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원의 방정식 일반형에서 원의 넓이가 주어졌을 때, 계수에 포함된 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 방정식을 x와 y에 대해 완전제곱식을 이용하여 표준형으로 변환합니다.
2. 표준형 (x-A)²+(y-B)²=R² 에서 우변에 해당하는 R²이 바로 **반지름의 제곱**입니다. 이 식은 미지수 a를 포함하게 됩니다.
3. 원의 넓이가 45π 이므로, 반지름의 제곱 R²은 45입니다.
4. 2단계에서 구한 a에 대한 식이 45와 같다고 등식을 세워 a에 대한 방정식을 풉니다.
5. ‘모든 a의 값의 곱’을 물었으므로, 근과 계수의 관계를 이용합니다.
주의할 점:
일반형을 표준형으로 바꾸는 과정, 특히 상수항 부분을 정확하게 이항하고 정리하는 것이 중요합니다.
”
원의 넓이가 주어졌을 때 미지수 찾기
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주어진 방정식이 원을 나타낼 조건을 이해하고, 그 조건 하에서 원의 넓이가 최대가 될 때를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 방정식을 표준형으로 변환합니다. (x-1)²+y² = -a²+6a.
2. 이 식이 원이 되려면, 우변(반지름의 제곱)이 **0보다 커야** 합니다. 이 조건으로 a의 범위를 구합니다.
3. 원의 넓이가 최대가 되려면 반지름, 즉 반지름의 제곱이 최대가 되어야 합니다. 우변에 있는 a에 대한 이차식의 최댓값을 구합니다.
4. 2단계에서 구한 a의 범위 내에서, 3단계의 이차식이 언제 최댓값을 갖는지 확인하고, 그 최댓값을 이용해 반지름을 구합니다.
주의할 점:
방정식이 원이 되기 위한 조건은 (반지름)² > 0 이라는 점을 반드시 기억해야 합니다.
”
방정식이 원이 될 조건과 넓이의 최댓값
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원과 직선이 만나는 현의 길이가 최대가 될 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 원에서 가장 긴 현은 바로 원의 지름입니다.
2. 따라서 현 AB의 길이가 최대가 되려면, 직선 4x+3y+k=0이 원의 지름을 포함해야 합니다.
3. 이는 곧 직선이 원의 중심을 지난다는 것을 의미합니다.
4. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 바꿔 중심의 좌표를 찾습니다.
5. 찾은 중심의 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 k값을 구합니다.
주의할 점:
‘현의 길이가 최대’라는 기하학적 표현을 ‘직선이 원의 중심을 지난다’는 대수적 조건으로 해석하는 능력이 핵심입니다.
”
현의 길이가 최대가 될 조건 (지름)
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하나의 직선이 두 개의 원의 넓이를 동시에 이등분하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 원의 넓이를 이등분하려면, 반드시 그 원의 중심을 지나야 합니다.
2. 따라서 두 원의 넓이를 동시에 이등분하는 직선은, **두 원의 중심을 모두 지나는 유일한 직선**입니다.
3. 각 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 두 원의 중심 좌표를 각각 구합니다.
4. 이 두 중심의 좌표를 주어진 직선의 방정식에 대입하면, 미지수 a와 b에 대한 연립방정식을 얻을 수 있습니다.
5. 연립방정식을 풀어 a, b 값을 구합니다.
주의할 점:
넓이 이등분 조건은 중심을 지난다는 조건과 같다는 것을 파악하면, 결국 두 점을 지나는 직선 문제로 귀결됩니다.
”
두 원의 넓이를 동시에 이등분하는 직선
“
세 직선으로 둘러싸인 삼각형의 내심(세 내각의 이등분선의 교점)의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 세 직선의 교점을 각각 구하여 삼각형의 세 꼭짓점의 좌표를 찾습니다.
2. 세 내각 중 계산하기 편한 두 내각의 이등분선의 방정식을 구합니다.
3. 각의 이등분선은 두 직선으로부터 같은 거리에 있는 점들의 자취라는 원리를 이용합니다.
4. 두 개의 각의 이등분선 방정식을 구한 뒤, 이들을 연립하여 교점인 내심의 좌표를 찾습니다.
주의할 점:
각의 이등분선은 두 개씩 나오므로, 삼각형의 안쪽을 지나는 것을 잘 선택해야 합니다. 계산량이 매우 많은 문제이므로, 각 단계별 계산을 정확하게 하는 것이 관건입니다.
