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원의 방정식 일반형을 표준형으로 바꾸고, 중심이 같고 한 점을 지나는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 원의 방정식(일반형)을 완전제곱식을 이용하여 표준형으로 변환합니다.
2. 표준형으로부터 중심의 좌표를 찾습니다.
3. 구하려는 원은 중심이 같고 점 (5,1)을 지납니다. 중심과 이 점 사이의 거리를 구해 **반지름의 제곱(r²)**을 찾습니다.
4. 최종적으로 a,b,r² 값을 더합니다.
주의할 점:
일반형을 표준형으로 바꾸는 과정에서 상수항을 정확히 계산해야 합니다. 완전제곱식을 만들기 위해 더해준 값들을 우변에도 동일하게 더해주는 것을 잊지 마세요.
”
일반형을 표준형으로 변환하기
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원의 중심이 특정 직선 위에 있고, 원 위의 점으로 만들어지는 삼각형 넓이의 최댓값을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원의 방정식을 표준형으로 변형하여 중심 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 중심이 직선 y=2x-1 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
3. 삼각형 ABP의 밑변 AB는 원의 중심을 지나는 직선 위에 있으므로, 선분 AB는 이 원의 **지름**이 됩니다.
4. 삼각형 ABP의 넓이가 최대가 되려면 높이가 최대여야 하며, 이는 원의 **반지름**의 길이와 같습니다.
5. 넓이 최댓값 = 1/2 * (밑변 AB) * (높이) = 1/2 * (지름) * (반지름) = 반지름²** 이 됩니다. 이 값이 4임을 이용해 b값을 구합니다.
주의할 점:
삼각형 넓이의 최댓값을 반지름을 이용해 표현하는 것이 핵심입니다. 밑변이 지름일 때 높이의 최댓값은 반지름이라는 기하학적 관계를 파악해야 합니다.
”
삼각형 넓이 최댓값과 원의 중심
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직선이 원의 넓이를 이등분할 조건과 선분의 수직이등분선 개념을 결합한 문제입니다.
접근법:
1. ‘직선이 원의 넓이를 이등분한다’는 것은 그 직선이 원의 중심을 지난다는 의미입니다.
2. 문제에서 주어진 원의 중심 좌표를 찾습니다.
3. 선분 AB의 수직이등분선의 방정식을 미지수 a를 포함한 식으로 구합니다.
4. 이 수직이등분선이 2단계에서 구한 원의 중심을 지나야 하므로, 중심의 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
핵심적인 두 가지 기하학적 성질(넓이 이등분=중심 통과, 수직이등분선)을 정확히 이해하고 식으로 옮기는 것이 중요합니다.
”
직선이 원의 넓이를 이등분할 조건
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원의 중심의 위치를 내분점과 수직 조건을 통해 찾고, 두 점을 지나는 원의 넓이를 구하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 원의 중심이 놓여있는 직선의 방정식을 구해야 합니다. 이 직선은 선분 AB의 2:1 내분점을 지나고, 직선 AB에 수직입니다.
2. 직선의 방정식을 구한 뒤, 원의 중심을 그 직선 위의 점으로 미지수 설정합니다.
3. 이 원이 두 점 (-1,0), (2,3)을 지나므로, 중심에서 두 점까지의 거리가 같다는 등식을 세워 중심 좌표를 확정합니다.
4. 반지름을 구해 원의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
원의 중심이 선분 AB의 수직이등분선 위에 있다는 것을 간접적으로 표현한 것입니다. 문제의 조건을 해석하여 수직이등분선을 구하는 것이 첫 단계입니다.
”
수직 조건과 내분점으로 원의 중심 찾기
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324번 문제와 동일한 유형입니다. 중심이 특정 직선 위에 있고, 두 점을 지나는 원의 방정식을 완성하고 성질을 판별합니다.
접근법:
1. 원의 중심 좌표를 (a, a+1)로 설정합니다.
2. 중심에서 두 점 (1,6)과 (-3,2)까지의 거리가 반지름으로 같다는 등식을 세워 a값을 구합니다.
3. a값을 통해 중심 좌표와 반지름을 모두 확정하고, 원의 방정식을 완성합니다.
4. 완성된 원의 정보를 바탕으로 각 보기의 참/거짓을 판별합니다.
주의할 점:
각 보기에서 묻는 내용(다른 직선 위에 있는지, 넓이, 방정식의 형태)을 정확히 확인하고, 계산한 결과와 비교해야 합니다.
