“
어떤 조건을 만족하는 점이 그리는 도형, 즉 점의 자취를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 자취 위의 점을 P(x, y)로 설정합니다.
2. 문제에서 주어진 조건은 ‘두 점 A, B로부터 같은 거리에 있다’이므로, **AP = BP** 라는 등식을 세웁니다.
3. 양변을 제곱하여 루트를 없앤 뒤(AP²=BP²), 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 x와 y에 대한 식으로 나타냅니다.
4. 식을 정리하면 x와 y에 대한 일차방정식이 남으며, 이것이 바로 구하는 자취의 방정식입니다.
주의할 점:
두 점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 자취는 ‘두 점을 잇는 선분의 수직이등분선’이 된다는 사실을 알고 있다면, 직접 수직이등분선의 방정식을 구해서 검산할 수도 있습니다.
”
점의 자취 (같은 거리)
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84번의 원리를 역으로 이용하는 문제입니다. 내분점으로 만든 삼각형의 무게중심을 통해 원래 삼각형의 꼭짓점을 추적합니다.
접근법:
1. 내분점으로 만든 삼각형 DEF의 무게중심이 (2,1)이므로, 원래 삼각형 ABC의 무게중심 또한 (2,1)입니다.
2. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심을 구하는 공식을 사용합니다. (A, B는 주어졌고 C는 미지수)
3. 이 공식으로 구한 무게중심의 좌표가 (2,1)과 같다고 등식을 세워, 미지수인 점 C의 좌표(a,b)를 구합니다.
주의할 점:
세 변을 동일한 비율로 내분(또는 외분)한 삼각형의 무게중심은 원래 삼각형의 무게중심과 같다는 성질을 알고 있는지가 문제 해결의 관건입니다.
”
무게중심을 이용한 꼭짓점 좌표
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그림이 복잡하지만, 주어진 점들의 기하학적 관계를 파악하면 중점과 무게중심의 개념으로 단순화할 수 있는 문제입니다.
접근법:
1. [cite_start]문제의 조건(같은 거리에 있는 직선)과 그림의 합동 관계를 통해, 점 A는 선분 PQ의 중점, 점 B는 선분 PR의 중점임을 파악해야 합니다. [cite: 2275, 2280]
2. 주어진 P, Q, R 좌표를 이용해 두 중점 A, B의 좌표를 구합니다.
3. 점 C는 선분 QR의 중점이라고 주어졌으므로, C의 좌표도 구합니다.
4. 최종적으로 세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심을 구합니다.
주의할 점:
문제 초반의 복잡한 설정에서 점 A, B, C가 각각 다른 선분들의 중점이라는 사실을 추론해내는 것이 가장 중요한 단계입니다.
”
무게중심과 합동/중점 활용
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매우 중요한 성질을 묻는 문제입니다. 평면 위의 한 점에서 삼각형의 세 꼭짓점까지의 거리의 제곱의 합이 최소가 되게 하는 점은 그 삼각형의 무게중심입니다.
접근법:
1. 이 성질을 알고 있다면, 문제에서 요구하는 점 P는 삼각형 ABC의 무게중심과 같다는 것을 바로 알 수 있습니다.
2. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심 공식을 적용하여 점 P의 좌표를 구합니다.
3. 문제에서 요구하는 좌표의 합을 계산합니다.
주의할 점:
이 성질을 모를 경우, 점 P를 (x,y)로 두고 거리의 제곱의 합을 x, y에 대한 이차식으로 표현한 뒤, 완전제곱식으로 변형하여 최솟값을 찾아야 합니다. 이는 시간이 매우 오래 걸리므로, 성질 자체를 암기하는 것이 효율적입니다.
”
거리 제곱 합이 최소인 점 (무게중심)
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삼각형의 무게중심 좌표 구하는 공식을 정확히 알고 적용할 수 있는지를 묻는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 모두 더한 뒤 3으로 나누어 무게중심의 좌표를 미지수 a, b를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 이 식이 문제에서 주어진 무게중심의 좌표 G(1, b)와 같다고 등식을 세웁니다.
3. x좌표는 x좌표끼리, y좌표는 y좌표끼리 같다고 놓으면 a와 b에 대한 두 개의 방정식을 얻을 수 있습니다.
4. 두 방정식을 풀어 a, b 값을 구한 뒤, 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
무게중심의 y좌표가 미지수 b로 주어져, y좌표에 대한 등식에 미지수가 양변에 모두 나타납니다. 당황하지 말고 침착하게 방정식을 풀면 됩니다.
