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하나의 직선이 두 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 조건에 대한 문제입니다.
접근법:
1. 하나의 직선이 직사각형의 넓이를 이등분하려면, 반드시 그 직사각형의 **대각선의 교점(무게중심)**을 지나야 합니다.
2. 따라서 두 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선은, **각 직사각형의 대각선의 교점 두 개를 모두 지나는 유일한 직선**입니다.
3. 각 직사각형의 대각선의 교점 좌표를 구합니다. (마주보는 꼭짓점의 중점)
4. 이 두 개의 교점 좌표를 이용해 직선의 방정식을 구하고, 계수를 비교하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
이 문제는 ‘직사각형 넓이 이등분 = 대각선 교점 통과’ 라는 핵심 성질 하나만 알고 있으면 매우 쉽게 풀 수 있습니다.
”
직사각형 넓이를 동시에 이등분
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두 직선과 한 선분이 만나는 점, 그리고 넓이를 삼등분하는 조건이 결합된 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 OAB의 넓이가 세 직선에 의해 삼등분됨을 이해합니다.
2. 두 직선 l, m이 원점을 지나므로, 이들은 선분 AB와 만나 삼각형의 넓이를 나눕니다. 각 직선이 만드는 삼각형의 넓이는 전체의 1/3 또는 2/3가 됩니다.
3. 이는 두 직선이 선분 AB를 특정 비율로 내분하는 점들을 지난다는 것을 의미합니다. (1:2 내분점과 2:1 내분점)
4. 두 가지 경우(l이 1:2 내분점을 지나는 경우, l이 2:1 내분점을 지나는 경우)를 나누어 각각의 기울기 합을 구하고, 그 중 최댓값을 찾습니다.
주의할 점:
넓이가 삼등분되는 위치, 즉 선분 AB의 1/3, 2/3 지점을 지나는 것을 파악하는 것이 핵심입니다. 두 직선의 역할이 바뀔 수 있으므로 두 가지 경우를 모두 고려해야 합니다.
”
세 직선에 의한 넓이 삼등분
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복잡한 조건이 주어졌지만, 삼각형의 넓이 비와 내분점의 관계를 단계적으로 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 AOB의 넓이를 S라고 가정합니다. 점 P는 선분 AB를 2:1로 내분하므로, 삼각형 AOP의 넓이는 전체 넓이 S의 2/3가 됩니다.
2. 직선 PC가 삼각형 AOB의 넓이를 이등분(1/2 S)하므로, 삼각형 AQP의 넓이는 (삼각형 AOP 넓이) – (삼각형 QOP 넓이) = 2/3 S – 1/2 S = 1/6 S 가 됩니다. (해설 논리 오류 가능성 있음. 해설 기준: 삼각형 QOP 넓이가 1/6 S)
3. 두 삼각형 AQP와 QOP는 높이가 같으므로, 넓이의 비는 밑변 AQ:QO의 비와 같습니다. 이 비율을 이용해 점 Q의 좌표를 구합니다.
4. 최종적으로 직선 PC 위에 점 Q가 있음을 이용하여 미지수 a를 구합니다.
주의할 점:
문제의 조건이 다소 복잡하게 얽혀있습니다. 전체 넓이를 기준으로 각 부분의 넓이가 몇 분의 몇인지 차근차근 추적하는 것이 중요합니다.
”
복합 도형의 넓이 이등분선
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이차함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 원점을 지나는 직선이 이등분하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 이차함수의 꼭짓점 A와 x축과의 교점(원점 O, 점 B)의 좌표를 구합니다. 꼭짓점의 x좌표는 대칭축이므로, 이를 이용해 점 B의 좌표를 쉽게 찾을 수 있습니다.
2. 삼각형 OAB의 넓이를 이등분하는 직선 y=mx는 꼭짓점 O를 지납니다.
3. 따라서 이 직선은 반드시 대변 AB의 중점 M을 지나야 합니다.
4. 중점 M의 좌표를 구한 뒤, 이 좌표를 y=mx에 대입하여 기울기 m을 구합니다.
주의할 점:
이차함수의 대칭성을 이용하여 x절편을 찾는 것이 계산을 간편하게 합니다. 150번 문제와 마찬가지로, 넓이 이등분선은 대변의 중점을 지난다는 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
이차함수와 축으로 생긴 넓이 이등분
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한 꼭짓점을 공유하는 두 삼각형의 넓이 비가 주어졌을 때, 직선의 방정식을 구하는 문제입니다. 넓이 비는 밑변의 내분비와 같습니다.
접근법:
1. 두 삼각형 ABD와 ADC는 꼭짓점 A를 공유하고 밑변이 한 직선 위에 있으므로 높이가 같습니다.
2. 따라서 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같습니다: BD : DC = 3 : 2.
3. 이는 점 D가 선분 BC를 3:2로 내분하는 점임을 의미합니다. 내분점 공식을 이용해 D의 좌표를 구합니다.
4. 이제 두 점 A와 D의 좌표를 모두 알았으므로, 이 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하고 x절편을 찾습니다.
주의할 점:
넓이 비를 내분비로 해석하는 능력이 핵심입니다. 문제의 최종 질문이 점 D의 좌표가 아닌, 직선 AD의 x절편이라는 점에 유의해야 합니다.
