“
이차함수와 직선의 교점을 선분의 양 끝점으로 하는 내분점 문제입니다. 근과 계수의 관계를 활용합니다.
접근법:
1. 두 교점의 x좌표를 미지수 알파, 베타로 둡니다. 이들은 두 함수의 식을 연립한 이차방정식의 두 근입니다.
2. 근과 계수의 관계를 이용해 두 근의 합과 곱을 구합니다.
3. y축이 선분 AB를 1:2로 내분하므로, 내분점의 x좌표는 0입니다. 내분점 공식을 이용해 알파와 베타 사이의 관계식을 하나 더 만듭니다.
4. 두 관계식을 연립하여 알파, 베타 값을 구하고, 이를 다시 근과 계수의 관계에 대입하여 m값을 찾습니다.
주의할 점:
교점의 좌표를 직접 구하는 것이 아니라, 두 교점의 x좌표를 두 근으로 설정하고 근과 계수의 관계로 푸는 것이 훨씬 효율적입니다.
”
포물선과 직선 교점의 내분
“
수직선 위의 내분점 좌표를 구하는 공식을 정확하게 알고 있는지 묻는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 선분 AB를 2:1로 내분하는 점의 좌표를 구하는 공식을 사용합니다.
2. 공식에 따라 비율과 각 점의 좌표를 엇갈려서 곱한 뒤 더하고, 전체 비율의 합으로 나누어 줍니다.
3. 계산을 정확히 하여 답을 구합니다.
주의할 점:
공식의 형태, 특히 분모는 비율의 합(m+n), 분자는 엇갈려 곱한 값의 합(mx₂+nx₁)이라는 점을 명확히 기억해야 합니다.
”
수직선 위 내분점 좌표
“
58번 문제와 완전히 동일한 구조입니다. 근과 계수의 관계와 내분점의 성질을 결합하여 해결합니다.
접근법:
1. 두 교점의 x좌표를 알파, 베타라고 설정합니다. 이들은 두 식을 연립한 이차방정식의 두 근입니다.
2. y축 위의 점 P가 선분 AB를 1:3으로 내분하므로, 내분점의 x좌표는 0입니다. 이를 통해 알파와 베타의 관계식을 구합니다.
3. 두 식을 연립한 이차방정식에서 근과 계수의 관계(두 근의 곱)를 이용합니다.
4. 위 정보들을 종합하여 알파, 베타 값을 확정한 뒤, 두 점이 직선 위의 점임을 이용해 기울기 a를 구합니다.
주의할 점:
내분점 조건으로 두 근의 관계를 찾고, 근과 계수의 관계로 방정식을 완성하는 흐름을 이해하는 것이 중요합니다.
”
포물선과 직선 교점의 내분 (y축)
“
내분점과 중점 공식을 순차적으로 적용하는, 두 단계로 이루어진 계산 문제입니다.
접근법:
1. [cite_start]먼저, 두 점 A, B의 좌표와 2:1이라는 비율을 이용해 선분 AB의 내분점 P의 좌표를 구합니다. [cite: 1454-1455]
2. 그 다음, 앞에서 구한 점 P의 좌표와 점 A의 좌표를 이용해 선분 AP의 중점 C의 좌표를 구합니다.
3. 문제에서 요구하는 a+b의 값을 계산합니다.
주의할 점:
첫 번째 단계에서 구한 점 P의 좌표를 정확하게 구하는 것이 중요합니다. 한 단계의 실수가 다음 단계의 결과에 직접적인 영향을 미칩니다.
”
내분점과 중점의 좌표
“
이차함수와 직선의 두 교점을 잇는 선분의 중점의 좌표가 주어졌을 때, 직선의 방정식을 구하는 문제입니다. 역시 근과 계수의 관계가 핵심입니다.
접근법:
1. 두 교점의 x좌표를 알파, 베타로 둡니다. 이들은 두 식을 연립한 이차방정식의 두 근입니다.
2. 중점의 x좌표가 3이므로, (알파+베타)/2 = 3 이라는 식을 얻습니다.
3. 1단계에서 세운 이차방정식의 근과 계수의 관계(두 근의 합)와 2단계의 식을 비교하여 직선의 기울기 m을 구합니다.
4. 중점 (3,5)는 직선 위의 점이므로, 좌표를 대입하여 y절편 n을 구합니다.
주의할 점:
중점의 좌표는 x, y 성분을 모두 활용할 수 있는 중요한 단서입니다. x좌표는 두 근의 합과, y좌표는 직선의 방정식을 완성하는 데 사용됩니다.
