“
하나의 직선이 두 개의 원의 넓이를 동시에 이등분하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 원의 넓이를 이등분하려면, 반드시 그 원의 중심을 지나야 합니다.
2. 따라서 두 원의 넓이를 동시에 이등분하는 직선은, **두 원의 중심을 모두 지나는 유일한 직선**입니다.
3. 각 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 두 원의 중심 좌표를 각각 구합니다.
4. 이 두 중심의 좌표를 주어진 직선의 방정식에 대입하면, 미지수 a와 b에 대한 연립방정식을 얻을 수 있습니다.
5. 연립방정식을 풀어 a, b 값을 구합니다.
주의할 점:
넓이 이등분 조건은 중심을 지난다는 조건과 같다는 것을 파악하면, 결국 두 점을 지나는 직선 문제로 귀결됩니다.
”
두 원의 넓이를 동시에 이등분하는 직선
“
직선이 원의 넓이를 이등분할 때, 만들어지는 삼각형 넓이의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 원의 넓이를 이등분하므로, 반드시 원의 중심을 지납니다. 이 조건을 이용해 원의 방정식에 포함된 미지수 a를 먼저 구합니다.
2. 이제 원의 방정식이 확정됩니다. 반지름의 길이도 알 수 있습니다.
3. 직선이 원과 만나는 두 점 A, B는 지름의 양 끝점이 됩니다. 선분 AB가 삼각형의 밑변이 됩니다.
4. 삼각형 ABC의 넓이가 최대가 되려면, 높이가 최대여야 합니다. 높이가 최대일 때는 점 C에서 지름 AB에 내린 수선의 길이가 **반지름**이 될 때입니다.
5. 넓이 최댓값 = 1/2 * (밑변 AB) * (최대 높이) = 1/2 * (지름) * (반지름) = 반지름² 이 됩니다.
주의할 점:
지름을 밑변으로 하는 내접삼각형의 넓이가 최대가 될 때는, 높이가 반지름인 직각이등변삼각형일 때입니다.
”
넓이 이등분과 삼각형 넓이 최댓값
“
원의 중심을 지나는 직선, 즉 넓이를 이등분하는 직선에 대한 문제입니다.
접근법:
1. 직선 y=2x+3이 원의 중심을 지납니다.
2. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심의 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 2단계에서 구한 중심의 좌표를 직선의 방정식 y=2x+3에 대입합니다.
4. 대입하면 a에 대한 간단한 일차방정식이 만들어지며, 이를 풀어 a값을 구합니다.
주의할 점:
원의 일반형에서 중심의 좌표를 빠르게 찾는 연습이 필요합니다. (중심 x좌표 = – (x계수)/2, 중심 y좌표 = – (y계수)/2)
”
직선이 원의 중심을 지날 조건
“
각의 이등분선 정리를 이용해 내분점을 찾고, 그 점과 다른 한 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 넓이를 구하는 융합 문제입니다.
접근법:
1. 각 A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점이 D이므로, **각의 이등분선 정리에 의해 AB:AC = BD:DC** 가 성립합니다.
2. 선분 AB와 AC의 길이를 각각 구하여 길이의 비를 찾습니다.
3. 점 D는 선분 BC를 2단계에서 구한 비율로 내분하는 점입니다. 내분점 공식을 이용해 D의 좌표를 구합니다.
4. 이제 원의 지름의 양 끝점인 A와 D의 좌표를 모두 알았습니다. 이 두 점 사이의 거리를 구해 지름을 찾고, 반지름을 계산하여 원의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
직선의 방정식 단원에서 배운 ‘각의 이등분선 정리’를 잊었다면 풀기 어려운 문제입니다. 여러 단원의 핵심 개념이 어떻게 연결되는지 보여주는 좋은 예시입니다.
”
각의 이등분선과 지름의 양 끝점
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이차함수의 꼭짓점과 원의 중심이 일치할 때, 미정계수를 찾는 융합 문제입니다.
접근법:
1. 이차함수 식을 완전제곱식으로 변형하여 꼭짓점 A의 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심의 좌표를 미지수 b를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 두 점의 좌표가 일치하므로, x좌표는 x좌표끼리, y좌표는 y좌표끼리 같다고 등식을 세웁니다.
4. 두 등식을 통해 a와 b의 값을 각각 구합니다.
주의할 점:
이차함수의 꼭짓점을 구하는 방법과 원의 방정식의 중심을 구하는 방법을 모두 정확히 알고 있어야 풀 수 있는 문제입니다.
”
이차함수 꼭짓점과 원의 중심 일치
“
중심이 y축 위에 있고, 두 점을 지나는 원의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 y축 위에 있으므로, 중심의 좌표를 (0, a)로 설정합니다.