”
선대칭을 이용한 최단 거리
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직선의 x, y절편을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 성질을 묻는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 x절편(A)과 y절편(B)을 각각 구합니다. 이 두 점이 지름의 양 끝점입니다.
2. (보기 ㄱ) 원의 중심은 선분 AB의 중점입니다.
3. (보기 ㄴ) 원의 둘레 길이를 구하려면 반지름이 필요합니다. 반지름은 중심과 점 A 사이의 거리입니다.
4. (보기 ㄷ) 중심과 반지름을 이용해 원의 방정식을 표준형으로 세우고, 이를 전개하여 일반형과 비교합니다.
주의할 점:
각 보기에서 요구하는 개념(중심, 둘레, 방정식)을 정확히 이해하고, 지름의 양 끝점을 이용해 각각의 값을 올바르게 계산해야 합니다.
”
직선의 절편을 지름으로 하는 원
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도형을 접는 상황(선대칭)을 좌표평면으로 옮겨 거리를 구하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 정사각형을 좌표평면 위에 배치합니다. 변 AB의 중점 M을 원점으로 두면 계산이 편리합니다.
2. ‘종이를 접는다’는 것은 선대칭 이동을 의미합니다. 접기 전의 길이와 접은 후의 길이는 같습니다. 즉, 선분 AB의 길이와 선분 A’B의 길이가 같습니다.
3. 이 성질을 이용하면 점 A’의 좌표를 구할 수 있습니다.
4. 두 점 A’와 B의 좌표를 이용해 직선 A’B의 방정식을 구합니다.
5. 최종적으로 원래 점 A와 직선 A’B 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식으로 구합니다.
주의할 점:
접었을 때 변하지 않는 길이(선분 길이)가 무엇인지 파악하는 것이 문제 해결의 결정적인 단서입니다.
”
곡선 밖에서 그은 두 접선이 수직일 조건
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선분의 내분점을 구하고, 그 내분점과 다른 한 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 점 A, B를 3:2로 내분하는 점 C의 좌표를 구합니다.
2. 이제 선분 BC가 새로운 원의 지름이 됩니다.
3. 원의 중심은 선분 BC의 중점입니다. 중점 공식을 이용해 중심 (a,b)를 구합니다.
4. 원의 반지름은 중심과 점 B(또는 C) 사이의 거리입니다. 거리 공식을 이용해 반지름을 구하여 r²값을 찾습니다.
주의할 점:
문제에서 어떤 선분이 내분되고, 어떤 선분이 지름이 되는지를 명확히 구분해야 합니다. 여러 점이 등장하므로 혼동하기 쉽습니다.
”
내분점과 한 점을 지름으로 하는 원
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곡선 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 접선의 기울기를 m이라 하고, 점 (a,a)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 이차함수와 접하므로, 두 식을 연립한 이차방정식의 판별식 D=0이 성립해야 합니다.
3. 판별식 D=0을 정리하면, 기울기 m에 대한 이차방정식이 만들어집니다. 이 방정식의 두 근이 바로 두 접선의 기울기가 됩니다.
4. 두 접선이 서로 수직이므로, 두 기울기의 곱은 -1입니다.
5. m에 대한 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 이용해 ‘두 근의 곱 = -1’ 이라는 식을 세워 a값을 구합니다.
주의할 점:
이차함수 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 수직이 되는 점들의 자취는 그 이차함수의 ‘준선’이 됩니다. 이 배경지식을 알고 있으면 문제 이해에 도움이 됩니다.
”
이등변삼각형과 무게중심의 복합 문제
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이등변삼각형, 내분점, 무게중심의 성질이 복합적으로 얽혀있는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 ABC가 AC=BC인 이등변삼각형이므로, 꼭짓점 C는 선분 AB의 수직이등분선 위에 있습니다. 이를 통해 점 C의 좌표 (a,b)에 대한 첫 번째 관계식을 얻습니다.
2. 점 G는 삼각형 CPQ의 무게중심입니다. 닮음의 성질을 이용하면, 점 R(선분 CM의 1:3 내분점)과 G의 관계를 파악할 수 있습니다.
3. 주어진 CG의 길이를 이용해 a, b에 대한 두 번째 관계식을 얻습니다.
4. 두 관계식을 연립하여 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
도형의 닮음 성질과 무게중심의 위치 관계를 정확히 파악해야 계산을 줄일 수 있습니다. 계산량이 매우 많으므로 각 단계별로 신중한 접근이 필요합니다.
”
이차함수와 정사각형 조건의 복합 문제
