“
점의 평행이동 규칙을 찾고, 그 규칙을 원에 적용하여 미정계수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (1,5)가 (-1,a)로 이동하는 규칙을 통해, x축 방향 이동량(-2)과 y축 방향 이동량(a-5)을 찾습니다.
2. 원래 원의 중심(0,0)과 반지름(√21)을 구합니다.
3. 원래 원의 중심(0,0)을 1단계에서 찾은 규칙대로 평행이동시켜, 새로운 원의 중심 좌표를 구합니다.
4. 이동 후의 원의 방정식을 표준형으로 바꿔 중심을 찾고, 3단계의 좌표와 비교하여 a, b값을 구합니다.
5. 평행이동해도 반지름은 변하지 않으므로, 반지름 조건을 이용해 c값을 구합니다.
주의할 점:
원의 평행이동은 원의 중심의 평행이동으로 생각하는 것이 가장 간단합니다. 반지름은 변하지 않습니다.
”
점의 이동 규칙을 원에 적용하기
“
평행이동에 의해 두 원이 겹쳐질 수 있는 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 평행이동은 도형의 모양과 크기를 바꾸지 않고 위치만 옮기는 것입니다.
2. 따라서 두 원이 평행이동으로 겹쳐지려면, 두 원의 반지름의 길이가 반드시 같아야 합니다.
3. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 반지름의 길이를 구합니다.
4. 보기의 각 원들을 표준형으로 변환하여 반지름의 길이를 구하고, 주어진 원과 반지름이 같은 것들을 모두 찾습니다.
주의할 점:
평행이동으로 겹쳐질 수 있다는 것은 반지름이 같다는 의미, 대칭이동으로 겹쳐질 수 있다는 것도 반지름이 같다는 의미입니다.
”
평행이동으로 겹쳐지는 원의 조건
“
평행이동한 직선이 원과 접할(한 점에서 만날) 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 y=2x+k를 주어진 규칙에 따라 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 직선이 원 x²+y²=5에 접하므로, 원의 중심(0,0)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 √5와 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k에 대한 절댓값 방정식을 세웁니다.
4. 방정식을 풀어 가능한 모든 k값을 찾고, 그 합을 구합니다.
주의할 점:
531번 문제와 동일한 유형입니다. 절댓값 방정식의 해는 두 개가 나올 수 있음을 유의해야 합니다.
”
평행이동한 직선이 원에 접할 조건
“
직선을 평행이동시킨 후, 그 직선이 특정 점을 지날 조건을 이용하는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선 y=kx+1을 x축으로 1만큼, y축으로 -2만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다. (y 대신 y+2, x 대신 x-1 대입)
2. 1단계에서 구한 직선이 점 (3,1)을 지난다고 했으므로, 이 점의 좌표를 직선의 방정식에 **대입**합니다.
3. 대입하면 k에 대한 간단한 일차방정식이 만들어지며, 이를 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
도형의 평행이동 시 부호를 반대로 대입하는 규칙(x→x-a, y→y-b)을 정확히 적용해야 합니다.
”
기울기가 주어진 직선의 평행이동
“
평행이동한 직선이 다른 두 직선과 삼각형을 이루지 않을 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는, **(1) 두 직선 이상이 평행**하거나 **(2) 세 직선이 한 점에서 만나는** 경우입니다.
2. 먼저, x-2y=0을 평행이동한 직선 x-2y-a=0의 방정식을 구합니다.
3. **(경우 1: 평행)** 이 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 a값을 찾습니다. (이 문제에서는 기울기가 모두 달라 평행한 경우는 없습니다.)
4. **(경우 2: 한 점)** 미지수가 없는 두 직선의 교점을 먼저 구합니다. 이 교점을 평행이동한 직선이 지나도록 하는 a값을 구합니다.
주의할 점:
세 직선의 위치 관계 문제는 항상 ‘평행’과 ‘한 점 교차’라는 두 가지 핵심적인 경우를 나누어 생각하는 것이 기본입니다.