”
넓이 비를 이용한 직선의 방정식
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주어진 직선이 삼각형의 넓이를 이등분하는 문제입니다. 먼저 직선의 정점(항상 지나는 점)을 찾아야 합니다.
접근법:
1. 직선의 방정식을 미지수 m에 대하여 정리하여, m의 값에 관계없이 항상 지나는 정점을 찾습니다. 이 문제에서는 정점이 삼각형의 꼭짓점 A(3,2)가 됩니다.
2. 즉, 이 직선은 꼭짓점 A를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는 직선입니다.
3. 따라서 이 직선은 반드시 **대변 BC의 중점 M**을 지나야 합니다.
4. 중점 M의 좌표를 구한 뒤, 이 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 m의 값을 구합니다.
주의할 점:
k, m 등 미지수를 포함한 직선의 방정식은 ‘k값에 관계없이 항상 지나는 점이 있는가?’를 먼저 확인하는 습관을 들이는 것이 매우 중요합니다.
”
정점을 지나는 넓이 이등분선
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삼각형의 한 꼭짓점을 지나는 직선이 넓이를 이등분하는 문제입니다. 150번과 원리가 같습니다.
접근법:
1. 꼭짓점 B를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는 직선은 반드시 대변 AC의 중점 M을 지나야 합니다.
2. 두 점 A, C의 좌표를 이용해 중점 M의 좌표를 구합니다.
3. 이제 이 직선은 꼭짓점 B와 중점 M을 지나는 것이 아니라, 문제에서 주어진 또 다른 점 (1, -2)를 지난다고 하였습니다. (문제 재해석 필요: 직선이 점 B와 중점 M을 지나는 직선인데, 이 직선 위에 (1,-2)가 있다는 의미가 아니라, 점 B를 지나는 넓이 이등분선, 즉 B와 M을 지나는 직선이 점 (1,-2)를 지난다는 의미로 해석해야 함. 하지만 해설을 보면 점 B를 지나는 것이 아니라, (1,-2)와 중점 M을 지나는 직선이 B를 지난다는 의미로 풀이됨. 문제 표현에 혼동이 있을 수 있으나 해설의 흐름을 따름)
4. 해설 기준: 선분 AC의 중점 M과 점 (1,-2)를 지나는 직선을 구하고, 이 직선 위에 점 B(3,a)가 있다고 하여 a값을 구함.
주의할 점:
문제의 표현이 다소 모호할 수 있습니다. ‘꼭짓점 B를 지나고 넓이를 이등분하는 직선’은 ‘직선 BM’을 의미한다는 것을 명확히 해야 합니다.
”
꼭짓점을 지나는 넓이 이등분선
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원점을 지나는 직선이 삼각형의 넓이를 이등분하는 경우에 대한 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형의 한 꼭짓점(이 문제에서는 원점 O)을 지나는 직선이 그 삼각형의 넓이를 이등분하려면, 반드시 마주보는 변(대변)의 중점을 지나야 합니다.
2. 주어진 직선의 x절편(A)과 y절편(B)을 구합니다.
3. 두 점 A, B를 잇는 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구합니다.
4. 구하려는 직선 y=mx는 원점과 중점 M을 지나므로, 점 M의 좌표를 식에 대입하여 기울기 m을 구합니다.
주의할 점:
삼각형 넓이 이등분선의 가장 대표적인 성질입니다. 넓이를 직접 계산하는 것이 아니라, 중점을 지난다는 기하학적 성질을 이용해야 합니다.
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원점을 지나는 넓이 이등분선
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148번 문제와 동일하게, 세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 AB의 기울기와 직선 BC의 기울기를 미지수 a를 포함한 식으로 각각 나타냅니다.
2. 두 기울기가 같다고 등식을 세우면 a에 대한 이차방정식이 만들어집니다.
3. 이차방정식을 풀어 나온 해 중에서 ‘양수’라는 조건에 맞는 a값을 선택합니다.
주의할 점:
세 점의 좌표에 미지수가 흩어져 있어도 당황하지 말고, 기울기 공식을 정확히 적용하여 방정식을 세우는 것이 중요합니다.
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삼각형을 이루지 않는 미지수 값
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세 점이 삼각형을 이루지 않을 조건을 묻는 문제입니다. 이는 곧 세 점이 한 직선 위에 있다는 말과 같습니다.
접근법:
1. ‘삼각형을 이루지 않는다’는 것은 ‘세 점이 일직선상에 존재한다’는 의미로 해석합니다.
2. 144번 문제와 동일하게, 두 점 AB 사이의 기울기와 두 점 BC 사이의 기울기가 같다고 등식을 세웁니다.
3. 이 등식을 풀어 미지수 k의 값을 구합니다.
주의할 점:
문제의 표현이 다르지만, 기하학적 의미는 ‘세 점의 공선 조건’과 동일함을 파악하는 것이 중요합니다. (단, 세 점 중 두 점이 일치하는 경우도 삼각형을 이루지 않지만, 이 문제에서는 서로 다른 세 점이라 가정합니다.)
”
세 점이 삼각형을 이루지 않을 조건
