“
58번 문제와 완전히 동일한 구조입니다. 근과 계수의 관계와 내분점의 성질을 결합하여 해결합니다.
접근법:
1. 두 교점의 x좌표를 알파, 베타라고 설정합니다. 이들은 두 식을 연립한 이차방정식의 두 근입니다.
2. y축 위의 점 P가 선분 AB를 1:3으로 내분하므로, 내분점의 x좌표는 0입니다. 이를 통해 알파와 베타의 관계식을 구합니다.
3. 두 식을 연립한 이차방정식에서 근과 계수의 관계(두 근의 곱)를 이용합니다.
4. 위 정보들을 종합하여 알파, 베타 값을 확정한 뒤, 두 점이 직선 위의 점임을 이용해 기울기 a를 구합니다.
주의할 점:
내분점 조건으로 두 근의 관계를 찾고, 근과 계수의 관계로 방정식을 완성하는 흐름을 이해하는 것이 중요합니다.
”
포물선과 직선 교점의 내분 (y축)
“
내분점과 중점 공식을 순차적으로 적용하는, 두 단계로 이루어진 계산 문제입니다.
접근법:
1. [cite_start]먼저, 두 점 A, B의 좌표와 2:1이라는 비율을 이용해 선분 AB의 내분점 P의 좌표를 구합니다. [cite: 1454-1455]
2. 그 다음, 앞에서 구한 점 P의 좌표와 점 A의 좌표를 이용해 선분 AP의 중점 C의 좌표를 구합니다.
3. 문제에서 요구하는 a+b의 값을 계산합니다.
주의할 점:
첫 번째 단계에서 구한 점 P의 좌표를 정확하게 구하는 것이 중요합니다. 한 단계의 실수가 다음 단계의 결과에 직접적인 영향을 미칩니다.
”
내분점과 중점의 좌표
“
이차함수와 직선의 두 교점을 잇는 선분의 중점의 좌표가 주어졌을 때, 직선의 방정식을 구하는 문제입니다. 역시 근과 계수의 관계가 핵심입니다.
접근법:
1. 두 교점의 x좌표를 알파, 베타로 둡니다. 이들은 두 식을 연립한 이차방정식의 두 근입니다.
2. 중점의 x좌표가 3이므로, (알파+베타)/2 = 3 이라는 식을 얻습니다.
3. 1단계에서 세운 이차방정식의 근과 계수의 관계(두 근의 합)와 2단계의 식을 비교하여 직선의 기울기 m을 구합니다.
4. 중점 (3,5)는 직선 위의 점이므로, 좌표를 대입하여 y절편 n을 구합니다.
주의할 점:
중점의 좌표는 x, y 성분을 모두 활용할 수 있는 중요한 단서입니다. x좌표는 두 근의 합과, y좌표는 직선의 방정식을 완성하는 데 사용됩니다.
”
포물선과 직선 교점의 중점
“
한 선분에 대한 서로 다른 두 내분점을 각각 구한 뒤, 그 두 점의 중점을 다시 찾는 3단계 문제입니다.
접근법:
1. 선분 AB를 2:3으로 내분하는 점 P의 좌표를 구합니다.
2. 선분 AB를 1:2로 내분하는 점 Q의 좌표를 구합니다.
3. 마지막으로, 앞에서 구한 두 점 P와 Q를 이용해 선분 PQ의 중점 좌표를 구합니다.
주의할 점:
여러 번의 계산을 요구하므로 각 단계마다 좌표와 비율을 혼동하지 않도록 주의를 기울여야 합니다. 특히 내분점 공식을 연속해서 사용할 때 집중력이 필요합니다.
”
두 내분점 사이의 중점
“
선분 길이의 ‘제곱의 합’의 최솟값을 구하는 문제입니다. 거리의 합 최솟값 문제와는 풀이법이 완전히 다릅니다.
접근법:
1. x축 위의 점 P의 좌표를 (b, 0)으로 설정합니다.
2. AP²과 BP²을 각각 b에 대한 식으로 나타냅니다. 제곱이므로 루트가 사라져 계산이 간편합니다.
3. 두 식을 더하면 b에 대한 간단한 **이차함수**가 만들어집니다.
4. 이 이차함수의 꼭짓점을 찾아 최솟값과 그때의 b값을 구하면 됩니다.
주의할 점:
대칭이동을 이용하는 ‘거리의 합’ 최솟값 문제와 절대 혼동해서는 안 됩니다. ‘제곱의 합’은 항상 이차함수의 최대·최소 문제로 귀결된다는 점을 기억하세요.
”
거리 제곱의 합 최솟값 (x축 위)
“
30번 문제에서 점 P의 위치가 ‘x축 위’가 아닌 임의의 점으로 확장된 유형입니다.
