각형 APC와 ABP는 꼭짓점 A를 공유하고, 밑변 PC와 BP는 한 직선 위에 있습니다. 따라서 두 삼각형의 높이는 같습니다.
2. 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같습니다.
3. 즉, (넓이 비) APC:ABP = 2:1 이므로, (밑변 길이 비) PC:BP = 2:1 입니다.
4. 이는 점 P가 선분 BC를 1:2로 내분하는 점임을 의미합니다. 내분점 공식을 이용해 P의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
넓이의 비가 밑변의 길이의 비로 바로 연결된다는 기하학적 성질을 파악하는 것이 핵심입니다. BP:PC가 1:2인지, 2:1인지 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.
”
삼각형 넓이 비와 내분점
“
내분점이 특정 사분면에 존재할 조건을 묻는 문제입니다. 이는 내분점의 x, y 좌표의 부호를 이용한 연립부등식 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 내분점의 좌표를 미지수 t를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. ‘제1사분면에 속한다’는 것은 x좌표와 y좌표가 모두 0보다 크다는 의미입니다.
3. 따라서 (x좌표) > 0, (y좌표) > 0 이라는 두 개의 부등식을 세웁니다.
4. 두 부등식을 모두 만족하는 t의 공통 범위를 찾고, 문제에 주어진 t의 기본 범위와 종합하여 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
내분비는 항상 양수여야 하므로, (1+t) > 0, (1-t) > 0 이라는 조건이 문제에 숨어있다는 점을 인지해야 합니다. (문제에서 -1
”
내분점이 특정 사분면에 있을 조건
“
51, 52번 문제와 동일한 원리를 사용하지만, 이번에는 내분 비율에 미지수가 포함된 경우입니다.
접근법:
1. 두 점 A, B를 m:1로 내분하는 점의 좌표를 미지수 m을 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 1단계에서 구한 내분점의 x, y 좌표를 주어진 직선의 방정식에 대입합니다.
3. 대입하면 분수 형태를 포함한 m에 대한 일차방정식이 되며, 이를 풀어 m의 값을 구합니다.
주의할 점:
내분 비율이 m:n이 아닌 m:1로 주어진 것은 계산을 간편하게 하기 위함입니다. 분수방정식을 풀 때 양변에 분모를 곱하는 과정에서 계산 실수가 없도록 주의하세요.
”
m:1 내분점과 직선의 방정식
“
51번 문제와 완전히 동일한 구조의 문제입니다. 내분점을 구하여 주어진 직선의 방정식에 대입하는 유형입니다.
접근법:
1. 두 점 A, B의 좌표와 내분 비율을 이용해 내분점의 좌표를 숫자로 구합니다.
2. 그 결과로 나온 내분점의 x, y 좌표를 직선 y=2x+k의 x, y 자리에 각각 대입합니다.
3. 대입하면 미지수 k에 대한 간단한 일차방정식이 만들어지며, 이를 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
내분점 좌표 계산 시 부호를 포함한 덧셈, 곱셈 실수가 없도록 주의해야 합니다. 한 번의 계산 실수가 완전히 다른 답으로 이어질 수 있습니다.
”
내분점과 직선의 방정식
“
선분의 내분점이 특정 직선 위에 존재할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 점 A, B를 잇는 선분의 내분점 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 구합니다.
2. 점이 직선 위에 있다는 것은, 그 점의 좌표를 직선의 방정식에 대입하면 등식이 성립한다는 의미입니다.
3. 1단계에서 구한 내분점의 x좌표와 y좌표를 주어진 직선의 방정식에 대입합니다.
4. 대입하여 얻은 a에 대한 간단한 방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
이 문제에서는 내분점이 y=x 위에 있으므로, ‘(내분점의 x좌표) = (내분점의 y좌표)’ 라는 간단한 등식을 세울 수 있습니다. 직선의 형태에 따라 대입하는 방식이 달라진다는 점을 기억하세요.
”
내분점이 특정 직선 위에 있을 조건
“
선분의 양 끝점이 주어지지 않은 상태에서 중점과 내분점의 위치 관계를 이용해 선분의 길이를 구하는 독특한 문제입니다.
접근법:
1. [cite_start](방법 1: 대수적 풀이) 점 A, B를 미지수로 두고 중점 조건과 내분점 조건으로 연립방정식을 풀어 A, B 좌표를 모두 구한 뒤 길이를 계산합니다. [cite: 1562-1578]
2. (방법 2: 기하학적 풀이) 선분 AB를 4등분했다고 상상합니다. 중점은 2/4 지점이고, 3:1 내분점은 3/4 지점입니다. [cite_start]이 두 점 사이의 거리가 전체 길이의 1/4에 해당함을 이용하면 A, B 좌표 없이 전체 길이를 구할 수 있습니다. [cite: 1531-1535]
주의할 점:
방법 2와 같이 선분 위 점들의 위치 관계를 직관적으로 파악하면 복잡한 연립방정식 계산을 피하고 훨씬 빠르고 쉽게 풀 수 있습니다.
”
중점과 내분점으로 선분 길이 제곱 구하기
