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한 직선을 기준으로 수직 조건과 평행 조건을 연달아 적용하여 미지수를 찾고, 최종적으로 도형의 넓이를 구하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 수직 조건을 이용해 미지수 a의 값을 구합니다.
2. 첫 번째 평행 조건을 이용해 미지수 b의 값을 구합니다.
3. 구한 a, b 값을 최종적으로 구해야 하는 직선의 방정식에 대입합니다.
4. 완성된 직선의 x절편과 y절편을 구해 삼각형의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
여러 단계를 거치는 문제이므로, 각 단계에서 구한 값을 다음 단계에 정확히 대입해야 합니다. 계산 실수가 없도록 주의하세요.
”
평행과 수직 조건을 연립방정식으로
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두 직선의 수직 조건과 평행 조건을 모두 사용하여 미지수 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (수직 조건) 두 직선의 기울기의 곱이 -1이라는 조건을 이용해 k값을 구합니다. (일반형에서는 aa’+bb’=0)
2. (평행 조건) 두 직선의 기울기가 같고 y절편이 다르다는 조건을 이용해 k값을 구합니다. (일반형에서는 a/a’ = b/b’ ≠ c/c’) 이때, 일치하는 경우는 제외해야 합니다.
3. 각각의 조건에서 나온 k값을 문제에서 요구하는 대로 계산합니다.
주의할 점:
평행 조건을 풀 때, 기울기가 같다고 해서 나온 k값 중 두 직선을 일치하게 만드는 값이 있다면 그 값은 제외해야 합니다.
”
위치 관계로 미지수 찾고 넓이 구하기
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두 직선이 두 개 이상의 교점을 가질 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 서로 다른 두 직선이 두 개 이상의 교점을 갖는 경우는 오직 두 직선이 완전히 일치할 때뿐입니다.
2. 두 직선이 일치할 조건, 즉 기울기와 y절편이 모두 같다는 조건을 식으로 표현합니다.
3. 일반형 방정식에서의 일치 조건(a/a’ = b/b’ = c/c’)을 이용하여 미지수 a, b 사이의 관계식을 구합니다.
4. 이 관계식을 이용해 새로운 직선의 방정식을 완성하고 x절편을 구합니다.
주의할 점:
평행(교점 0개), 한 점에서 만남(교점 1개), 일치(교점 무한개)라는 세 가지 위치 관계의 조건을 명확히 이해하고 있어야 합니다.
”
평행 조건과 수직 조건
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두 직선에 의해 좌표평면이 세 부분으로 나뉠 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 좌표평면이 두 직선에 의해 세 부분으로 나뉘는 경우는 오직 두 직선이 서로 평행할 때뿐입니다. (만나면 네 부분, 일치하면 두 부분으로 나뉩니다.)
2. 두 직선이 평행할 조건, 즉 기울기는 같고 y절편은 다르다는 조건을 식으로 표현합니다.
3. 일반형 방정식에서의 평행 조건(a/a’ = b/b’ ≠ c/c’)을 이용하여 미지수 a에 대한 방정식을 풉니다.
4. 일치하는 경우는 제외하고 평행하기만 한 a값을 찾습니다.
주의할 점:
평행 조건과 일치 조건을 명확히 구분해야 합니다. 문제에서 ‘좌표평면 분할’이라는 표현이 나오면 두 직선의 위치 관계(일치, 평행, 만남)를 떠올려야 합니다.
”
두 직선이 일치할 조건
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세 직선의 위치 관계(평행, 수직)를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선의 방정식을 모두 y=mx+b 형태로 변환하여 기울기를 명확하게 구합니다.
2. 각 직선들의 기울기를 서로 비교합니다.
– 기울기가 같은 직선은 평행합니다.
– 기울기의 곱이 -1인 두 직선은 수직입니다.
3. 이 관계를 바탕으로 보기의 설명 중 옳은 것을 찾습니다.
주의할 점:
일반형 방정식 ax+by+c=0 에서 평행 조건은 a:b의 비율이 같은 것, 수직 조건은 aa’+bb’=0 임을 이용하면 y=mx+b 형태로 변환하지 않고도 빠르게 판단할 수 있습니다.
”
좌표평면을 세 부분으로 나눌 조건
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원점을 지나는 직선이 복잡한 계단형 도형의 넓이를 이등분하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 전체 도형 OABCDE의 넓이를 구합니다. (두 개의 직사각형 넓이의 합)
2. 이등분된 넓이는 전체 넓이의 절반입니다.
