“
65번 문제와 동일하게, 주어진 선분 길이의 비를 만족시키는 두 개의 점을 모두 찾아 그 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 3AB=2BC를 비례식 **AB:BC = 2:3** 으로 변환합니다.
2. 경우 1) 점 C가 선분 AB의 바깥쪽에 있어 A-B-C 순서일 때, 점 B는 AC를 2:3으로 내분하는 점입니다.
3. 경우 2) 점 C가 선분 AB의 바깥쪽에 있어 C-A-B 순서일 때, 점 A는 CB를 1:2로 내분하는 점입니다.
4. 두 경우의 점 C 좌표를 각각 구한 뒤, 두 점 사이의 거리를 계산합니다.
주의할 점:
세 점의 위치 관계를 직선 위에 그려보면서 경우를 나누면 실수를 줄일 수 있습니다. 각 경우에 어떤 점이 내분점이 되는지를 정확히 파악하는 것이 중요합니다.
”
두 외분점 사이의 거리
“
삼각형의 넓이 비를 밑변의 길이 비로 해석하는 문제입니다. 55번 문제와 유사하지만, 점 P가 직선 위에 있으므로 내분점과 외분점 두 가지 가능성을 모두 고려해야 합니다.
접근법:
1. 두 삼각형 OAP와 OBP는 높이가 같으므로, 넓이의 비는 밑변 AP:BP의 비와 같습니다. 즉, **AP:BP = 2:1** 입니다.
2. 경우 1) 점 P가 선분 AB 위에 있을 때 (내분점): P는 AB를 2:1로 내분하는 점입니다.
3. 경우 2) 점 P가 선분 AB의 연장선 위에 있을 때 (외분점): 점 B는 AP를 1:1로 내분하는 점, 즉 AP의 중점입니다.
4. 두 경우의 점 P 좌표를 각각 구하고, 두 점 사이의 거리를 계산합니다.
주의할 점:
단순히 내분점만 생각하기 쉽지만, ‘직선 AB 위의 점’이라는 조건은 외분점의 가능성을 포함하고 있음을 인지해야 합니다.
”
삼각형 넓이 비와 외분점
“
67번 문제와 동일하게 삼각형의 넓이 비를 밑변의 길이 비, 즉 내분/외분 관계로 해석하여 푸는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 삼각형 OAB의 넓이를 구해, 주어진 삼각형 OAC의 넓이와 비교하여 두 넓이의 비를 찾습니다. (넓이 비 OAB:OAC = 1:3)
2. 두 삼각형은 높이가 같으므로, 밑변의 길이 비 **AB:AC = 1:3** 이 성립합니다.
3. 문제의 조건(a4. 점 C의 좌표를 (a,b)로 두고, AC를 1:2로 내분하는 점이 B라는 식을 세워 a,b를 구합니다.
주의할 점:
좌표의 부호 조건을 통해 점들의 상대적인 위치를 파악하고, 여러 내/외분 가능성 중에서 문제의 조건에 맞는 유일한 경우를 선택해야 합니다.
”
삼각형 넓이 비와 외분점 좌표
“
삼각형의 중점과 무게중심의 관계를 이용하여 꼭짓점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형의 한 중선(꼭짓점과 대변의 중점을 이은 선분)을 무게중심은 2:1로 내분한다는 성질을 이용합니다.
2. 문제에서 주어진 ‘선분 AM을 2:1로 내분하는 점’이 바로 삼각형 ABC의 무게중심입니다.
3. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심을 구하는 공식과, 주어진 무게중심 좌표 (1,-1)이 같다고 등식을 세웁니다.
4. 이를 통해 미지수 a, b 값을 구할 수 있습니다.
주의할 점:
문제의 표현을 보고 무게중심의 정의를 바로 떠올리는 것이 시간 단축의 핵심입니다. 직접 중점 M의 좌표를 구한 뒤, AM을 2:1로 내분하는 점을 구하는 정석적인 방법으로도 풀 수 있습니다.
”
중점과 내분점을 이용한 꼭짓점
“
내분점이 특정 사분면에 존재할 조건을 묻는 문제입니다. 이는 내분점의 x, y 좌표의 부호를 이용한 연립부등식 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 내분점의 좌표를 미지수 t를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. ‘제1사분면에 속한다’는 것은 x좌표와 y좌표가 모두 0보다 크다는 의미입니다.
3. 따라서 (x좌표) > 0, (y좌표) > 0 이라는 두 개의 부등식을 세웁니다.
