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[문제 305] 핵심 개념 및 풀이 전략

곡선 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 고난도 문제입니다.

접근법:
1. 접선의 기울기를 m이라 하고, 점 (a,a)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 이차함수와 접하므로, 두 식을 연립한 이차방정식의 판별식 D=0이 성립해야 합니다.
3. 판별식 D=0을 정리하면, 기울기 m에 대한 이차방정식이 만들어집니다. 이 방정식의 두 근이 바로 두 접선의 기울기가 됩니다.
4. 두 접선이 서로 수직이므로, 두 기울기의 곱은 -1입니다.
5. m에 대한 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 이용해 ‘두 근의 곱 = -1’ 이라는 식을 세워 a값을 구합니다.

주의할 점:
이차함수 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 수직이 되는 점들의 자취는 그 이차함수의 ‘준선’이 됩니다. 이 배경지식을 알고 있으면 문제 이해에 도움이 됩니다.

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이등변삼각형과 무게중심의 복합 문제