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선분의 내분점을 지나고, 주어진 기울기를 갖는 직선의 방정식을 구하는 응용 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 선분 AB를 2:1로 내분하는 점의 좌표를 내분점 공식을 이용해 구합니다.
2. 1단계에서 구한 점의 좌표와 주어진 기울기 -3을 이용해 직선의 방정식을 세웁니다.
3. 이 직선이 또 다른 점 (-2, k)를 지난다고 하였으므로, 직선의 방정식에 이 점의 좌표를 대입하여 k값을 구합니다.
주의할 점:
내분점 공식에서 비율과 좌표를 엇갈려 곱하는 것을 잊지 말아야 합니다. 여러 단계의 계산을 거치므로 각 단계마다 정확한 값을 구하는 것이 중요합니다.
”
내분점과 기울기로 직선의 방정식 찾기
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한 꼭짓점이 직선 위를 움직일 때, 삼각형의 무게중심이 그리는 도형(자취)의 방정식을 구하는 문제입니다. 원리는 102~104번과 동일합니다.
접근법:
1. 구하려는 무게중심 G의 좌표를 (x,y)로 둡니다.
2. 움직이는 꼭짓점 A의 좌표를 (a,b)로 두고, 점 A가 직선 위에 있으므로 관계식(b=2a+1)을 얻습니다.
3. 무게중심 공식을 이용해 x와 y를 a와 b에 대한 식으로 각각 표현합니다.
4. 3번 식을 a,b에 대해 정리한 뒤, 2번 관계식에 대입하여 a,b를 소거하면 무게중심의 자취의 방정식이 완성됩니다.
주의할 점:
무게중심의 자취 역시 원래 직선과 평행한 직선이 됩니다. 자취 문제는 어떤 점을 (x,y)로, 어떤 점을 (a,b)로 두어야 하는지 설정하는 첫 단계가 가장 중요합니다.
”
무게중심의 자취의 방정식
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x축과 y축 위에 있으면서 두 점 A, B로부터 같은 거리에 있는 점들을 각각 찾아 두 점 사이의 거리를 구하는 서술형 종합 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] x축 위의 점 P를 (a,0)으로 설정하고, AP=BP (즉, AP²=BP²) 라는 방정식을 풀어 P의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] y축 위의 점 Q를 (0,b)로 설정하고, AQ=BQ (즉, AQ²=BQ²) 라는 방정식을 풀어 Q의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 1, 2단계에서 구한 두 점 P, Q의 좌표를 이용해 선분 PQ의 길이를 구합니다.
주의할 점:
기본적인 유형 두 개를 합쳐놓은 문제입니다. 각 단계에서 계산 실수가 발생하면 최종 답에 영향을 주므로, 차분하게 풀어나가는 것이 중요합니다.
”
좌표축 위 등거리 점과 거리 계산
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한 선분에 대한 서로 다른 두 내분점을 각각 구한 뒤, 그 두 점 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 주어진 두 점 A, B의 좌표와 1:2라는 비율을 이용해 내분점 P의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] 동일한 두 점 A, B의 좌표와 2:1이라는 비율을 이용해 내분점 Q의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 1, 2단계에서 구한 두 점 P, Q의 좌표를 이용해 두 점 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
내분점 공식을 두 번 정확하게 적용할 수 있는지를 평가하는 문제입니다. 좌표와 비율을 엇갈려 곱하는 과정에서 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
두 내분점 사이의 거리 계산
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마름모의 성질과 무게중심 개념이 결합된 종합 문제입니다.
접근법:
1. [cite_start]먼저 91번 문제와 같이, 마름모의 두 가지 성질(대각선 중점 일치, 이웃한 변의 길이 같음)을 이용해 모든 꼭짓점의 좌표를 확정합니다. [cite: 2366-2378]
2. 꼭짓점 B, C, D의 좌표가 모두 정해졌습니다.
3. 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 BCD의 무게중심을 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
여러 단계를 거쳐야 하는 문제입니다. 각 단계에서 요구하는 개념(마름모 성질, 무게중심 공식)을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
”
마름모 성질과 무게중심
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평행사변형의 성질과 함께 둘레의 길이 조건이 주어진 응용 문제입니다.
접근법:
1. 평행사변형의 둘레의 길이가 16√2이므로, 이웃한 두 변의 길이의 합은 그 절반인 8√2입니다. (AB+AD = 8√2 또는 AB+BC = 8√2)
2. 선분 AB의 길이는 주어진 좌표로 계산할 수 있습니다.
