“
선분 길이의 ‘제곱의 합’의 최솟값을 구하는 문제입니다. 거리의 합 최솟값 문제와는 풀이법이 완전히 다릅니다.
접근법:
1. x축 위의 점 P의 좌표를 (b, 0)으로 설정합니다.
2. AP²과 BP²을 각각 b에 대한 식으로 나타냅니다. 제곱이므로 루트가 사라져 계산이 간편합니다.
3. 두 식을 더하면 b에 대한 간단한 **이차함수**가 만들어집니다.
4. 이 이차함수의 꼭짓점을 찾아 최솟값과 그때의 b값을 구하면 됩니다.
주의할 점:
대칭이동을 이용하는 ‘거리의 합’ 최솟값 문제와 절대 혼동해서는 안 됩니다. ‘제곱의 합’은 항상 이차함수의 최대·최소 문제로 귀결된다는 점을 기억하세요.
”
거리 제곱의 합 최솟값 (x축 위)
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30번 문제에서 점 P의 위치가 ‘x축 위’가 아닌 임의의 점으로 확장된 유형입니다.
접근법:
1. 임의의 점 P의 좌표를 (a, b)로 설정합니다.
2. AP² + BP²의 값을 a와 b에 대한 식으로 나타냅니다.
3. 식을 a에 대한 완전제곱식과 b에 대한 완전제곱식으로 각각 정리합니다.
4. 식이 최소가 되려면 각각의 완전제곱식이 0이 되어야 하므로, 이를 통해 a와 b의 값을 찾을 수 있습니다. 이때의 점 P는 **선분 AB의 중점**이 됩니다.
주의할 점:
결론적으로, 두 점으로부터 거리의 제곱의 합이 최소가 되는 점은 두 점의 중점입니다. 이 사실을 알고 있다면 검산이나 빠른 문제 풀이에 도움이 됩니다.
”
거리 제곱의 합 최솟값 (임의의 점)
“
거리의 제곱의 합 최솟값 문제에서 점 P가 특정 직선 위에 있도록 조건이 추가된 유형입니다.
접근법:
1. 점 P가 직선 y=x+3 위에 있으므로, 좌표를 (a, a+3)으로 설정하여 미지수를 하나로 줄입니다.
2. AP² + BP²의 값을 a에 대한 식으로 나타내고 전개합니다.
3. 결과적으로 a에 대한 이차함수가 만들어지며, 이 함수의 꼭짓점에서 최솟값이 발생합니다.
4. 최솟값을 가질 때의 a값을 구하고, 이를 이용해 점 P의 좌표와 문제의 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
30, 31, 32번 문제는 점 P의 조건(x축 위, 임의의 점, 직선 위)에 따라 풀이 시작 부분의 좌표 설정만 달라질 뿐, 최종적으로 이차함수의 최대·최소를 이용하는 핵심 원리는 동일합니다.
”
거리 제곱의 합 최솟값 (직선 위)
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삼각형의 중선과 세 변의 길이 사이에 성립하는 관계식인 파푸스의 중선정리를 증명하는 과정입니다.
접근법:
1. 증명을 위해 도형을 좌표평면 위에 편리하게 배치하는 것이 중요합니다. 변 BC의 중점 M을 **원점(0,0)**에, 변 BC를 x축 위에 놓습니다.
2. 이렇게 하면 각 꼭짓점의 좌표를 간단한 문자로 표현할 수 있습니다. (예: B(-c,0), C(c,0), A(a,b))
3. 중선정리 공식의 좌변(AB²+AC²)과 우변(2(AM²+BM²))을 각각 좌표를 이용해 계산합니다.
4. 두 결과가 일치함을 보이면 증명이 완료됩니다.
주의할 점:
이 문제는 공식 자체를 암기하고 있는지도 중요하지만, 좌표를 이용해 도형의 성질을 어떻게 증명하는지의 과정을 이해하는 것이 더 중요합니다.
”
중선정리 증명 (파푸스의 정리)
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두 점 사이의 거리가 ‘4 이하’가 되도록 하는 조건을 다루므로, 거리 공식을 이차부등식으로 풀어내는 문제입니다.
접근법:
1. 두 점 사이의 거리를 구하는 식을 세우고, 4보다 작거나 같다는 부등식을 만듭니다.
2. 계산의 편의를 위해 양변을 제곱하여 루트를 제거한 이차부등식을 만듭니다.
3. 이차부등식을 풀어 미지수 a의 범위를 구합니다.
4. 해당 범위에 포함되는 정수의 개수를 정확하게 세어 답을 구합니다.
주의할 점:
부등식을 풀 때 부등호의 방향이 바뀌지 않도록 주의해야 합니다. 특히, 마지막에 정수 개수를 셀 때 범위의 양 끝 값이 포함되는지(등호의 유무)를 반드시 확인해야 합니다.