3. 원점을 지나는 직선 y=mx가 어느 선분과 만나는지 대략적으로 판단합니다. (이 경우, 선분 CD)
4. 직선이 도형을 나누는 두 부분 중 계산하기 쉬운 한쪽(삼각형+사다리꼴)의 넓이를 m을 이용해 표현하고, 이 넓이가 전체의 절반이라는 등식을 세워 m값을 구합니다.
주의할 점:
전체 도형을 계산하기 편한 여러 개의 사각형으로 나누어 넓이를 구하는 것이 첫 단계입니다. 넓이를 식으로 표현하는 과정이 다소 복잡할 수 있습니다.
”
세 직선의 위치 관계 파악
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157, 158번 문제와 동일한 유형입니다. 두 직사각형의 넓이를 각각 이등분하는 직선을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 하나의 직선이 두 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하려면, 각 직사각형의 대각선의 교점을 모두 지나야 합니다.
2. 큰 직사각형의 대각선의 교점 좌표를 구합니다.
3. 작은 직사각형의 대각선의 교점 좌표를 구합니다.
4. 이 두 교점을 지나는 직선의 기울기 m을 구하면 됩니다.
주의할 점:
좌표가 음수를 포함하고 있으므로, 중점 좌표를 계산할 때 부호 실수를 하지 않도록 주의해야 합니다.
”
계단형 도형의 넓이 이등분
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원점을 지나는 직선이 사다리꼴의 넓이를 이등분하는 문제입니다. 삼각형이나 직사각형처럼 간단한 공식이 없어 직접 넓이를 계산해야 합니다.
접근법:
1. 먼저 전체 사다리꼴 OABC의 넓이를 구합니다. 이등분된 넓이는 그 절반입니다.
2. 원점을 지나는 직선 y=mx가 어느 변과 만나는지 판단합니다. (이 경우, 변 AB와 만남)
3. 직선 y=mx와 변 AB의 교점을 D라고 할 때, 삼각형 OAD의 넓이가 전체 넓이의 절반이 되어야 합니다.
4. 삼각형 OAD의 넓이를 밑변 OA와 높이(점 D의 y좌표)를 이용해 식으로 세워, 점 D의 y좌표를 먼저 구합니다.
5. 직선 AB의 방정식을 구한 뒤, y좌표를 대입하여 점 D의 x좌표까지 확정합니다.
6. 점 D의 좌표를 y=mx에 대입하여 기울기 m을 구합니다.
주의할 점:
직선이 어떤 변과 만나야 넓이가 이등분될지 대략적으로 판단하는 것이 중요합니다. 이등분된 도형의 넓이를 이용해 교점의 좌표를 역으로 찾아내는 것이 핵심입니다.
”
사다리꼴 넓이의 이등분
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두 직선이 직사각형의 넓이를 삼등분하는 문제입니다.
접근법:
1. 전체 직사각형의 넓이를 먼저 구합니다. 삼등분된 각 부분의 넓이는 전체 넓이의 1/3이 됩니다.
2. 두 직선에 의해 나누어지는 세 부분 중, 양쪽 두 부분은 사다리꼴이 됩니다.
3. 각 사다리꼴의 넓이가 전체 넓이의 1/3이 된다는 식을 세웁니다. (사다리꼴 넓이 = 1/2 * (윗변+아랫변) * 높이)
4. 두 개의 등식을 이용해 두 직선의 y절편 a, b를 각각 구할 수 있습니다.
주의할 점:
두 직선의 기울기가 같으므로 평행하다는 점을 인지해야 합니다. 각 사다리꼴의 윗변과 아랫변의 길이는 직선의 방정식에 x좌표를 대입하여 구할 수 있습니다.
”
직사각형 넓이의 삼등분
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157번 문제와 완전히 동일한 유형입니다. 직사각형과 정사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선의 방정식을 구합니다.
접근법:
1. 직선이 각 도형의 넓이를 이등분하려면, 각 도형의 **대각선의 교점**을 지나야 합니다.
2. 직사각형 ABCD의 대각선의 교점 좌표를 구합니다.
3. 정사각형 EFGH의 대각선의 교점 좌표를 구합니다.
4. 2단계와 3단계에서 구한 두 개의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구하여 계수를 비교하고 답을 찾습니다.
주의할 점:
정사각형 또한 직사각형의 일종이므로, 동일한 성질(대각선의 교점을 지나는 직선이 넓이를 이등분)이 적용됩니다.
”
두 도형 넓이를 동시에 이등분
