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마플시너지공통수학2풀이해설0102고퀄리티 풀이영상제공0102 움직이는 점과 자취의 방정식 (치환)

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[문제 102] 핵심 개념 및 풀이 전략

한 점 P(a,b)가 특정 직선 위를 움직일 때, 그 점과 연관된 다른 점 Q가 그리는 도형(자취)의 방정식을 구하는 대표적인 유형입니다.

접근법:
1. 구하려는 점 Q의 좌표를 (x, y)로 둡니다. 즉, x = a+b, y = a-b 입니다.
2. 주어진 조건은 점 P(a,b)에 대한 것이므로, 1번 식을 변형하여 a와 b를 x, y에 대한 식으로 각각 표현해야 합니다. (a=(x+y)/2, b=(x-y)/2)
3. 점 P(a,b)는 주어진 직선 위의 점이므로, 원래 직선의 방정식에 a, b를 대입하면 성립합니다.
4. 이 식에 2단계에서 구한 x, y에 대한 식을 대입하고 정리하면 점 Q의 자취의 방정식이 완성됩니다.

주의할 점:
자취를 구하려는 점을 (x,y)로, 매개체 역할을 하는 점을 (a,b)로 두고, 최종적으로 매개변수 a,b를 소거하여 x,y만의 관계식을 만드는 것이 이 유형의 핵심 원리입니다.

”

움직이는 점과 자취의 방정식 (치환)

마플시너지공통수학2풀이해설0118고퀄리티 풀이영상제공0118 두 점을 지나는 직선과 평행한 직선

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[문제 118] 핵심 개념 및 풀이 전략

두 점을 지나는 직선에 평행하고, y절편이 주어진 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.

접근법:
1. ‘평행하다’는 조건은 기울기가 같다는 것을 의미합니다. 먼저 주어진 두 점 A, B를 이용해 원래 직선의 기울기를 구합니다.
2. 우리가 구하려는 직선의 기울기 a는 1단계에서 구한 기울기와 같습니다.
3. ‘y절편이 -1이다’라는 조건에서 b의 값이 바로 결정됩니다.
4. 구한 a와 b를 더하여 최종 답을 찾습니다.

주의할 점:
평행 조건은 ‘기울기가 같다’, 수직 조건은 ‘기울기의 곱이 -1이다’ 라는 핵심 내용을 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.

”

두 점을 지나는 직선과 평행한 직선

마플시너지공통수학2풀이해설0103고퀄리티 풀이영상제공0103 내분점의 자취의 방정식

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[문제 103] 핵심 개념 및 풀이 전략

움직이는 점과 정점을 잇는 선분의 내분점이 그리는 도형(자취)의 방정식을 구하는 문제입니다. 102번 문제와 풀이 구조가 동일합니다.

접근법:
1. 구하려는 내분점의 좌표를 P(x,y)로 둡니다.
2. 움직이는 점 B의 좌표를 (a,b)로 두고, 점 B가 직선 위에 있으므로 관계식(b=2a+1)을 얻습니다.
3. 내분점 공식을 이용해 x와 y를 각각 a와 b에 대한 식으로 표현합니다.
4. 3번 식을 a와 b에 대해 정리한 뒤, 2번 관계식에 대입하여 a,b를 소거하면 x,y만의 자취의 방정식이 나옵니다.

주의할 점:
자취 문제의 핵심은 ‘구하려는 점(x,y)’과 ‘주어진 조건 위의 점(a,b)’ 사이의 관계를 식으로 표현하고, 매개변수(a,b)를 소거하는 것입니다. 이 구조를 기억하면 내분점, 중점, 무게중심 등 어떤 자취 문제에도 적용할 수 있습니다.

”

내분점의 자취의 방정식

마플시너지공통수학2풀이해설0119고퀄리티 풀이영상제공0119 주어진 직선에 평행한 직선의 방정식

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[문제 119] 핵심 개념 및 풀이 전략

주어진 직선과 기울기가 같고, 특정한 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.

접근법:
1. 주어진 직선의 방정식을 y에 관해 정리하여 기울기를 먼저 찾습니다.
2. 문제의 직선 또한 기울기가 같으므로, 1단계에서 구한 기울기를 사용합니다.
3. 이 기울기와 주어진 점(-1, 4)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
4. 구한 방정식과 문제에 제시된 직선의 방정식의 계수를 비교하여 미지수 a, b를 결정합니다.

주의할 점:
일반형으로 표현된 직선의 방정식에서 기울기를 구할 때, 부호 실수를 하지 않도록 주의해야 합니다. y에 관해 정리하는 것이 가장 안전한 방법입니다.

”

주어진 직선에 평행한 직선의 방정식

마플시너지공통수학2풀이해설0104고퀄리티 풀이영상제공0104 중점의 자취의 방정식

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[문제 104] 핵심 개념 및 풀이 전략

움직이는 점과 정점을 잇는 선분의 중점이 그리는 도형(자취)의 방정식을 구하는 문제입니다. 103번의 내분점이 중점으로 바뀐 것 외에는 완전히 동일한 유형입니다.

접근법:
1. 구하려는 중점의 좌표를 (x,y)로 둡니다.
2. 움직이는 점 P의 좌표를 (a,b)로 두고, 점 P가 직선 위에 있으므로 관계식(a+2b-3=0)을 얻습니다.
3. 중점 공식을 이용해 x와 y를 a와 b에 대한 식으로 각각 표현합니다.
4. 3번 식을 a와 b에 대해 정리한 뒤, 2번 관계식에 대입하여 a,b를 소거하면 x,y만의 자취의 방정식이 나옵니다.

