“
x절편과 y절편 사이의 관계가 주어지고, 특정 점을 지나는 조건을 이용해 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. x절편을 a라고 두면, y절편은 절댓값이 같고 부호가 반대이므로 -a가 됩니다.
2. 절편 공식을 이용해 직선의 방정식을 a를 포함한 상태로 세웁니다: x/a + y/(-a) = 1.
3. 이 직선이 점 (4, -1)을 지난다고 했으므로, 좌표를 식에 대입하여 a값을 구합니다.
4. a값이 정해지면 직선의 방정식이 확정되며, y절편(-a)을 구할 수 있습니다.
주의할 점:
‘절댓값이 같고 부호가 반대’라는 조건을 식으로 정확히 표현하는 것이 중요합니다. 이 경우 기울기는 항상 1이 됩니다.
”
절편의 관계를 이용한 직선 구하기
“
서로 다른 방식으로 주어진 두 직선의 교점을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (직선 l₁) 두 점 (2,1), (0,-1)을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
2. (직선 l₂) x절편 4, y절편 8을 이용해 절편 공식으로 직선의 방정식을 구합니다.
3. 1단계와 2단계에서 구한 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표 (a, b)를 찾습니다.
주의할 점:
다양한 조건(두 점, 절편 등)으로부터 직선의 방정식을 능숙하게 구할 수 있는지 확인하는 문제입니다. 연립방정식 계산을 정확히 해야 합니다.
”
두 직선의 교점 좌표 구하기
“
직선이 x축, y축에 의해 잘린 선분의 길이를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 x절편과 y절편을 각각 구합니다. (x절편: y=0 대입, y절편: x=0 대입)
2. 잘린 선분은 x절편 지점과 y절편 지점을 잇는 선분입니다.
3. 두 절편 지점 사이의 거리가 5라는 것을 피타고라스 정리 또는 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 식으로 세웁니다.
4. 이 방정식을 풀어 ‘양수 a’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
x절편, y절편, 그리고 원점을 세 꼭짓점으로 하는 직각삼각형을 상상하면, 잘린 선분은 그 직각삼각형의 빗변이 됩니다.
”
좌표축에 잘린 선분의 길이 구하기
“
직선과 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 주어졌을 때 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 x절편과 y절편을 각각 구합니다. 이들이 삼각형의 밑변과 높이가 됩니다.
2. 삼각형의 넓이 공식, 즉 **1/2 * |x절편| * |y절편|** 을 이용해 넓이를 식으로 표현합니다.
3. 이 넓이가 12와 같다고 등식을 세워 미지수 k의 값을 구합니다.
주의할 점:
절편 값은 음수가 될 수 있지만, 길이는 항상 양수이므로 넓이 계산 시 절댓값을 취하는 것을 잊지 말아야 합니다. (이 문제에서는 양수 k 조건이 있어 절편이 모두 양수입니다.)
”
직선과 좌표축으로 둘러싸인 넓이
“
한 꼭짓점이 직선 위를 움직일 때, 삼각형의 무게중심이 그리는 도형(자취)의 방정식을 구하는 문제입니다. 원리는 102~104번과 동일합니다.
접근법:
1. 구하려는 무게중심 G의 좌표를 (x,y)로 둡니다.
2. 움직이는 꼭짓점 A의 좌표를 (a,b)로 두고, 점 A가 직선 위에 있으므로 관계식(b=2a+1)을 얻습니다.
3. 무게중심 공식을 이용해 x와 y를 a와 b에 대한 식으로 각각 표현합니다.
4. 3번 식을 a,b에 대해 정리한 뒤, 2번 관계식에 대입하여 a,b를 소거하면 무게중심의 자취의 방정식이 완성됩니다.
주의할 점:
무게중심의 자취 역시 원래 직선과 평행한 직선이 됩니다. 자취 문제는 어떤 점을 (x,y)로, 어떤 점을 (a,b)로 두어야 하는지 설정하는 첫 단계가 가장 중요합니다.