접근법:
1. 임의의 점 P의 좌표를 (a, b)로 설정합니다.
2. AP² + BP²의 값을 a와 b에 대한 식으로 나타냅니다.
3. 식을 a에 대한 완전제곱식과 b에 대한 완전제곱식으로 각각 정리합니다.
4. 식이 최소가 되려면 각각의 완전제곱식이 0이 되어야 하므로, 이를 통해 a와 b의 값을 찾을 수 있습니다. 이때의 점 P는 **선분 AB의 중점**이 됩니다.
주의할 점:
결론적으로, 두 점으로부터 거리의 제곱의 합이 최소가 되는 점은 두 점의 중점입니다. 이 사실을 알고 있다면 검산이나 빠른 문제 풀이에 도움이 됩니다.
”
거리 제곱의 합 최솟값 (임의의 점)
“
거리의 제곱의 합 최솟값 문제에서 점 P가 특정 직선 위에 있도록 조건이 추가된 유형입니다.
접근법:
1. 점 P가 직선 y=x+3 위에 있으므로, 좌표를 (a, a+3)으로 설정하여 미지수를 하나로 줄입니다.
2. AP² + BP²의 값을 a에 대한 식으로 나타내고 전개합니다.
3. 결과적으로 a에 대한 이차함수가 만들어지며, 이 함수의 꼭짓점에서 최솟값이 발생합니다.
4. 최솟값을 가질 때의 a값을 구하고, 이를 이용해 점 P의 좌표와 문제의 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
30, 31, 32번 문제는 점 P의 조건(x축 위, 임의의 점, 직선 위)에 따라 풀이 시작 부분의 좌표 설정만 달라질 뿐, 최종적으로 이차함수의 최대·최소를 이용하는 핵심 원리는 동일합니다.
”
거리 제곱의 합 최솟값 (직선 위)
“
삼각형의 중선과 세 변의 길이 사이에 성립하는 관계식인 파푸스의 중선정리를 증명하는 과정입니다.
접근법:
1. 증명을 위해 도형을 좌표평면 위에 편리하게 배치하는 것이 중요합니다. 변 BC의 중점 M을 **원점(0,0)**에, 변 BC를 x축 위에 놓습니다.
2. 이렇게 하면 각 꼭짓점의 좌표를 간단한 문자로 표현할 수 있습니다. (예: B(-c,0), C(c,0), A(a,b))
3. 중선정리 공식의 좌변(AB²+AC²)과 우변(2(AM²+BM²))을 각각 좌표를 이용해 계산합니다.
4. 두 결과가 일치함을 보이면 증명이 완료됩니다.
주의할 점:
이 문제는 공식 자체를 암기하고 있는지도 중요하지만, 좌표를 이용해 도형의 성질을 어떻게 증명하는지의 과정을 이해하는 것이 더 중요합니다.
”
중선정리 증명 (파푸스의 정리)
“
삼각형의 세 변의 길이가 주어졌을 때 중선의 길이를 구하는 문제로, 파푸스의 중선정리를 직접적으로 활용합니다.
접근법:
1. 삼각형 ABC에서 변 BC의 중점이 M일 때, 중선정리 공식 **AB² + AC² = 2(AM² + BM²)** 이 성립합니다.
2. 문제에 주어진 세 변의 길이를 공식에 그대로 대입합니다.
3. [cite_start]변 BC의 길이가 10이므로, 변 BM의 길이는 5입니다. [cite: 1325]
4. 값을 대입하면 구하려는 중선 AM의 길이를 미지수로 하는 간단한 방정식을 풀 수 있습니다.
주의할 점:
중선정리를 모르면 풀기 매우 어려운 문제입니다. 공식의 형태를 정확하게 암기하고, 각 변이 공식의 어느 부분에 해당하는지 정확히 대입해야 합니다.
”
중선정리 활용 (중선 길이)
“
중선정리와 삼각형 무게중심의 성질을 함께 이용하는 복합 문제입니다.
접근법:
1. [cite_start]먼저 34번 문제와 같이, 중선정리를 이용해 중선 AM의 길이를 구합니다. [cite: 1319-1320]
2. 삼각형의 무게중심 G는 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분한다는 성질을 이용합니다.
3. 문제에서 구하려는 선분 GM의 길이는 **중선 AM 길이의 1/3**에 해당합니다.
4. 1단계에서 구한 AM의 길이에 1/3을 곱하여 답을 구합니다.
주의할 점:
무게중심이 중선을 2:1로 나눈다는 성질을 정확히 기억해야 합니다. AG를 묻는지 GM을 묻는지에 따라 2/3를 곱할지 1/3을 곱할지 결정됩니다.
”
중선정리 활용 (무게중심)