4. 두 부등식을 모두 만족하는 t의 공통 범위를 찾고, 문제에 주어진 t의 기본 범위와 종합하여 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
내분비는 항상 양수여야 하므로, (1+t) > 0, (1-t) > 0 이라는 조건이 문제에 숨어있다는 점을 인지해야 합니다. (문제에서 -1
”
내분점이 특정 사분면에 있을 조건
“
삼각형의 넓이의 비를 선분 위 내분점의 위치로 해석하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 삼각형 APC와 ABP는 꼭짓점 A를 공유하고, 밑변 PC와 BP는 한 직선 위에 있습니다. 따라서 두 삼각형의 높이는 같습니다.
2. 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같습니다.
3. 즉, (넓이 비) APC:ABP = 2:1 이므로, (밑변 길이 비) PC:BP = 2:1 입니다.
4. 이는 점 P가 선분 BC를 1:2로 내분하는 점임을 의미합니다. 내분점 공식을 이용해 P의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
넓이의 비가 밑변의 길이의 비로 바로 연결된다는 기하학적 성질을 파악하는 것이 핵심입니다. BP:PC가 1:2인지, 2:1인지 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.
”
삼각형 넓이 비와 내분점
“
내분점이 좌표축 위에 있을 조건을 활용하여 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 점 A, B를 3:1로 내분하는 점의 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 구합니다.
2. ‘y축 위에 있다’는 것은 x좌표가 0이라는 의미입니다.
3. 1단계에서 구한 내분점의 x좌표가 0이라고 등식을 세워 a의 값을 찾습니다.
4. 확정된 점 A, B의 좌표를 이용해 선분 AB의 길이를 구합니다.
주의할 점:
y축 위의 점은 x=0, x축 위의 점은 y=0 이라는 기본 정의를 정확히 적용하는 것이 중요합니다. 문제를 끝까지 읽고 최종적으로 무엇을 구해야 하는지(길이) 확인하세요.
”
내분점이 좌표축 위에 있을 조건
“
내분점의 좌표를 미지수를 포함한 식으로 나타내고, 두 내분점 사이의 거리를 이용해 원래 미지수의 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 선분 AB를 3:1로 내분하는 점 P의 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 선분 AB를 1:3으로 내분하는 점 Q의 좌표도 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 두 점 P, Q 사이의 거리는 두 좌표의 차의 절댓값입니다. 이 거리가 6이라는 등식을 세웁니다.
4. 절댓값을 포함한 방정식을 풀어 a의 값을 구하고, ‘양수’라는 조건에 맞는 답을 선택합니다.
주의할 점:
수직선 위 두 점 사이의 거리는 ‘큰 좌표 – 작은 좌표’ 또는 ‘좌표의 차에 절댓값’을 씌워 구합니다. 절댓값 방정식의 해는 양수와 음수 두 가지 경우가 나온다는 점을 잊지 마세요.
”
수직선 위 내분점 거리와 미지수
“
55번 문제와 동일하게, 삼각형의 넓이 비를 선분의 내분비로 해석하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 삼각형 BOC와 OAC는 꼭짓점 C를 공유하고 밑변 BO와 OA가 한 직선(y=1/3x) 위에 있습니다. 따라서 높이가 같습니다.
2. 넓이의 비가 2:1이므로, 밑변의 길이의 비 **BO : OA = 2:1** 입니다.
3. 이는 원점 O가 선분 BA를 2:1로 내분하는 점임을 의미합니다.
4. 점 B의 좌표를 (a,b)로 두고, BA를 2:1로 내분하는 점이 원점(0,0)이라는 식을 세워 a, b를 구합니다.
주의할 점:
어떤 선분을 어떤 점이 몇 대 몇으로 내분하는지를 명확히 파악해야 합니다. 이 문제에서는 원점 O가 내분점 역할을 합니다.
”
삼각형 넓이 비와 선분 내분점
“
두 내분점 사이의 거리를 원래 선분의 길이의 비율로 표현하여 해결하는 문제입니다. 직관적인 이해가 중요합니다.
접근법:
1. 선분 AB의 길이를 1이라고 가정합니다.
2. 점 P는 1:4 내분점이므로, A로부터 전체 길이의 1/5 만큼 떨어진 곳에 있습니다.
3. 점 Q는 7:3 내분점이므로, A로부터 전체 길이의 7/10 만큼 떨어진 곳에 있습니다.
4. [cite_start]따라서 두 점 P, Q 사이의 거리는 A로부터의 거리의 차, 즉 (7/10 – 1/5) 만큼이며, 이는 전체 길이의 1/2에 해당합니다. [cite: 1435]
주의할 점:
각 내분점이 전체 선분을 기준으로 어느 위치에 있는지 분수로 표현할 수 있으면, 실제 좌표를 계산하지 않고도 빠르고 쉽게 풀 수 있습니다.
”
내분점 사이의 거리를 분수로 표현