”
무게중심의 자취의 방정식
“
x축과 y축 위에 있으면서 두 점 A, B로부터 같은 거리에 있는 점들을 각각 찾아 두 점 사이의 거리를 구하는 서술형 종합 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] x축 위의 점 P를 (a,0)으로 설정하고, AP=BP (즉, AP²=BP²) 라는 방정식을 풀어 P의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] y축 위의 점 Q를 (0,b)로 설정하고, AQ=BQ (즉, AQ²=BQ²) 라는 방정식을 풀어 Q의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 1, 2단계에서 구한 두 점 P, Q의 좌표를 이용해 선분 PQ의 길이를 구합니다.
주의할 점:
기본적인 유형 두 개를 합쳐놓은 문제입니다. 각 단계에서 계산 실수가 발생하면 최종 답에 영향을 주므로, 차분하게 풀어나가는 것이 중요합니다.
”
좌표축 위 등거리 점과 거리 계산
“
한 선분에 대한 서로 다른 두 내분점을 각각 구한 뒤, 그 두 점 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 주어진 두 점 A, B의 좌표와 1:2라는 비율을 이용해 내분점 P의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] 동일한 두 점 A, B의 좌표와 2:1이라는 비율을 이용해 내분점 Q의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 1, 2단계에서 구한 두 점 P, Q의 좌표를 이용해 두 점 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
내분점 공식을 두 번 정확하게 적용할 수 있는지를 평가하는 문제입니다. 좌표와 비율을 엇갈려 곱하는 과정에서 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
두 내분점 사이의 거리 계산
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삼각형의 중점, 무게중심, 외심의 좌표를 순서대로 구하는 종합 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 선분 AB의 중점 M의 좌표를 중점 공식을 이용해 구합니다.
2. [2단계] 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 삼각형 ABC의 무게중심 G를 구합니다.
3. [3단계] 삼각형 AMG의 외심 P를 구합니다. 외심은 세 꼭짓점 A, M, G로부터 같은 거리에 있으므로, PA=PG=PM 이라는 연립방정식을 풀어 P의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
각 점(중점, 무게중심, 외심)의 정의와 구하는 방법을 명확히 구분해야 합니다. 특히 외심을 구하는 과정은 연립방정식 풀이가 필요해 계산이 복잡할 수 있습니다.
”
중점, 무게중심, 외심 종합 문제
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중점과 무게중심 좌표를 단서로 하여 나머지 꼭짓점을 찾고, 최종적으로 특정 내분점의 좌표를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 꼭짓점 A와 선분 AB의 중점 좌표를 이용해 꼭짓점 B의 좌표를 역으로 추적합니다.
2. [2단계] 꼭짓점 C의 좌표를 미지수로 두고, 세 꼭짓점 A, B, C의 무게중심이 주어진 좌표와 같다는 식을 세워 C의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 확정된 두 점 B, C의 좌표를 이용해 선분 BC를 3:1로 내분하는 점의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
주어진 정보를 어떤 순서로 활용해야 할지 설계하는 것이 중요합니다. 중점을 이용해 B를 먼저 찾고, 무게중심을 이용해 C를 찾는 흐름을 따라야 합니다.
”
중점과 무게중심으로 내분점 구하기
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서로 다른 속력으로 움직이는 두 사람 사이의 거리의 최솟값을 구하는 실생활 활용 문제입니다. 이차함수의 최소를 이용합니다.
접근법:
1. [1단계] 교차점을 원점으로 하는 좌표평면을 설정하고, t초 후 두 사람의 위치를 각각 t에 대한 좌표로 나타냅니다.
2. [2단계] t초 후 두 사람 사이의 거리를 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 t에 대한 식으로 표현합니다.
3. [3단계] 거리 식의 루트 안쪽은 t에 대한 이차식이 됩니다. 이 이차식을 완전제곱식으로 변형하여 최솟값을 구합니다. 이 값이 거리의 제곱의 최솟값이므로, 마지막에 루트를 씌워 실제 거리의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
출발점과 진행 방향(동/서/남/북)을 고려하여 t초 후의 좌표를 정확히 설정하는 것이 가장 중요합니다.
”
움직이는 두 점의 거리 최솟값