3. 이를 통해 선분 AD(또는 BC)의 길이를 알 수 있습니다.
4. 꼭짓점 D의 좌표를 미지수로 두고, AD의 길이가 특정 값이 된다는 방정식을 세워 풀어 모든 가능한 k값을 찾습니다.
주의할 점:
평행사변형의 성질(대각선 중점 일치)을 이용해 점 D의 좌표를 먼저 k에 대한 식으로 표현한 뒤, 변의 길이를 계산하는 방법도 있습니다.
”
평행사변형 둘레와 꼭짓점
“
마름모의 두 가지 핵심 성질을 모두 활용하여 모든 미지수를 찾는 종합 문제입니다.
접근법:
1. **(성질 1: 변의 길이)** 마름모는 네 변의 길이가 같습니다. [cite_start]원점을 포함하므로 OA=OC 라는 조건을 이용하면 미지수 a의 값을 먼저 구할 수 있습니다. [cite: 2455-2457]
2. **(성질 2: 대각선 중점)** 대각선 OB와 대각선 AC의 중점이 일치한다는 성질을 이용합니다.
3. 1단계에서 구한 a값을 포함하여 AC의 중점 좌표를 구하고, 이를 OB의 중점 좌표와 같다고 놓으면 나머지 미지수 b, c의 값을 구할 수 있습니다.
주의할 점:
어떤 성질을 먼저 적용해야 미지수를 효율적으로 줄여나갈 수 있는지 판단하는 전략이 필요합니다. 이 문제에서는 변의 길이 조건을 먼저 사용하는 것이 유리합니다.
”
마름모 성질 종합 (대각선, 변)
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삼각형의 내각의 이등분선 정리를 이용하여 선분의 내분점 좌표를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 내각의 이등분선 정리는 **AB : AC = BD : DC** 라는 변의 길이 비 관계입니다.
2. [cite_start]먼저 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 선분 AB와 선분 AC의 길이를 각각 구합니다. [cite: 2434-2436]
3. 두 길이의 비(AB:AC)가 바로 밑변 BC를 나누는 비(BD:DC)가 됩니다.
4. 따라서 점 D는 선분 BC를 AB:AC의 비율로 내분하는 점이므로, 내분점 공식을 이용해 좌표를 구합니다.
주의할 점:
내각의 이등분선 정리를 모르면 풀 수 없는 문제입니다. ‘각의 이등분선’이라는 키워드를 보면 이 정리를 바로 떠올릴 수 있도록 암기해두어야 합니다.
”
내각의 이등분선 정리
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95번 문제의 원리를 삼각형의 넓이 비에 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. 95번과 동일하게, 내각의 이등분선 정리에 따라 밑변의 분할비 BD:DC는 AB:AC와 같습니다.
2. 두 삼각형 ABD와 ADC는 꼭짓점 A를 공유하므로 높이가 같습니다.
3. 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비는 **밑변의 길이의 비**와 같습니다.
4. 따라서 (넓이 비) ABD:ADC = (밑변 비) BD:DC = (변의 비) AB:AC 입니다. 선분 AB와 AC의 길이를 구해 그 비율을 찾으면 됩니다.
주의할 점:
각의 이등분선이 밑변을 나누는 비가, 원래 삼각형의 넓이를 나누는 비와도 같다는 점을 이해하는 것이 핵심입니다.
”
각의 이등분선과 넓이 비
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삼각형이 이등변삼각형이라는 조건과 무게중심이 x축 위에 있다는 두 가지 조건을 연립하여 푸는 문제입니다.
접근법:
1. (조건 1: 이등변삼각형) AC=BC 라는 조건에서, 양변을 제곱하여 AC²=BC² 이라는 등식을 세워 미지수 a, b의 관계식을 하나 얻습니다.
2. (조건 2: 무게중심) 무게중심이 x축 위에 있다는 것은 무게중심의 y좌표가 0이라는 의미입니다. 무게중심의 y좌표를 구하는 식 = 0 이라고 놓고 두 번째 관계식을 얻습니다.
3. 두 관계식을 연립하여 a와 b의 값을 구합니다.
주의할 점:
이등변삼각형의 꼭짓점 C는 밑변 AB의 수직이등분선 위에 있다는 성질을 이용하면, 수직이등분선의 방정식을 구해서 푸는 다른 접근도 가능합니다.
”
이등변삼각형과 무게중심 조건
