“
한 꼭짓점과 그 대변의 중점, 즉 중선의 양 끝점 좌표가 주어졌을 때 무게중심을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 무게중심은 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분하는 점에 위치합니다.
2. 문제에서 꼭짓점 A의 좌표와 변 BC의 중점 M의 좌표가 주어졌으므로, 선분 AM이 바로 중선입니다.
3. 따라서 선분 AM을 2:1로 내분하는 점의 좌표를 구하면 그것이 바로 무게중심의 좌표입니다.
주의할 점:
무게중심의 정의와 성질을 명확히 알고 있다면, 나머지 두 꼭짓점 B, C의 좌표를 전혀 몰라도 무게중심을 구할 수 있습니다.
”
꼭짓점과 중점으로 무게중심 구하기
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58, 59번 문제와 유사하게, 두 교점을 잇는 선분의 내분점의 정보가 주어졌을 때 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 교점 P, Q의 x좌표를 알파, 베타로 둡니다.
2. 이들은 두 식을 연립하여 만든 이차방정식의 두 근이므로, 근과 계수의 관계를 이용해 두 근의 합과 곱을 식으로 나타냅니다.
3. 선분 PQ를 1:2로 내분하는 점의 x좌표가 1이라는 조건을 이용해, 알파와 베타의 관계식을 추가로 얻습니다.
4. 두 관계식을 연립하여 알파, 베타 값을 구한 뒤, 이를 다시 근과 계수의 관계에 대입하여 k값을 찾습니다.
주의할 점:
내분점의 x좌표 정보만으로도 충분히 답을 구할 수 있습니다. y좌표까지 고려하면 계산이 복잡해질 수 있습니다.
”
포물선과 직선 교점의 내분
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정삼각형의 중요한 성질 중 하나는 외심, 내심, 무게중심이 모두 일치한다는 것입니다. 이 문제에서는 무게중심의 성질을 활용합니다.
접근법:
1. 정삼각형에서 무게중심은 꼭짓점과 대변의 중점을 이은 선(중선이자 높이)을 2:1로 내분합니다.
2. 꼭짓점 A와 무게중심 O(원점) 사이의 거리를 구합니다. 이 거리가 높이의 2/3에 해당합니다.
3. 이를 통해 삼각형의 전체 높이를 구할 수 있습니다.
4. 정삼각형의 높이와 한 변의 길이 사이의 관계(높이 = (√3/2) * 한 변)를 이용해 한 변의 길이를 구합니다.
주의할 점:
정삼각형의 성질을 기하학적으로 접근해야 쉽게 풀 수 있습니다. 단순히 좌표 계산에만 의존하면 풀이가 매우 복잡해질 수 있습니다.
”
정삼각형 꼭짓점과 무게중심
“
두 교점을 잇는 선분의 중점에 대한 정보가 주어졌을 때, 선분의 길이를 구하는 종합적인 문제입니다.
접근법:
1. 두 교점의 x좌표를 알파, 베타로 두고, 연립한 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 식으로 표현합니다.
2. 중점 M의 x좌표가 1이라는 조건(선분 MH의 길이가 1)을 이용해 (알파+베타)/2 = 1 이라는 식을 세웁니다.
3. 두 식을 이용해 미지수 a값을 구하고, 이를 통해 두 근의 합과 곱을 확정합니다.
4. 선분 PQ의 길이는 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 구하며, 이때 곱셈 공식의 변형( (베타-알파)² = (알파+베타)² – 4알파베타 )을 활용합니다.
주의할 점:
선분의 길이를 구할 때 x좌표의 차와 y좌표의 차를 모두 고려해야 합니다. 점 P, Q가 직선 위의 점이므로 y좌표의 차는 (기울기) * (x좌표의 차) 와 같다는 점을 이용하면 계산이 간편해집니다.
”
포물선과 직선 교점의 중점 활용
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세 직선의 교점으로 만들어지는 삼각형의 무게중심을 이용해 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 OAB의 세 꼭짓점은 원점 O(0,0), 점 A, 점 B입니다.
2. 점 A와 B의 좌표를 각각 미지수를 이용해 설정합니다. (A는 y=1/3x 위의 점, B는 y=2x 위의 점)
3. 세 꼭짓점의 좌표를 이용해 무게중심의 좌표를 식으로 표현합니다.
4. 이 식이 주어진 무게중심 좌표와 같다고 놓고 연립방정식을 풀어 점 A, B의 실제 좌표를 구합니다.
5. 점 A 또는 B는 직선 y=-3x+k 위의 점이기도 하므로, 좌표를 대입하여 k값을 구합니다.
주의할 점:
각 점이 어느 직선 위에 있는지 명확히 구분하고, 무게중심 공식과 직선의 방정식 대입을 순서대로 진행해야 합니다.
