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파푸스의 중선정리를 일반화한 스튜어트의 정리와 관련된 문제입니다. 좌표를 설정하여 직접 증명하는 과정을 보여줍니다.
접근법:
1. 중선정리 증명과 마찬가지로, 도형을 풀기 쉬운 위치에 놓는 **좌표 설정**이 중요합니다. 점 B를 원점에, 변 BC를 x축 위에 놓습니다.
2. 문제에서 주어진 조건(삼등분점)에 맞게 각 점의 좌표를 문자로 표현합니다.
3. 증명하려는 등식의 좌변과 우변을 각각 좌표를 이용해 계산합니다.
4. 두 결과가 같음을 확인하고, 빈칸에 알맞은 식을 찾습니다.
주의할 점:
좌표를 이용한 증명 문제는 계산 과정이 길고 복잡하지만, 원리는 단순합니다. 각 선분의 길이를 좌표를 이용해 정확히 표현하는 능력만 있다면 해결할 수 있습니다.
”
좌표를 이용한 도형 성질 증명
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직각삼각형의 외심에 대한 성질을 정확히 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 문제에서 ‘외심이 변 AB 위에 있다’는 결정적인 힌트를 주었습니다. 이는 삼각형 PAB가 변 AB를 빗변으로 하는 직각삼각형임을 의미합니다.
2. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로, 주어진 외심 (8,6)은 선분 AB의 중점입니다.
3. 외심으로부터 세 꼭짓점까지의 거리는 모두 같으므로, 외심과 점 P 사이의 거리는 **외심과 원점 O 사이의 거리**와 같습니다.
주의할 점:
점 A, B, P의 좌표를 직접 구하려고 하면 문제가 매우 복잡해집니다. ‘외심이 빗변 위에 있다’는 기하학적 성질을 해석하여 풀이의 방향을 잡는 것이 핵심입니다.
”
직각삼각형과 외심의 성질
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수직선 위의 내분점과 중점의 개념을 그림을 통해 직관적으로 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 그림에서 각 점 사이의 간격이 모두 동일하다는 것을 파악합니다. 이 간격을 1이라고 가정하고 각 점에 상대적인 좌표를 부여하면 이해하기 쉽습니다. (예: P=0, Q=1, A=2 …)
2. 보기의 각 문장이 맞는지 확인합니다.
ㄱ. P와 R의 한가운데에 A가 있는지 확인합니다.
ㄴ. 점 Q가 선분 PB를 1:2로 나누는 점인지 확인합니다.
ㄷ. 점 R이 선분 AS를 2:1로 나누는 점인지 확인합니다.
주의할 점:
내분점을 ‘m:n으로 내분한다’는 것은 해당 점으로부터의 거리의 비가 m:n이라는 의미입니다. 기준이 되는 두 점을 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.
”
수직선 위 내분점/중점 이해
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22번 문제와 동일하게 직각삼각형의 외심의 성질을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘외심 P가 변 BC 위에 있다’는 것은 삼각형 ABC가 **변 BC를 빗변으로 하는 직각삼각형**임을 의미합니다.
2. 외심의 정의에 따라, 외심 P에서 세 꼭짓점 A, B, C까지의 거리는 모두 같습니다(PA=PB=PC).
3. 따라서 빗변 BC의 길이는 **선분 PA 길이의 2배**와 같습니다.
4. 피타고라스 정리에 의해 AB² + AC² = BC² 이므로, 최종적으로 AB² + AC² = (2PA)² 이 성립합니다.
주의할 점:
외심의 성질을 이용해 변 BC의 길이를 PA의 길이로 치환하여 표현할 수 있다는 점이 이 문제 풀이의 핵심 아이디어입니다.
”
직각삼각형과 파푸스의 중선정리
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여러 개의 조건을 종합하여 수직선 위에 표현되지 않은 점들의 위치를 추론하고 길이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 점 B(1), D(5)를 기준으로 나머지 점들의 좌표를 순서대로 찾습니다.
2. (나) 조건에서 점 C는 선분 AD를 2:1로 내분하므로, C의 좌표를 이용해 A의 좌표를 찾을 수 있습니다.
3. (가) 조건에서 점 B는 선분 AC의 중점이므로, A와 C의 좌표를 이용해 B의 좌표가 1이 맞는지 검산하거나, B와 C를 이용해 A를 찾을 수 있습니다.
4. (다) 조건에서 점 D는 선분 CE의 중점이므로, C와 D의 좌표를 이용해 E의 좌표를 찾습니다.
주의할 점:
각 조건에서 어떤 점이 기준이고 어떤 점이 내분점(또는 중점)인지 주어를 명확히 구분해야 실수를 줄일 수 있습니다.
