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포물선의 평행이동 문제입니다. 두 포물선이 평행이동으로 겹쳐지려면 이차항의 계수가 같아야 합니다.
접근법:
1. 두 포물선의 이차항 계수가 1로 같으므로 평행이동으로 겹칠 수 있습니다.
2. 각 포물선을 완전제곱식으로 변형하여 꼭짓점의 좌표를 찾습니다.
3. 첫 번째 포물선의 꼭짓점이 두 번째 포물선의 꼭짓점으로 어떻게 이동했는지 x, y 좌표의 변화량을 각각 계산합니다. 이 변화량이 바로 a와 b가 됩니다.
주의할 점:
포물선의 평행이동은 꼭짓점의 평행이동으로 생각하는 것이 가장 간단합니다. 이차항의 계수가 다르면 평행이동으로 겹칠 수 없습니다.
”
포물선의 평행이동과 꼭짓점
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평행이동한 원이 원래 원의 중심을 지나고, 두 원이 공통 접선을 가질 때의 미지수를 찾는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: 평행이동한 원 C’이 원래 원 C의 중심(1,0)을 지납니다. 이를 이용해 a, b 사이의 관계식을 하나 얻습니다.
2. (나) 조건: 두 원 모두 한 직선에 접하므로, 각 원의 중심에서 이 직선까지의 거리가 각 원의 반지름과 같아야 합니다.
3. 두 조건을 연립하여 a, b, r 값을 모두 구합니다.
주의할 점:
두 원이 한 직선에 동시에 접하는 상황을 기하학적으로 그려보면 문제 이해에 도움이 됩니다. 두 원의 중심과 직선의 위치 관계를 정확하게 식으로 표현해야 합니다.
”
평행이동과 공통접선, 중심을 지나는 원
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평행이동한 원이 직선 y=x와 x축에 동시에 접할 조건을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 원을 평행이동한 새로운 원의 중심 좌표와 반지름을 구합니다.
2. (x축 접촉 조건) 원이 x축에 접하므로, |중심의 y좌표| = 반지름 입니다. 이 식을 통해 a와 b의 관계를 찾습니다.
3. (y=x 접촉 조건) 원이 직선 y=x에 접하므로, 원의 중심과 직선 y=x 사이의 거리가 반지름과 같습니다.
4. 두 조건을 연립하여 a,b 값을 구하고, 문제에서 요구하는 최종 값을 계산합니다.
주의할 점:
두 개의 다른 직선(x축, y=x)에 대한 접선 조건을 모두 식으로 표현하고 연립해야 하는 복잡한 문제입니다.
”
평행이동 후 두 직선에 동시 접촉
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평행이동한 원이 x축과 y축에 동시에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 원을 평행이동한 새로운 원의 중심 좌표와 반지름을 미지수 a,b를 이용해 나타냅니다.
2. 이 새로운 원이 x축과 y축에 동시에 접하므로, **|중심의 x좌표| = |중심의 y좌표| = 반지름** 이라는 조건이 성립해야 합니다.
3. 이 조건을 이용해 a, b에 대한 연립방정식을 풀고, ‘양수 a, b’라는 조건에 맞는 값을 찾습니다.
주의할 점:
평행이동 후의 중심 좌표와 반지름을 정확히 구하고, x,y축 동시 접촉 조건을 올바르게 적용하는 것이 중요합니다.
”
평행이동 후 x,y축에 동시 접촉
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원의 평행이동을 이용하여 미정계수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 (x-a)²+(y+4)²=16 을 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 -5만큼 평행이동한 원의 방정식을 구합니다.
2. 이동 후의 원의 방정식은 (x-2-a)²+(y+5+4)² = 16, 즉 (x-(a+2))²+(y+9)² = 16 이 됩니다.
3. 이 원이 문제에서 주어진 원 (x-8)²+(y-b)²=16 과 일치해야 합니다.
4. 중심의 x좌표, y좌표를 각각 비교하여 a와 b의 값을 찾습니다.