”
직선 교점과 무게중심
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선분의 연장선 위의 점에 대한 조건이 주어졌을 때, 그 점의 좌표를 찾는 문제입니다. 외분점의 개념이지만, 내분점으로 해석하여 푸는 것이 더 쉽습니다.
접근법:
1. 주어진 등식 2AB=3BC를 비례식 **AB:BC = 3:2** 로 변환합니다.
2. 점 C가 연장선 위에 있으므로, 세 점은 A-B-C 순서로 배열됩니다.
3. 이는 점 B가 선분 AC를 **3:2로 내분하는 점**임을 의미합니다.
4. 점 C의 좌표를 (a,b)로 두고, AC를 3:2로 내분하는 점이 B라는 식을 세워 a,b 값을 구합니다.
주의할 점:
문제를 외분점으로 해석하여 ‘C는 AB를 5:2로 외분하는 점’으로 풀 수도 있지만, 외분점 공식은 부호 때문에 실수가 잦습니다. 내분점으로 변환하여 푸는 것이 더 안전하고 직관적입니다.
”
선분 연장선 위의 점 (외분점)
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72번 문제와 유사하게, 삼각형의 무게중심이 특정 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 꼭짓점의 좌표를 이용해 무게중심의 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 구합니다.
2. 무게중심이 직선 y=x 위에 있으므로, **(무게중심의 x좌표) = (무게중심의 y좌표)** 라는 등식이 성립합니다.
3. 이 등식을 풀어 미지수 a의 값을 구합니다.
주의할 점:
점이 직선 위에 있다는 조건을 ‘좌표 대입’으로 해석하는 기본적인 원리를 무게중심에 적용하는 문제입니다. 직선의 형태에 따라 적용 방식이 조금씩 달라질 수 있습니다.
”
무게중심이 특정 직선 위에 있을 조건
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63번 문제와 동일하게 선분의 연장선 위의 점의 좌표를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 등식 2AB=BC를 비례식 **AB:BC = 1:2** 로 변환합니다.
2. 점 C는 ‘B방향으로의 연장선’ 위에 있으므로, 세 점은 A-B-C 순서로 배열됩니다.
3. 이는 점 B가 선분 AC를 **1:2로 내분하는 점**임을 의미합니다.
4. C의 좌표를 (a,b)로 두고, AC를 1:2로 내분하는 점이 B라는 식을 세워 a,b 값을 구합니다.
주의할 점:
선분 길이의 비를 정확히 파악하고, 세 점의 위치 관계를 직선 위에 그려보면 내분점과 외분점 관계를 혼동하지 않고 풀 수 있습니다.
”
선분 연장선 위의 점 좌표
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여러 점(꼭짓점, 중점, 무게중심)의 관계가 복합적으로 주어졌을 때, 무게중심의 성질을 이용해 좌표를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A와 선분 AB의 중점 좌표를 이용해 점 B의 좌표를 먼저 구합니다.
2. 이제 꼭짓점 B와 선분 AC의 중점 M, 그리고 무게중심 G의 관계에 주목합니다.
3. 선분 BM은 삼각형의 중선이며, 무게중심 G는 이 중선을 **2:1로 내분**합니다.
4. 이 성질을 이용해 식을 세우면 중점 M의 좌표에 포함된 미지수 a를 구할 수 있습니다.
5. 무게중심의 y좌표가 b임을 이용해 b값도 찾습니다.
주의할 점:
어떤 선분이 중선이 되는지를 파악하고, 무게중심의 2:1 내분 성질을 적용하는 것이 문제 해결의 돌파구입니다.
”
중점과 무게중심으로 꼭짓점 구하기
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선분 길이의 비를 만족시키는 점이 두 가지 경우로 존재할 수 있음을 이해해야 하는 문제입니다.
접근법:
1. AB=3BC 라는 조건은 AB:BC = 3:1 을 의미합니다.
2. 경우 1) 점 C가 선분 AB의 안쪽에 있을 수 있습니다. 이 경우 C는 AB를 2:1로 내분하는 점입니다.
3. 경우 2) 점 C가 선분 AB의 바깥쪽(연장선 위)에 있을 수 있습니다. 이 경우 B는 AC를 3:1로 내분하는 점입니다.
4. 두 가지 경우에 해당하는 점 C의 좌표를 각각 구하고, 문제에서 요구하는 답(좌표의 합)을 찾습니다.
주의할 점:
단순히 연장선 위의 점(외분점)만 생각하지 않고, 선분 위에 존재하는 내분점의 가능성도 함께 고려해야 모든 해를 찾을 수 있습니다.
”
내분점과 외분점의 좌표 합