주의할 점:
이 자취의 방정식은 원래의 직선과 평행한 직선이 됩니다. 중점, 내분점, 외분점의 자취는 대부분 원래 도형과 닮은 형태를 유지한다는 점을 기억하면 좋습니다.

”

중점의 자취의 방정식

마플시너지공통수학2풀이해설0120고퀄리티 풀이영상제공0120 내분점과 기울기로 직선의 방정식 찾기

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[문제 120] 핵심 개념 및 풀이 전략

선분의 내분점을 지나고, 주어진 기울기를 갖는 직선의 방정식을 구하는 응용 문제입니다.

접근법:
1. 먼저 선분 AB를 2:1로 내분하는 점의 좌표를 내분점 공식을 이용해 구합니다.
2. 1단계에서 구한 점의 좌표와 주어진 기울기 -3을 이용해 직선의 방정식을 세웁니다.
3. 이 직선이 또 다른 점 (-2, k)를 지난다고 하였으므로, 직선의 방정식에 이 점의 좌표를 대입하여 k값을 구합니다.

주의할 점:
내분점 공식에서 비율과 좌표를 엇갈려 곱하는 것을 잊지 말아야 합니다. 여러 단계의 계산을 거치므로 각 단계마다 정확한 값을 구하는 것이 중요합니다.

”

내분점과 기울기로 직선의 방정식 찾기

마플시너지공통수학2풀이해설0105고퀄리티 풀이영상제공0105 무게중심의 자취의 방정식

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[문제 105] 핵심 개념 및 풀이 전략

한 꼭짓점이 직선 위를 움직일 때, 삼각형의 무게중심이 그리는 도형(자취)의 방정식을 구하는 문제입니다. 원리는 102~104번과 동일합니다.

접근법:
1. 구하려는 무게중심 G의 좌표를 (x,y)로 둡니다.
2. 움직이는 꼭짓점 A의 좌표를 (a,b)로 두고, 점 A가 직선 위에 있으므로 관계식(b=2a+1)을 얻습니다.
3. 무게중심 공식을 이용해 x와 y를 a와 b에 대한 식으로 각각 표현합니다.
4. 3번 식을 a,b에 대해 정리한 뒤, 2번 관계식에 대입하여 a,b를 소거하면 무게중심의 자취의 방정식이 완성됩니다.

주의할 점:
무게중심의 자취 역시 원래 직선과 평행한 직선이 됩니다. 자취 문제는 어떤 점을 (x,y)로, 어떤 점을 (a,b)로 두어야 하는지 설정하는 첫 단계가 가장 중요합니다.

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무게중심의 자취의 방정식

마플시너지공통수학2풀이해설0106고퀄리티 풀이영상제공0106 좌표축 위 등거리 점과 거리 계산

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[문제 106] 핵심 개념 및 풀이 전략

x축과 y축 위에 있으면서 두 점 A, B로부터 같은 거리에 있는 점들을 각각 찾아 두 점 사이의 거리를 구하는 서술형 종합 문제입니다.

접근법:
1. [1단계] x축 위의 점 P를 (a,0)으로 설정하고, AP=BP (즉, AP²=BP²) 라는 방정식을 풀어 P의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] y축 위의 점 Q를 (0,b)로 설정하고, AQ=BQ (즉, AQ²=BQ²) 라는 방정식을 풀어 Q의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 1, 2단계에서 구한 두 점 P, Q의 좌표를 이용해 선분 PQ의 길이를 구합니다.

주의할 점:
기본적인 유형 두 개를 합쳐놓은 문제입니다. 각 단계에서 계산 실수가 발생하면 최종 답에 영향을 주므로, 차분하게 풀어나가는 것이 중요합니다.

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좌표축 위 등거리 점과 거리 계산

마플시너지공통수학2풀이해설0107고퀄리티 풀이영상제공0107 두 내분점 사이의 거리 계산

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[문제 107] 핵심 개념 및 풀이 전략

한 선분에 대한 서로 다른 두 내분점을 각각 구한 뒤, 그 두 점 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다.

접근법:
1. [1단계] 주어진 두 점 A, B의 좌표와 1:2라는 비율을 이용해 내분점 P의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] 동일한 두 점 A, B의 좌표와 2:1이라는 비율을 이용해 내분점 Q의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 1, 2단계에서 구한 두 점 P, Q의 좌표를 이용해 두 점 사이의 거리를 구합니다.

주의할 점:
내분점 공식을 두 번 정확하게 적용할 수 있는지를 평가하는 문제입니다. 좌표와 비율을 엇갈려 곱하는 과정에서 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.

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두 내분점 사이의 거리 계산

마플시너지공통수학2풀이해설0108고퀄리티 풀이영상제공0108 중점, 무게중심, 외심 종합 문제

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[문제 108] 핵심 개념 및 풀이 전략

삼각형의 중점, 무게중심, 외심의 좌표를 순서대로 구하는 종합 서술형 문제입니다.

접근법:
1. [1단계] 선분 AB의 중점 M의 좌표를 중점 공식을 이용해 구합니다.
2. [2단계] 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 삼각형 ABC의 무게중심 G를 구합니다.
3. [3단계] 삼각형 AMG의 외심 P를 구합니다. 외심은 세 꼭짓점 A, M, G로부터 같은 거리에 있으므로, PA=PG=PM 이라는 연립방정식을 풀어 P의 좌표를 구합니다.

주의할 점:
각 점(중점, 무게중심, 외심)의 정의와 구하는 방법을 명확히 구분해야 합니다. 특히 외심을 구하는 과정은 연립방정식 풀이가 필요해 계산이 복잡할 수 있습니다.

”

중점, 무게중심, 외심 종합 문제