”
평행이동한 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건
“
평행이동한 직선과 원래 직선 사이의 거리가 주어졌을 때, 이동 거리를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선을 x축으로 1, y축으로 b만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이제 원래 직선과 평행이동한 직선, 이렇게 두 개의 평행한 직선이 생겼습니다.
3. **평행한 두 직선 사이의 거리**가 √5 라는 등식을 세웁니다. (거리 공식: |c₁-c₂|/√(a²+b²))
4. b에 대한 절댓값 방정식을 풀어 ‘양수 b’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 공식을 사용하거나, 한 직선 위의 점과 다른 직선 사이의 거리를 구하는 방법을 이용할 수 있습니다.
”
평행이동한 직선 사이의 거리
“
평행이동한 직선이 원에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 y=-2x를 x축 방향으로 k만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 직선이 원 x²+y²=4에 접하므로, 원의 중심(0,0)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 2와 같아야 합니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k에 대한 절댓값 방정식을 세웁니다.
4. 방정식을 풀어 ‘양수 k’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
평행이동과 원의 접선 조건이 결합된 기본 유형입니다. ‘접한다’는 조건을 ‘d=r’로 변환하는 것이 핵심입니다.
”
평행이동한 직선이 원에 접할 조건
“
평행이동의 규칙을 찾고, 그 규칙을 다른 직선에 적용하여 최종적으로 넓이를 구하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동 규칙 찾기) 첫 번째 직선을 평행이동한 식이 두 번째 직선과 일치함을 이용해, x축과 y축으로 각각 얼마만큼 평행이동했는지(m값)를 찾습니다.
2. (옮겨지는 직선 찾기) ‘4x+y-3=0으로 옮겨지는’ 원래 직선을 찾아야 합니다. 이는 4x+y-3=0을 1단계에서 찾은 규칙의 **반대 방향**으로 평행이동하면 됩니다.
3. 2단계에서 찾은 원래 직선의 x절편과 y절편을 구해, 좌표축과 둘러싸인 삼각형의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
문제에서 ‘A가 B로 옮겨진다’와 ‘A로 옮겨지는 B’의 차이를 명확히 구분해야 합니다. 후자는 역방향의 평행이동을 적용해야 합니다.
”
평행이동 규칙을 역으로 적용하기
“
평행이동한 직선이 원의 넓이를 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 원의 넓이를 이등분하려면, 반드시 원의 중심을 지나야 합니다.
2. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심의 좌표를 찾습니다.
3. 원래 직선 y=ax+a²을 주어진 규칙에 따라 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다.
4. 이 평행이동한 직선이 2단계에서 구한 원의 중심을 지나야 하므로, 중심의 좌표를 직선의 방정식에 대입합니다.
5. 대입하면 a에 대한 이차방정식이 만들어지며, 근과 계수의 관계를 이용해 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
원의 넓이 이등분 조건이 ‘원의 중심을 지난다’는 사실로 변환된다는 것을 파악하는 것이 핵심입니다.
”
평행이동한 직선이 원의 넓이를 이등분
“
평행이동한 직선이 다른 직선과 x축 위에서 수직으로 만날 조건을 이용하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (수직 조건) 두 직선이 수직이므로 기울기의 곱이 -1입니다. 이 조건을 이용해 미지수 a의 값을 먼저 구합니다.
2. (x축 위에서 만남) 두 직선의 교점이 x축 위에 있다는 것은, 두 직선의 x절편이 같다는 의미입니다.
3. 원래 직선을 평행이동한 직선의 방정식을 구하고, 이 직선의 x절편을 b를 포함한 식으로 나타냅니다.
4. 다른 직선의 x절편을 구한 뒤, 두 x절편이 같다는 등식을 세워 b값을 구합니다.
주의할 점:
‘x축 위에서 만난다’는 조건을 ‘두 직선의 x절편이 같다’로 해석하는 것이 중요합니다. 수직 조건과 교점 조건을 모두 활용해야 합니다.
”
평행이동한 직선의 수직 교점 조건
