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직선의 x, y절편을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 성질을 묻는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 x절편(A)과 y절편(B)을 각각 구합니다. 이 두 점이 지름의 양 끝점입니다.
2. (보기 ㄱ) 원의 중심은 선분 AB의 중점입니다.
3. (보기 ㄴ) 원의 둘레 길이를 구하려면 반지름이 필요합니다. 반지름은 중심과 점 A 사이의 거리입니다.
4. (보기 ㄷ) 중심과 반지름을 이용해 원의 방정식을 표준형으로 세우고, 이를 전개하여 일반형과 비교합니다.
주의할 점:
각 보기에서 요구하는 개념(중심, 둘레, 방정식)을 정확히 이해하고, 지름의 양 끝점을 이용해 각각의 값을 올바르게 계산해야 합니다.
”
직선의 절편을 지름으로 하는 원
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지름의 양 끝점으로 원을 구한 뒤, 이 원이 x축과 만나는 두 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식을 구합니다. (중점=중심, 중심과 끝점 사이 거리=반지름)
2. 원이 x축과 만나는 점을 찾기 위해, 원의 방정식에 y=0을 대입합니다.
3. y=0을 대입하면 x에 대한 이차방정식이 만들어집니다. 이 방정식의 두 근이 바로 두 교점의 x좌표입니다.
4. 두 교점 사이의 거리는 두 근의 차와 같습니다. 근과 계수의 관계를 이용하거나 두 근을 직접 구해 차를 계산합니다.
주의할 점:
원의 현의 길이를 구하는 문제로도 해석할 수 있습니다. 원의 중심에서 x축까지의 거리와 반지름을 이용해 피타고라스 정리로 현의 길이의 절반을 구하는 방법도 효율적입니다.
”
x축과 만나는 두 점 사이의 거리
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지름의 양 끝점이 주어졌을 때, 원의 방정식을 완성하고 특정 점을 대입하여 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 점 A, B를 지름의 양 끝점으로 하므로, 이 두 점의 중점을 구해 원의 중심 좌표를 찾습니다.
2. 원의 반지름은 중심과 점 A(또는 B) 사이의 거리입니다. 거리 공식을 이용해 반지름을 구합니다.
3. 이제 원의 방정식이 완전히 결정됩니다.
4. 이 원이 점 (k+3, 8)을 지나므로, 좌표를 원의 방정식에 대입하여 k에 대한 방정식을 풉니다.
주의할 점:
원의 방정식을 먼저 완벽하게 구한 뒤, 마지막에 점의 좌표를 대입하는 순서로 풀어야 합니다. ‘양수 k’라는 조건도 놓치지 마세요.
”
지름의 양 끝점으로 원을 구하고 점 대입
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지름의 양 끝점과 원의 방정식이 주어졌을 때, 미지수로 표현된 한쪽 끝점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 원의 방정식에서 중심의 좌표를 찾습니다.
2. 원의 중심은 지름(선분 AB)의 중점입니다.
3. 두 점 A(a,b)와 B(4,2)의 중점 좌표를 미지수를 포함한 식으로 나타냅니다.
4. 이 중점 좌표가 1단계에서 구한 중심의 좌표와 같다고 등식을 세워 a, b 값을 구합니다.
주의할 점:
반지름 조건을 이용할 수도 있지만, 중점 조건을 이용하는 것이 계산이 훨씬 간단합니다.
”
지름의 양 끝점과 원의 중심
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두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식을 구하는 가장 기본적인 유형입니다.
접근법:
1. 원의 중심은 지름의 양 끝점(A, B)의 중점과 같습니다. 중점 공식을 이용해 중심의 좌표 (a,b)를 구합니다.
2. 원의 반지름은 중심과 지름의 한쪽 끝점 사이의 거리와 같습니다. 또는 지름(선분 AB)의 길이의 절반과 같습니다.
3. 중심의 좌표와 반지름을 구하여 원의 방정식을 완성하고 계수를 비교합니다.
주의할 점:
지름의 양 끝점이 주어졌을 때, 원의 중심과 반지름을 구하는 두 가지 핵심 방법을 모두 숙지하고 있어야 합니다.
”
지름의 양 끝점으로 원의 방정식 구하기
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선분의 수직이등분선과 x축의 교점을 중심으로 하는 원의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 선분 AB의 수직이등분선의 방정식을 구합니다.