”
중심이 직선 위에 있는 원의 성질 판별
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중심이 특정 직선 위에 있고, 두 점을 지나는 원의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 직선 y=-2x+1 위에 있으므로, 중심의 좌표를 (k, -2k+1)로 설정하여 미지수를 하나로 줄입니다.
2. 중심에서 원 위의 두 점 (1,-6), (5,-2)까지의 거리는 반지름으로 서로 같습니다.
3. 이 ‘거리가 같다’는 조건을 이용해 k에 대한 방정식을 풀면, 중심의 좌표가 확정됩니다.
4. 중심 좌표와 주어진 점 중 하나를 이용해 반지름의 제곱(r²)을 구하고, 원의 넓이(πr²)를 계산합니다.
주의할 점:
중심이 직선 위에 있다는 조건을 이용해 미지수를 하나로 설정하는 것이 가장 효율적인 풀이법입니다.
”
중심이 직선 위에 있고 두 점을 지나는 원
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중심이 x축 위에 있고, 두 점을 지나는 원을 찾고, 이를 이용해 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심 C가 x축 위에 있으므로, 좌표를 (a, 0)으로 설정합니다.
2. 원의 중심 C에서 두 점 A, B까지의 거리는 반지름으로 같습니다(CA=CB). 이 조건을 이용해 a값을 구해 중심 C의 좌표를 찾습니다.
3. 이제 삼각형 ABC의 세 꼭짓점 좌표를 모두 알게 되었습니다.
4. 한 변(AB)을 밑변으로 길이를 구하고, 점 C에서 직선 AB까지의 거리를 높이로 구해 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
결론적으로, 중심 C는 선분 AB의 수직이등분선과 x축의 교점입니다. 수직이등분선의 방정식을 구해서 x절편을 찾는 방법으로도 중심을 구할 수 있습니다.
”
중심이 x축 위에 있는 삼각형의 외접원
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중심이 y축 위에 있고, 두 점을 지나는 원의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 y축 위에 있으므로, 중심의 좌표를 (0, a)로 설정합니다.
2. 원의 중심에서 원 위의 두 점 (2,-1)과 (3,4)까지의 거리는 반지름으로 서로 같습니다.
3. 이 ‘거리가 같다’는 조건을 이용해 방정식을 세우면, 미지수 a의 값을 구할 수 있습니다. 이를 통해 중심 좌표가 확정됩니다.
4. 중심 좌표를 이용해 반지름의 길이도 계산할 수 있습니다.
5. 완성된 원의 정보를 바탕으로 각 보기의 참/거짓을 판별합니다.
주의할 점:
중심이 특정 축 위에 있다는 조건은 중심 좌표의 미지수를 하나로 줄여주는 매우 중요한 힌트입니다.
”
중심이 y축 위에 있고 두 점을 지나는 원
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각의 이등분선 정리를 이용해 내분점을 찾고, 그 점과 다른 한 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 넓이를 구하는 융합 문제입니다.
접근법:
1. 각 A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점이 D이므로, **각의 이등분선 정리에 의해 AB:AC = BD:DC** 가 성립합니다.
2. 선분 AB와 AC의 길이를 각각 구하여 길이의 비를 찾습니다.
3. 점 D는 선분 BC를 2단계에서 구한 비율로 내분하는 점입니다. 내분점 공식을 이용해 D의 좌표를 구합니다.
4. 이제 원의 지름의 양 끝점인 A와 D의 좌표를 모두 알았습니다. 이 두 점 사이의 거리를 구해 지름을 찾고, 반지름을 계산하여 원의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
직선의 방정식 단원에서 배운 ‘각의 이등분선 정리’를 잊었다면 풀기 어려운 문제입니다. 여러 단원의 핵심 개념이 어떻게 연결되는지 보여주는 좋은 예시입니다.
”
각의 이등분선과 지름의 양 끝점
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선분의 내분점을 구하고, 그 내분점과 다른 한 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 점 A, B를 3:2로 내분하는 점 C의 좌표를 구합니다.
2. 이제 선분 BC가 새로운 원의 지름이 됩니다.
3. 원의 중심은 선분 BC의 중점입니다. 중점 공식을 이용해 중심 (a,b)를 구합니다.
4. 원의 반지름은 중심과 점 B(또는 C) 사이의 거리입니다. 거리 공식을 이용해 반지름을 구하여 r²값을 찾습니다.
주의할 점:
문제에서 어떤 선분이 내분되고, 어떤 선분이 지름이 되는지를 명확히 구분해야 합니다. 여러 점이 등장하므로 혼동하기 쉽습니다.
”
내분점과 한 점을 지름으로 하는 원