”
무게중심 좌표로 미지수 계산
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삼각형 내부의 한 점에서 세 꼭짓점을 연결하여 만들어진 세 삼각형의 넓이가 모두 같을 조건을 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 내부의 한 점 P에 대해, 삼각형 PAB, PBC, PCA의 넓이가 모두 같다는 것은 점 P가 바로 그 삼각형의 무게중심이라는 의미입니다.
2. 따라서 이 문제는 세 꼭짓점 A, B, C의 무게중심이 P(3,0)이라는 것을 알려준 것과 같습니다.
3. 무게중심 공식을 이용해 a, b 값을 구하고 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
넓이가 같다는 조건을 보고 직접 넓이를 계산하려고 하면 문제가 매우 복잡해집니다. 이 조건이 무게중심을 의미한다는 사실을 바로 파악하는 것이 핵심입니다.
”
무게중심의 성질 (넓이)
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삼각형의 한 꼭짓점, 한 변의 중점, 그리고 무게중심의 좌표가 주어졌을 때, 나머지 점들의 좌표를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 꼭짓점 A와 중점 M의 좌표를 이용해 꼭짓점 B의 좌표를 먼저 구합니다.
2. 꼭짓점 C의 좌표를 미지수로 둡니다. 이제 세 꼭짓점의 좌표 중 하나만 미지수입니다.
3. 무게중심 공식을 이용해 무게중심 G의 좌표를 구하고, 이 값이 주어진 좌표 (1,2)와 같다고 놓고 C의 좌표를 구합니다.
4. 확정된 B, C의 좌표를 이용해 선분 BC의 중점 좌표를 구합니다.
주의할 점:
주어진 단서들을 어떤 순서로 활용해야 가장 효율적인지 파악하는 것이 중요합니다. 이 문제에서는 A, M -> B -> G -> C 순으로 푸는 것이 정석입니다.
”
꼭짓점, 중점, 무게중심 좌표 관계
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좌표가 직접 주어지지 않은 상태에서, 무게중심의 y좌표가 각 꼭짓점의 y좌표들의 산술평균임을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 문제의 직선 l을 x축이라고 생각합니다. 그러면 각 꼭짓점에서 직선 l까지의 거리는 각 꼭짓점의 y좌표가 됩니다.
2. 삼각형의 무게중심의 y좌표는 세 꼭짓점 y좌표의 평균, 즉 (y₁+y₂+y₃)/3 입니다.
3. 문제에서 주어진 세 거리(12, 20, 13)를 y좌표 값으로 보고, 이들의 평균을 구합니다.
4. 이 평균값이 바로 무게중심 G에서 직선 l까지의 거리가 됩니다.
주의할 점:
x좌표는 알 수 없지만, y좌표(거리)만으로도 무게중심의 y좌표(거리)는 구할 수 있다는 점을 이해하는 것이 핵심입니다. 좌표축을 스스로 설정하여 문제를 단순화하는 능력이 필요합니다.
”
무게중심과 거리 (좌표 설정)
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한 꼭짓점과 그 대변의 중점, 즉 중선의 양 끝점 좌표가 주어졌을 때 무게중심을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 무게중심은 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분하는 점에 위치합니다.
2. 문제에서 꼭짓점 A의 좌표와 변 BC의 중점 M의 좌표가 주어졌으므로, 선분 AM이 바로 중선입니다.
3. 따라서 선분 AM을 2:1로 내분하는 점의 좌표를 구하면 그것이 바로 무게중심의 좌표입니다.
주의할 점:
무게중심의 정의와 성질을 명확히 알고 있다면, 나머지 두 꼭짓점 B, C의 좌표를 전혀 몰라도 무게중심을 구할 수 있습니다.
”
꼭짓점과 중점으로 무게중심 구하기
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58, 59번 문제와 유사하게, 두 교점을 잇는 선분의 내분점의 정보가 주어졌을 때 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 교점 P, Q의 x좌표를 알파, 베타로 둡니다.
2. 이들은 두 식을 연립하여 만든 이차방정식의 두 근이므로, 근과 계수의 관계를 이용해 두 근의 합과 곱을 식으로 나타냅니다.
3. 선분 PQ를 1:2로 내분하는 점의 x좌표가 1이라는 조건을 이용해, 알파와 베타의 관계식을 추가로 얻습니다.
4. 두 관계식을 연립하여 알파, 베타 값을 구한 뒤, 이를 다시 근과 계수의 관계에 대입하여 k값을 찾습니다.
주의할 점:
내분점의 x좌표 정보만으로도 충분히 답을 구할 수 있습니다. y좌표까지 고려하면 계산이 복잡해질 수 있습니다.
”
포물선과 직선 교점의 내분
