“
정사각형들의 넓이의 비가 주어졌을 때, 변의 길이의 비를 추론하여 좌표를 구하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 넓이의 비가 1:4:9이므로, 변의 길이의 비는 각 값에 루트를 씌운 1:2:3 입니다.
2. 세 정사각형의 변의 길이를 각각 a, 2a, 3a로 설정합니다.
3. x축 방향으로의 총 길이(OA₄)와 y축 방향의 총 높이(B₄의 y좌표)를 a를 이용해 표현합니다.
4. B₄의 좌표가 (30,18)이라는 단서를 이용해 a값을 확정합니다.
5. a값을 통해 B₁과 B₃의 실제 좌표를 구하고, 두 점 사이의 거리를 계산합니다.
주의할 점:
닮음비(길이의 비)와 넓이의 비 사이의 관계(제곱)를 정확히 이용하는 것이 핵심입니다. 그림의 각 선분의 길이가 무엇을 의미하는지 파악해야 합니다.
”
넓이의 비와 좌표 계산
“
두 삼각형의 무게중심이 일치할 조건을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 풀이의 편의를 위해 직각삼각형 ABC를 좌표평면 위에 배치합니다. (예: A=(0,9), B=(9,9), C=(9,0))
2. 삼각형 ABC의 무게중심 좌표를 구합니다.
3. 세 점 D, E, F의 좌표를 각각 미지수를 이용해 설정합니다.
4. 삼각형 DEF의 무게중심 좌표를 미지수를 포함한 식으로 나타냅니다.
5. 두 무게중심의 좌표가 같다고 놓고 연립방정식을 풀어 미지수들을 구하여 점 E, F의 좌표를 확정합니다.
6. 두 점 E, F 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
도형 문제를 좌표 위에 올려서 대수적으로 푸는 ‘해석기하’의 전형적인 문제입니다. 처음에 좌표를 어떻게 설정하는지가 풀이의 편의성을 크게 좌우합니다.
”
무게중심 일치 조건 활용
“
선분의 내분점 공식을 행렬의 곱으로 표현하고 해석하는 고난도 융합 문제입니다.
접근법:
1. 선분 AB를 2:1과 3:1로 내분하는 점의 좌표를 각각 공식대로 씁니다.
2. 내분점의 좌표가 원래 두 점 A, B 좌표의 일차결합으로 표현됨을 확인합니다.
3. 이 관계를 행렬의 곱셈 형태로 표현했을 때, 곱해지는 행렬 X의 성분이 무엇인지 파악합니다.
4. 행렬 X의 (1,1) 성분과 (2,2) 성분을 찾아 곱하면 문제에서 요구하는 답을 얻을 수 있습니다.
주의할 점:
행렬에 대한 기본적인 지식이 필요하지만, 핵심은 내분점 공식의 구조를 이해하는 것입니다. 내분점의 좌표가 x₁, x₂ (또는 y₁, y₂)의 계수들의 합이 1인 선형 결합으로 나타난다는 점을 파악하는 것이 중요합니다.
”
내분점 공식과 행렬 표현
“
삼각형의 내각의 이등분선이 되는 직선의 방정식을 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 먼저 선분 AB와 AC의 길이를 각각 구합니다.
2. [2단계] 내각의 이등분선 정리에 의해, 이등분선과 변 BC의 교점 D는 BC를 AB:AC의 비율로 내분합니다. 이 비율을 이용해 점 D의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 각의 이등분선은 두 점 A와 D를 지나는 직선입니다. 두 점의 좌표를 이용해 직선의 방정식을 구하고, 주어진 방정식의 형태와 비교하여 a,b 값을 찾습니다.
주의할 점:
각의 이등분선 위의 또 다른 점(교점 D)을 내분점 공식을 통해 찾는 것이 문제 해결의 핵심 열쇠입니다.
”
각의 이등분선 방정식 구하기
“
서로 다른 속력으로 움직이는 두 사람 사이의 거리의 최솟값을 구하는 실생활 활용 문제입니다. 이차함수의 최소를 이용합니다.
접근법:
1. [1단계] 교차점을 원점으로 하는 좌표평면을 설정하고, t초 후 두 사람의 위치를 각각 t에 대한 좌표로 나타냅니다.
2. [2단계] t초 후 두 사람 사이의 거리를 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 t에 대한 식으로 표현합니다.
