“
세 꼭짓점의 좌표를 이용해 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다. 먼저 삼각형의 종류를 판별하는 것이 효율적입니다.
접근법:
1. 16번 문제와 같이, 세 변의 길이를 모두 구하여 삼각형의 종류를 먼저 파악합니다.
2. [cite_start]이 문제는 세 변의 길이의 제곱 사이에 피타고라스 정리가 성립하는 직각삼각형입니다. [cite: 1049]
3. 따라서 직각을 낀 두 변을 밑변과 높이로 삼아 넓이를 간단하게 계산할 수 있습니다.
주의할 점:
만약 직각삼각형이 아니라면 ‘신발끈 공식’을 사용하거나, 한 변을 밑변으로 정하고 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 높이를 구해야 합니다. 종류 판별이 풀이 전략을 결정합니다.
”
세 좌표로 직각삼각형 넓이 구하기
“
정사각형의 성질과 두 점 사이의 거리 공식을 함께 활용하는 도형 문제입니다.
접근법:
1. 정사각형의 대각선은 길이가 같다는 성질을 이용합니다.
2. 원점 O와 점 B의 좌표를 알고 있으므로, 두 점 사이의 거리를 구해 대각선의 길이를 찾습니다.
3. 정사각형의 한 변의 길이를 미지수로 두고 피타고라스 정리를 적용하면, (한 변의 길이)² + (한 변의 길이)² = (대각선의 길이)² 이 성립합니다.
4. 이를 통해 정사각형의 넓이, 즉 (한 변의 길이)² 값을 바로 구할 수 있습니다.
주의할 점:
대각선의 길이를 한 변의 길이로 착각하는 실수를 피해야 합니다. 정사각형의 넓이는 대각선 길이의 제곱을 2로 나눈 값과 같다는 공식을 활용할 수도 있습니다.
”
대각선 좌표로 정사각형 넓이 구하기
“
직각이등변삼각형이 될 조건을 이용하는 문제입니다. ‘직각’ 조건과 ‘이등변’ 조건을 모두 사용해야 합니다.
접근법:
1. ‘각 B가 90도’라는 조건에서 피타고라스 정리, 즉 **CA² = AB² + BC²** 이 성립합니다.
2. ‘이등변’ 조건에서 직각을 낀 두 변의 길이, 즉 **AB = BC** 가 성립합니다.
3. 이 두 가지 조건을 모두 만족하는 미지수 a를 찾으면 됩니다. 보통 하나의 조건에서 나온 해 중에서 다른 조건을 만족시키는 값을 선택하게 됩니다.
주의할 점:
두 조건 중 계산이 더 간단해 보이는 식을 먼저 푸는 것이 좋습니다. [cite_start]이 문제에서는 두 조건을 각각 풀어 공통된 해를 찾는 방식으로 해결하고 있습니다. [cite: 1061, 1067]
”
직각이등변삼각형이 될 조건
“
주어진 좌표를 단서로 하여, 그림 위에 나타나지 않은 점들의 좌표를 논리적으로 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A의 좌표가 (0, 2)이므로 첫 번째 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이는 2임을 알 수 있습니다. 이를 통해 점 B의 좌표를 구할 수 있습니다.
2. 점 D의 y좌표가 8이므로 가장 큰 정사각형의 한 변의 길이는 8입니다.
3. 가장 큰 정사각형의 x좌표와 한 변의 길이를 이용해 점 C의 x좌표를 역으로 추론할 수 있습니다.
4. 찾아낸 점 B와 점 C의 좌표를 이용해 두 점 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
각 정사각형의 변의 길이가 x축 또는 y축과 평행하다는 점을 인지해야 좌표를 쉽게 설정할 수 있습니다. 그림에 현혹되지 말고 좌표의 의미를 정확히 해석해야 합니다.
”
연속된 정사각형과 두 점의 거리
“
두 점 사이의 거리 공식을 활용하는 가장 기본적인 유형이지만, ‘양수’라는 특정 조건이 추가된 문제입니다.
접근법:
1. 두 점 A, B 사이의 거리를 구하는 공식을 세우고, 그 값이 문제에서 주어진 거리와 같다고 등식을 만듭니다.
2. 양변을 제곱하여 루트를 없애고 식을 정리하면 미지수 a에 대한 이차방정식이 됩니다.
3. 이차방정식을 풀어 두 개의 해를 구한 뒤, 문제에서 제시된 ‘양수’ 조건에 맞는 값만을 답으로 선택합니다.
주의할 점:
이차방정식을 풀고 나온 해를 무심코 모두 답으로 생각하는 실수를 피해야 합니다. 문제의 마지막 부분에 붙는 작은 조건 하나가 정답을 결정짓는 경우가 많습니다.