– 선분 AB의 중점을 구합니다.
– 직선 AB의 기울기를 구하고, 그것과 수직인 기울기를 찾습니다.
– 중점과 수직 기울기를 이용해 직선의 방정식을 완성합니다.
2. 이 직선과 x축의 교점이 원의 중심이므로, 직선의 방정식에 y=0을 대입하여 중심의 좌표를 구합니다.
3. 반지름은 중심과 원 위의 한 점(5,3) 사이의 거리입니다. 거리 공식을 이용해 반지름을 구합니다.
4. 원의 넓이(πr²)를 계산합니다.
주의할 점:
수직이등분선의 방정식을 구하는 두 가지 핵심 조건(수직, 중점)을 정확히 이용해야 합니다.
”
수직이등분선의 교점을 중심으로 하는 원
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삼각형의 무게중심을 원의 중심으로 하고, 특정 선분을 반지름으로 하는 원의 둘레를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심 G의 좌표를 구합니다. 이 점이 원의 중심입니다.
2. 원의 반지름은 선분 AG의 길이입니다. 두 점 A와 G의 좌표를 이용해 반지름의 길이를 구합니다.
3. 원의 둘레 길이 공식(2πr)을 이용해 답을 계산합니다.
주의할 점:
무게중심 공식((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)을 정확히 적용하는 것이 중요합니다. 여러 개념이 융합되었지만, 각 단계는 기본적인 계산으로 이루어져 있습니다.
”
무게중심을 중심으로 하는 원의 둘레
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선분의 내분점을 원의 중심으로 하고, 특정한 한 점을 지나는 원의 둘레를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 점 A, B를 2:1로 내분하는 점의 좌표를 내분점 공식을 이용해 구합니다. 이 점이 원의 중심입니다.
2. 원의 반지름은 중심과 원 위의 한 점(3,6) 사이의 거리입니다. 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 반지름의 길이를 구합니다.
3. 원의 둘레의 길이는 2πr 공식을 이용해 계산합니다.
주의할 점:
평면좌표 단원에서 배운 내분점 공식을 정확하게 기억하고 적용하는 것이 첫 단계입니다. 문제에서 원의 넓이를 묻는지, 둘레를 묻는지 마지막까지 확인해야 합니다.
”
내분점을 중심으로 하는 원의 둘레
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310번 문제와 동일한 구조입니다. 중심이 같고, 한 점을 지나는 원의 방정식을 완성한 뒤, 다른 점을 대입하여 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 원의 중심 좌표를 찾습니다.
2. 이 중심과 점 (4,-4)를 지나는 원의 반지름을 구합니다. (두 점 사이의 거리 공식 이용)
3. 이제 중심과 반지름을 모두 알았으므로 원의 방정식이 완성됩니다.
4. 완성된 원의 방정식에 또 다른 점 (a, 1)의 좌표를 대입하여 a에 대한 이차방정식을 풉니다.
5. 문제에서 ‘모든 실수의 값의 합’을 물었으므로, 근과 계수의 관계를 이용하거나 두 근을 직접 더합니다.
주의할 점:
한 문제를 푸는 데 여러 기본 개념(중심 찾기, 반지름 구하기, 점 대입, 이차방정식 풀이)이 순차적으로 사용됩니다. 각 단계별 계산을 정확하게 해야 합니다.
”
두 함수가 같을 조건과 원의 방정식
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원의 중심이 같고, 특정한 한 점을 지나는 새로운 원의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 원의 방정식에서 중심의 좌표를 찾습니다.
2. 구하려는 원은 중심이 같으므로, 중심 좌표와 미지수 반지름 r을 이용해 원의 방정식 표준형을 세웁니다.
3. 이 원이 점 (-1, 1)을 지난다고 했으므로, 좌표를 대입하여 반지름의 제곱(r²) 값을 구합니다.
4. 반지름을 구한 뒤, 원의 둘레의 길이(2πr)를 계산합니다.
주의할 점:
중심 좌표와 원 위의 한 점이 주어지면, 두 점 사이의 거리가 곧 반지름의 길이가 됩니다. 이 관계를 이용해 반지름을 구할 수도 있습니다.
”
중심이 같고 한 점을 지나는 원의 둘레