”
거리 조건 만족하는 정수 개수
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정삼각형의 성질을 이용하여 나머지 한 꼭짓점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같습니다. 즉, **AB = BC = CA** 입니다.
2. 이 조건을 식으로 변환하면, **AB² = BC²** 과 **BC² = CA²** 라는 두 개의 등식을 얻을 수 있습니다.
3. 구하려는 점 C의 좌표를 (a,b)로 두고 이 두 개의 등식을 연립하여 a와 b의 값을 구합니다.
4. 문제의 ‘제2사분면의 점’이라는 조건을 이용해 최종 좌표를 확정합니다.
주의할 점:
미지수가 2개이므로 식도 2개가 필요하다는 점을 기억해야 합니다. 연립방정식의 풀이가 복잡할 수 있으니 침착하게 계산해야 합니다.
”
정삼각형의 나머지 꼭짓점 찾기
“
두 선분의 길이가 일정한 비례 관계를 가질 때, 미지수의 값을 찾는 응용문제입니다.
접근법:
1. 선분 AC의 길이와 선분 BC의 길이를 각각 거리 공식으로 표현합니다.
2. 문제의 조건에 따라 등식을 세웁니다. 이때 계산을 쉽게 하기 위해 양변을 제곱하여 루트를 없애는 것이 효율적입니다.
3. 식을 정리하면 미지수 a에 대한 이차방정식이 나타나며, 모든 실수의 합을 구하기 위해 근과 계수의 관계를 적용합니다.
주의할 점:
단순히 두 길이가 같다고 착각하지 않도록 문제의 비례 관계를 정확히 식으로 옮겨야 합니다. 제곱할 때 비례 상수(숫자)도 함께 제곱하는 것을 잊지 마세요.
”
두 거리의 비례식과 미지수
“
세 꼭짓점의 좌표를 이용해 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다. 먼저 삼각형의 종류를 판별하는 것이 효율적입니다.
접근법:
1. 16번 문제와 같이, 세 변의 길이를 모두 구하여 삼각형의 종류를 먼저 파악합니다.
2. [cite_start]이 문제는 세 변의 길이의 제곱 사이에 피타고라스 정리가 성립하는 직각삼각형입니다. [cite: 1049]
3. 따라서 직각을 낀 두 변을 밑변과 높이로 삼아 넓이를 간단하게 계산할 수 있습니다.
주의할 점:
만약 직각삼각형이 아니라면 ‘신발끈 공식’을 사용하거나, 한 변을 밑변으로 정하고 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 높이를 구해야 합니다. 종류 판별이 풀이 전략을 결정합니다.
”
세 좌표로 직각삼각형 넓이 구하기
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정사각형의 성질과 두 점 사이의 거리 공식을 함께 활용하는 도형 문제입니다.
접근법:
1. 정사각형의 대각선은 길이가 같다는 성질을 이용합니다.
2. 원점 O와 점 B의 좌표를 알고 있으므로, 두 점 사이의 거리를 구해 대각선의 길이를 찾습니다.
3. 정사각형의 한 변의 길이를 미지수로 두고 피타고라스 정리를 적용하면, (한 변의 길이)² + (한 변의 길이)² = (대각선의 길이)² 이 성립합니다.
4. 이를 통해 정사각형의 넓이, 즉 (한 변의 길이)² 값을 바로 구할 수 있습니다.
주의할 점:
대각선의 길이를 한 변의 길이로 착각하는 실수를 피해야 합니다. 정사각형의 넓이는 대각선 길이의 제곱을 2로 나눈 값과 같다는 공식을 활용할 수도 있습니다.
”
대각선 좌표로 정사각형 넓이 구하기
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직각이등변삼각형이 될 조건을 이용하는 문제입니다. ‘직각’ 조건과 ‘이등변’ 조건을 모두 사용해야 합니다.
접근법:
1. ‘각 B가 90도’라는 조건에서 피타고라스 정리, 즉 **CA² = AB² + BC²** 이 성립합니다.
2. ‘이등변’ 조건에서 직각을 낀 두 변의 길이, 즉 **AB = BC** 가 성립합니다.
3. 이 두 가지 조건을 모두 만족하는 미지수 a를 찾으면 됩니다. 보통 하나의 조건에서 나온 해 중에서 다른 조건을 만족시키는 값을 선택하게 됩니다.
주의할 점:
두 조건 중 계산이 더 간단해 보이는 식을 먼저 푸는 것이 좋습니다. [cite_start]이 문제에서는 두 조건을 각각 풀어 공통된 해를 찾는 방식으로 해결하고 있습니다. [cite: 1061, 1067]
”
직각이등변삼각형이 될 조건