3. [3단계] 거리 식의 루트 안쪽은 t에 대한 이차식이 됩니다. 이 이차식을 완전제곱식으로 변형하여 최솟값을 구합니다. 이 값이 거리의 제곱의 최솟값이므로, 마지막에 루트를 씌워 실제 거리의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
출발점과 진행 방향(동/서/남/북)을 고려하여 t초 후의 좌표를 정확히 설정하는 것이 가장 중요합니다.
”
움직이는 두 점의 거리 최솟값
“
중점과 무게중심 좌표를 단서로 하여 나머지 꼭짓점을 찾고, 최종적으로 특정 내분점의 좌표를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 꼭짓점 A와 선분 AB의 중점 좌표를 이용해 꼭짓점 B의 좌표를 역으로 추적합니다.
2. [2단계] 꼭짓점 C의 좌표를 미지수로 두고, 세 꼭짓점 A, B, C의 무게중심이 주어진 좌표와 같다는 식을 세워 C의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 확정된 두 점 B, C의 좌표를 이용해 선분 BC를 3:1로 내분하는 점의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
주어진 정보를 어떤 순서로 활용해야 할지 설계하는 것이 중요합니다. 중점을 이용해 B를 먼저 찾고, 무게중심을 이용해 C를 찾는 흐름을 따라야 합니다.
”
중점과 무게중심으로 내분점 구하기
“
삼각형의 중점, 무게중심, 외심의 좌표를 순서대로 구하는 종합 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 선분 AB의 중점 M의 좌표를 중점 공식을 이용해 구합니다.
2. [2단계] 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 삼각형 ABC의 무게중심 G를 구합니다.
3. [3단계] 삼각형 AMG의 외심 P를 구합니다. 외심은 세 꼭짓점 A, M, G로부터 같은 거리에 있으므로, PA=PG=PM 이라는 연립방정식을 풀어 P의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
각 점(중점, 무게중심, 외심)의 정의와 구하는 방법을 명확히 구분해야 합니다. 특히 외심을 구하는 과정은 연립방정식 풀이가 필요해 계산이 복잡할 수 있습니다.
”
중점, 무게중심, 외심 종합 문제
“
한 선분에 대한 서로 다른 두 내분점을 각각 구한 뒤, 그 두 점 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 주어진 두 점 A, B의 좌표와 1:2라는 비율을 이용해 내분점 P의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] 동일한 두 점 A, B의 좌표와 2:1이라는 비율을 이용해 내분점 Q의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 1, 2단계에서 구한 두 점 P, Q의 좌표를 이용해 두 점 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
내분점 공식을 두 번 정확하게 적용할 수 있는지를 평가하는 문제입니다. 좌표와 비율을 엇갈려 곱하는 과정에서 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
두 내분점 사이의 거리 계산
“
x축과 y축 위에 있으면서 두 점 A, B로부터 같은 거리에 있는 점들을 각각 찾아 두 점 사이의 거리를 구하는 서술형 종합 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] x축 위의 점 P를 (a,0)으로 설정하고, AP=BP (즉, AP²=BP²) 라는 방정식을 풀어 P의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] y축 위의 점 Q를 (0,b)로 설정하고, AQ=BQ (즉, AQ²=BQ²) 라는 방정식을 풀어 Q의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 1, 2단계에서 구한 두 점 P, Q의 좌표를 이용해 선분 PQ의 길이를 구합니다.
주의할 점:
기본적인 유형 두 개를 합쳐놓은 문제입니다. 각 단계에서 계산 실수가 발생하면 최종 답에 영향을 주므로, 차분하게 풀어나가는 것이 중요합니다.
”
좌표축 위 등거리 점과 거리 계산
“
한 꼭짓점이 직선 위를 움직일 때, 삼각형의 무게중심이 그리는 도형(자취)의 방정식을 구하는 문제입니다. 원리는 102~104번과 동일합니다.
접근법:
1. 구하려는 무게중심 G의 좌표를 (x,y)로 둡니다.
2. 움직이는 꼭짓점 A의 좌표를 (a,b)로 두고, 점 A가 직선 위에 있으므로 관계식(b=2a+1)을 얻습니다.
3. 무게중심 공식을 이용해 x와 y를 a와 b에 대한 식으로 각각 표현합니다.
4. 3번 식을 a,b에 대해 정리한 뒤, 2번 관계식에 대입하여 a,b를 소거하면 무게중심의 자취의 방정식이 완성됩니다.
주의할 점:
무게중심의 자취 역시 원래 직선과 평행한 직선이 됩니다. 자취 문제는 어떤 점을 (x,y)로, 어떤 점을 (a,b)로 두어야 하는지 설정하는 첫 단계가 가장 중요합니다.
”
무게중심의 자취의 방정식