”
거리공식으로 양수 좌표 구하기
“
좌표에 포함된 미지수 t의 값에 따라 변하는 선분의 길이를 이차함수로 해석하여 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 점 A, B 사이의 거리를 구하는 식을 세웁니다.
2. 문제에서는 ‘길이의 제곱’의 최솟값을 묻고 있으므로, 루트를 제거한 식을 전개하여 t에 대한 이차식을 만듭니다.
3. 이 이차식을 완전제곱식 형태로 변형하여 이차함수의 꼭짓점을 찾습니다.
4. 꼭짓점의 y좌표가 바로 길이의 제곱의 최솟값이 됩니다.
주의할 점:
최솟값을 가질 때의 t의 값을 묻는지, 아니면 최솟값 자체를 묻는지 정확히 파악해야 합니다. 이 문제는 최솟값을 구하라고 요구하고 있습니다.
”
선분 길이 제곱의 최솟값 구하기
“
특정 축 또는 직선 위의 점에서 두 점까지의 거리가 같은 경우, 해당 점의 좌표를 찾는 유형입니다.
접근법:
1. ‘x축 위의 점’이므로 y좌표가 0입니다. 따라서 점 P의 좌표를 (a, 0)으로 설정하고 시작합니다.
2. ‘같은 거리에 있다’는 조건은 등식 AP = BP를 의미합니다.
3. 양변을 제곱한 식을 세워 방정식을 풀면 미지수 a의 값을 구할 수 있습니다.
4. 문제에서는 점 P의 좌표가 아닌 원점과 P 사이의 거리를 물었으므로 마지막 계산에 유의합니다.
주의할 점:
두 점 A, B로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합은 ‘선분 AB의 수직이등분선’입니다. 따라서 이 문제는 선분 AB의 수직이등분선과 x축의 교점을 구하는 문제와 같습니다.
”
x축 위의 등거리 점 찾기
“
x축 위의 점과 y축 위의 점을 각각 찾아야 하는, 동일한 과정을 두 번 반복하는 응용 문제입니다.
접근법:
1. x축 위의 점 P를 (x, 0)으로 설정하고, AP=BP 조건을 이용해 P의 좌표를 구합니다.
2. y축 위의 점 Q를 (0, y)으로 설정하고, AQ=BQ 조건을 이용해 Q의 좌표를 구합니다.
3. 앞에서 구한 두 점 P와 Q의 좌표를 이용해, 선분 PQ의 길이를 다시 거리 공식으로 구합니다.
주의할 점:
계산 과정이 길기 때문에 중간에 실수가 나오지 않도록 각 단계를 차분하게 진행하는 것이 중요합니다. 이 문제의 원리는 삼각형의 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 ‘외심’을 찾는 과정과 유사합니다.
”
좌표축 위의 등거리 두 점 사이 거리
“
두 가지 다른 조건이 주어지고, 이를 연립방정식으로 풀어 미지수를 결정하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘두 점 A, B에서 같은 거리에 있다’는 첫 번째 조건(AP=BP)을 이용해 미지수 a, b 사이의 관계식을 하나 만듭니다.
2. ‘원점 O와의 거리가 7이다’라는 두 번째 조건(OP=7)을 이용해 또 다른 관계식을 만듭니다.
3. 두 개의 식을 연립하여 a와 b의 값을 구한 뒤, 문제에서 요구하는 최종 값을 계산합니다.
주의할 점:
각각의 조건이 어떤 기하학적 의미를 갖는지 이해하면 좋습니다. 첫 번째 조건은 ‘선분 AB의 수직이등분선’이라는 직선을, 두 번째 조건은 ‘중심이 원점인 원’을 의미합니다. 즉, 이 문제는 직선과 원의 교점을 찾는 문제로 해석할 수도 있습니다.
”
등거리 조건과 원점 거리
“
두 점 A, B에서 같은 거리에 있으면서 특정 직선 위에 있는 점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 P가 주어진 직선 위의 점이므로, x좌표를 미지수 a로 두면 y좌표도 a에 대한 식으로 표현할 수 있습니다. (예: (a, 2a+1)[cite_start]) [cite: 950] 이렇게 하면 미지수가 하나로 줄어듭니다.
2. [cite_start]’같은 거리에 있다’는 조건(AP=BP)을 이용해 a에 대한 방정식을 세웁니다. [cite: 951]
3. 방정식을 풀어 a값을 구하고, 이를 이용해 점 P의 완전한 좌표를 찾습니다.
주의할 점:
미지수를 2개(a, b)로 설정하고 연립방정식으로 풀 수도 있지만, 처음부터 점이 직선 위에 있다는 조건을 활용하여 미지수를 1개로 줄이는 것이 훨씬 효율적입니다.
”
직선 위의 등거리 점 찾기