”
수직선 위 내분점/중점 좌표 계산
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루트가 포함된 복잡한 식의 최솟값을 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리의 합으로 해석하여 푸는 문제입니다.
접근법:
1. 식의 각 항을 두 점 사이의 거리로 해석합니다. [cite_start]첫 번째 항은 (x,0)과 (0,4) 사이의 거리, 두 번째 항은 (x,0)과 (3,-2) 사이의 거리로 볼 수 있습니다. [cite: 1137-1146]
2. 즉, 이 문제는 x축 위의 한 점(x,0)에서 두 정점(0,4), (3,-2)에 이르는 거리의 합의 최솟값을 구하는 것과 같습니다.
3. 거리의 합이 최소가 되는 경우는 **세 점이 일직선 위에 있을 때**이므로, 최솟값은 두 정점 (0,4)와 (3,-2) 사이의 거리와 같습니다.
주의할 점:
주어진 식을 그대로 계산하는 것이 아니라, 좌표평면 위의 선분의 길이로 기하학적인 의미를 부여하여 해석하는 능력이 필요합니다.
”
거리의 합 최솟값 (좌표 설정)
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수직선 위의 두 점에 대한 내분점과 중점의 좌표를 구하는 공식을 정확히 사용하는지 확인하는 문제입니다.
접근법:
1. 선분 AB를 3:2로 내분하는 점 P의 좌표를 내분점 공식을 이용해 구합니다.
2. 선분 AB를 2:3으로 내분하는 점 Q의 좌표를 내분점 공식을 이용해 구합니다.
3. 앞에서 구한 두 점 P와 Q의 중점 M의 좌표를 중점 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
내분점 공식에서 비율과 좌표를 엇갈려 곱하는 순서를 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다. 수직선 위의 공식은 x좌표 공식과 동일합니다.
”
수직선 위 내분점과 중점
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두 정점과 임의의 한 점을 잇는 두 선분의 길이 합(AP+PB)의 최솟값을 묻는 가장 기본적인 유형입니다.
접근법:
1. 삼각형의 결정 조건에 의해, 점 P가 어디에 있든 항상 **AP + PB ≥ AB** 가 성립합니다.
2. 등호는 점 P가 **선분 AB 위에 있을 때** 성립하므로, AP+PB의 최솟값은 바로 선분 AB의 길이 그 자체가 됩니다.
3. 따라서 두 점 A와 B 사이의 거리를 구하면 그것이 바로 최솟값입니다.
주의할 점:
점이 특정 축이나 직선 위에 있다는 제한 조건이 없는 ‘임의의 점 P’일 경우, 최솟값은 항상 두 정점을 셔틀처럼 왕복하지 않고 직선으로 이은 거리라는 점을 기억하세요.
”
두 점과 임의의 점 사이 거리 합 최솟값
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25번 문제와 완전히 동일한 원리를 적용하는 문제입니다. 점의 좌표만 바뀌었습니다.
접근법:
1. [cite_start]문제의 식은 원점 O(0,0)과 점 A(a,b) 사이의 거리, 그리고 점 A(a,b)와 점 B(2,-1) 사이의 거리의 합을 의미합니다. [cite: 1170-1174]
2. 이 거리의 합(OA+AB)이 최소가 되려면, 세 점 O, A, B가 **일직선 위에 있어야** 하며, 점 A는 선분 OB 위에 있어야 합니다.
3. 따라서 최솟값은 **선분 OB의 길이**와 같습니다. 원점 O와 점 B 사이의 거리를 구하면 됩니다.
주의할 점:
미지수 a, b가 포함되어 있어 복잡해 보이지만, 기하학적 의미를 파악하면 실제 계산은 매우 간단해지는 문제입니다. 식의 구조를 파악하는 것이 중요합니다.
”
세 점 사이 거리 합 최솟값
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네 점까지의 거리의 합(PO+PA+PB+PC)의 최솟값을 묻는 응용 문제입니다.
접근법:
1. 거리의 합을 두 쌍으로 묶어서 생각합니다: (PA+PC) + (PO+PB).
2. 삼각형의 결정 조건에 의해 PA+PC의 최솟값은 **선분 AC의 길이**이고, PO+PB의 최솟값은 **선분 OB의 길이**입니다.
3. 전체 합이 최소가 되는 경우는 점 P가 **두 대각선(AC와 OB)의 교점**에 위치할 때입니다.
4. 따라서 최솟값은 두 대각선의 길이의 합, 즉 AC + OB 입니다.
주의할 점:
점이 3개 이상일 때는 적절히 두 개씩 짝을 지어 각각의 최솟값 조건을 생각하고, 그 조건들이 동시에 만족될 수 있는 지점을 찾는 것이 일반적인 해결 전략입니다.
”
네 점과 임의의 점 사이 거리 합 최솟값