2. 원의 중심에서 원 위의 두 점 (2,-1)과 (3,4)까지의 거리는 반지름으로 서로 같습니다.
3. 이 ‘거리가 같다’는 조건을 이용해 방정식을 세우면, 미지수 a의 값을 구할 수 있습니다. 이를 통해 중심 좌표가 확정됩니다.
4. 중심 좌표를 이용해 반지름의 길이도 계산할 수 있습니다.
5. 완성된 원의 정보를 바탕으로 각 보기의 참/거짓을 판별합니다.
주의할 점:
중심이 특정 축 위에 있다는 조건은 중심 좌표의 미지수를 하나로 줄여주는 매우 중요한 힌트입니다.
”
중심이 y축 위에 있고 두 점을 지나는 원
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세 점을 지나는 원의 방정식을 구하는 가장 대표적인 유형입니다.
접근법:
1. (방법 1: 연립방정식) 원의 방정식을 일반형(x²+y²+Ax+By+C=0)으로 설정하고, 주어진 세 점의 좌표를 각각 대입하여 A, B, C에 대한 연립방정식을 풉니다.
2. (방법 2: 외심 찾기) 원의 중심은 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 외심과 같습니다. 중심에서 세 점까지의 거리가 모두 같다는 성질(PA=PB=PC)을 이용해 중심의 좌표를 구하고, 반지름을 찾아 방정식을 완성합니다.
주의할 점:
세 점 중 하나가 원점이거나 좌표축 위의 점일 경우, 방법 1(일반형 대입)이 계산이 더 간편한 경우가 많습니다. 방법 2는 삼각형 두 변의 수직이등분선의 교점을 찾는 방법으로도 풀 수 있습니다.
”
세 점을 지나는 원의 방정식
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중심이 x축 위에 있고, 두 점을 지나는 원을 찾고, 이를 이용해 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심 C가 x축 위에 있으므로, 좌표를 (a, 0)으로 설정합니다.
2. 원의 중심 C에서 두 점 A, B까지의 거리는 반지름으로 같습니다(CA=CB). 이 조건을 이용해 a값을 구해 중심 C의 좌표를 찾습니다.
3. 이제 삼각형 ABC의 세 꼭짓점 좌표를 모두 알게 되었습니다.
4. 한 변(AB)을 밑변으로 길이를 구하고, 점 C에서 직선 AB까지의 거리를 높이로 구해 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
결론적으로, 중심 C는 선분 AB의 수직이등분선과 x축의 교점입니다. 수직이등분선의 방정식을 구해서 x절편을 찾는 방법으로도 중심을 구할 수 있습니다.
”
중심이 x축 위에 있는 삼각형의 외접원
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세 점을 지나는 원의 방정식을 구하고, 그 원의 성질에 대한 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 세 점 (0,0), (2,2), (-4,2)를 지나는 원의 방정식을 구합니다. (338번 문제 참고)
2. 완성된 원의 방정식을 표준형으로 바꾸어 중심과 반지름을 찾습니다.
3. (보기 ㄱ) 원의 넓이(πr²)를 계산하여 비교합니다.
4. (보기 ㄴ) x축과 만나는 두 점 사이의 거리를 구합니다. (y=0 대입 후 이차방정식 풀이)
5. (보기 ㄷ) 주어진 직선이 원의 중심을 지나는지 확인합니다.
주의할 점:
세 점 중 원점이 포함되어 있어 일반형에 대입하면 상수항 C=0이 되어 계산이 간편해집니다. 각 보기에서 묻는 개념을 정확히 적용해야 합니다.
”
세 점을 지나는 원의 성질 판별
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중심이 특정 직선 위에 있고, 두 점을 지나는 원의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 직선 y=-2x+1 위에 있으므로, 중심의 좌표를 (k, -2k+1)로 설정하여 미지수를 하나로 줄입니다.
2. 중심에서 원 위의 두 점 (1,-6), (5,-2)까지의 거리는 반지름으로 서로 같습니다.
3. 이 ‘거리가 같다’는 조건을 이용해 k에 대한 방정식을 풀면, 중심의 좌표가 확정됩니다.
4. 중심 좌표와 주어진 점 중 하나를 이용해 반지름의 제곱(r²)을 구하고, 원의 넓이(πr²)를 계산합니다.
주의할 점:
중심이 직선 위에 있다는 조건을 이용해 미지수를 하나로 설정하는 것이 가장 효율적인 풀이법입니다.
”
중심이 직선 위에 있고 두 점을 지나는 원