주의할 점:
원의 평행이동은 중심점의 이동으로 생각하면 간단합니다. 원래 중심 (a, -4)가 이동하여 (a+2, -9)가 되고, 이 점이 새로운 중심 (8, b)와 같다고 놓고 풀면 됩니다.
”
원의 평행이동으로 계수 비교하기
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평행이동한 원과 원래 원이 만나서 생기는 공통현의 길이가 주어졌을 때, 이동 거리를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 원과 평행이동한 원의 중심 좌표와 반지름을 각각 구합니다.
2. 두 원의 중심을 잇는 선분은 공통현을 수직이등분합니다.
3. 원의 중심, 공통현의 중점, 공통현의 한 끝점은 직각삼각형을 이룹니다.
4. 이 직각삼각형에서 빗변은 반지름(2), 한 변은 현의 길이의 절반(1)이므로, 피타고라스 정리를 이용해 나머지 한 변(두 중심 사이 거리의 절반)의 길이를 구할 수 있습니다.
5. 두 중심 사이의 거리를 계산하고, 이를 이용해 평행이동 거리 a를 구합니다.
주의할 점:
두 원이 합동이므로, 공통현은 두 원의 중심을 잇는 선분을 수직이등분한다는 대칭성을 활용하면 계산이 편리합니다.
”
평행이동한 원의 공통현의 길이
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평행이동한 원이 다른 원의 둘레를 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 한 원이 다른 원의 둘레를 이등분하려면, **두 원의 공통현이 둘레가 이등분되는 원의 지름**이 되어야 합니다. 이는 공통현이 그 원의 중심을 지난다는 것을 의미합니다.
2. 먼저 x²+y²=25를 평행이동한 원의 방정식을 구합니다.
3. 두 원의 공통현의 방정식을 구합니다. (한 원의 방정식에서 다른 원의 방정식을 뺀다)
4. 이 공통현이 둘레가 이등분되는 원 (x-2)²+(y+1)²=10 의 중심 (2,-1)을 지나야 합니다.
5. 중심 좌표를 공통현 방정식에 대입하여 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
‘둘레를 이등분한다’는 조건을 ‘공통현이 중심을 지난다’로 해석하는 것이 핵심입니다.
”
평행이동한 원이 다른 원의 둘레를 이등분
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평행이동한 두 원의 중심 사이의 거리가 주어졌을 때, 이동 거리를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 원 C₁의 중심 좌표를 구합니다.
2. 원 C₁을 평행이동한 원 C₂의 중심 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 두 중심 C₁과 C₂ 사이의 거리가 √34 라는 조건을 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 식으로 세웁니다.
4. 양변을 제곱하여 a에 대한 이차방정식을 풀고, ‘양수 a’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
평행이동해도 원의 반지름은 변하지 않으므로, 이 문제에서는 반지름 정보를 사용할 필요가 없습니다.
”
평행이동한 두 원의 중심 사이 거리
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평행이동한 원이 직선에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 원을 평행이동한 새로운 원의 방정식을 구하고, 그 중심의 좌표를 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 평행이동해도 반지름은 변하지 않습니다.
3. 새로운 원의 중심과 주어진 직선 사이의 거리가 반지름의 길이와 같다는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식은 a에 대한 절댓값 방정식이 되며, 이를 풀어 ‘양수 a’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
원의 평행이동, 접선 조건(d=r) 등 기본 개념을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
”
평행이동한 원이 직선에 접할 조건
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평행이동한 원의 넓이를 직선이 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 원을 x축으로 3만큼, y축으로 a만큼 평행이동한 새로운 원의 방정식을 구합니다.
2. 이 새로운 원의 중심 좌표를 찾습니다.
3. 직선이 원의 넓이를 이등분하려면, 반드시 원의 중심을 지나야 합니다.
4. 2단계에서 구한 중심의 좌표를 주어진 직선의 방정식에 대입하여 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
원의 평행이동은 중심의 평행이동으로 생각하고, 넓이 이등분 조건은 중심을 지나는 것으로 해석하면 문제가 간단해집니다.
”
평행이동한 원의 넓이 이등분선