”
포물선과 직선 교점의 중점
“
한 선분에 대한 서로 다른 두 내분점을 각각 구한 뒤, 그 두 점의 중점을 다시 찾는 3단계 문제입니다.
접근법:
1. 선분 AB를 2:3으로 내분하는 점 P의 좌표를 구합니다.
2. 선분 AB를 1:2로 내분하는 점 Q의 좌표를 구합니다.
3. 마지막으로, 앞에서 구한 두 점 P와 Q를 이용해 선분 PQ의 중점 좌표를 구합니다.
주의할 점:
여러 번의 계산을 요구하므로 각 단계마다 좌표와 비율을 혼동하지 않도록 주의를 기울여야 합니다. 특히 내분점 공식을 연속해서 사용할 때 집중력이 필요합니다.
”
두 내분점 사이의 중점
“
내분점과 중점의 정의를 이용하여 알려지지 않은 점 Q의 좌표를 역으로 추적하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 점 A, B의 좌표를 이용해 내분점 P의 좌표를 구합니다.
2. 점 Q의 좌표를 미지수 (a, b)로 설정합니다.
3. [cite_start]점 P와 Q를 3:1로 내분하는 점이 B가 된다는 식을 세웁니다. [cite: 1500]
4. 이 식을 풀면 미지수 a, b, 즉 점 Q의 좌표를 구할 수 있습니다.
5. 마지막으로 구한 점 P, Q의 중점 좌표를 찾아 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
문제의 흐름을 따라 순서대로 계산하는 것이 아니라, 중간 과정의 점을 미지수로 설정하고 역으로 추적해야 한다는 점이 특징입니다. 문제의 구조를 파악하는 것이 중요합니다.
”
내분점을 이용한 다른 점의 좌표
“
내분점의 좌표가 주어졌을 때, 원래 선분의 끝점의 좌표를 역으로 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 선분 AB를 1:b로 내분하는 점의 좌표를 미지수 a, b를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 이 좌표가 주어진 내분점의 좌표 (2, -1)과 같다고 놓고, x좌표와 y좌표에 대한 등식을 각각 세웁니다.
3. [cite_start]두 등식을 연립하여 a와 b의 값을 찾습니다. [cite: 1475-1477]
4. 이어서 두 번째 내분 조건을 이용해 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
미지수가 비율과 좌표에 모두 포함되어 있어 복잡해 보일 수 있습니다. x성분과 y성분을 각각 나누어 침착하게 방정식을 세우고 푸는 것이 중요합니다.
”
내분점 좌표를 이용한 미지수 계산
“
47번 문제와 마찬가지로, 주어진 내분점과 외분점(문제에서는 다른 비율의 내분점)의 좌표를 이용해 원래 점들의 좌표를 추적하는 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 내분점 조건(2:5 내분점이 (1,1))을 이용해, 점 A, B의 좌표에 포함된 미지수 a, b의 값을 먼저 구합니다.
2. 확정된 점 A, B의 좌표를 이용해 두 번째 내분점(2:1 내분점)의 좌표를 구합니다.
3. 문제에서 요구하는 최종 값을 계산합니다.
주의할 점:
문제의 단계가 명확하게 나뉘어 있습니다. 첫 번째 조건을 이용해 모든 점의 좌표를 확정한 뒤, 두 번째 조건을 해결하는 순서로 풀어야 합니다.
”
두 내분점 좌표로 미지수 계산
“
세 점과 두 개의 내분 조건이 얽혀있는 복잡한 연립방정식 문제입니다.
접근법:
1. [cite_start]첫 번째 조건(AB의 2:1 내분점이 원점)을 이용해 미지수 a, b 사이의 관계식을 구합니다. [cite: 1512-1516]
2. 두 번째 조건(BP의 1:2 내분점이 C)을 이용하려면 점 P의 좌표가 필요합니다. 점 P를 새로운 미지수(알파, 베타)로 설정합니다.
3. 두 번째 조건을 식으로 세우면 알파, 베타를 a, b에 대한 식으로 표현할 수 있습니다.
4. 문제의 모든 조건을 종합하여 연립방정식을 풀어 모든 미지수 값을 구합니다.
주의할 점:
미지수가 여러 개 등장하므로 어떤 문자가 무엇을 의미하는지 혼동하지 않도록 주의해야 합니다. 각 조건을 식으로 정확히 옮기는 것이 관건입니다.
”
여러 내분점 조건을 이용한 좌표 계산
