“
한 꼭짓점이 직선 위를 움직일 때, 삼각형의 무게중심이 그리는 도형(자취)의 방정식을 구하는 문제입니다. 원리는 102~104번과 동일합니다.
접근법:
1. 구하려는 무게중심 G의 좌표를 (x,y)로 둡니다.
2. 움직이는 꼭짓점 A의 좌표를 (a,b)로 두고, 점 A가 직선 위에 있으므로 관계식(b=2a+1)을 얻습니다.
3. 무게중심 공식을 이용해 x와 y를 a와 b에 대한 식으로 각각 표현합니다.
4. 3번 식을 a,b에 대해 정리한 뒤, 2번 관계식에 대입하여 a,b를 소거하면 무게중심의 자취의 방정식이 완성됩니다.
주의할 점:
무게중심의 자취 역시 원래 직선과 평행한 직선이 됩니다. 자취 문제는 어떤 점을 (x,y)로, 어떤 점을 (a,b)로 두어야 하는지 설정하는 첫 단계가 가장 중요합니다.
”
무게중심의 자취의 방정식
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움직이는 점과 정점을 잇는 선분의 중점이 그리는 도형(자취)의 방정식을 구하는 문제입니다. 103번의 내분점이 중점으로 바뀐 것 외에는 완전히 동일한 유형입니다.
접근법:
1. 구하려는 중점의 좌표를 (x,y)로 둡니다.
2. 움직이는 점 P의 좌표를 (a,b)로 두고, 점 P가 직선 위에 있으므로 관계식(a+2b-3=0)을 얻습니다.
3. 중점 공식을 이용해 x와 y를 a와 b에 대한 식으로 각각 표현합니다.
4. 3번 식을 a와 b에 대해 정리한 뒤, 2번 관계식에 대입하여 a,b를 소거하면 x,y만의 자취의 방정식이 나옵니다.
주의할 점:
이 자취의 방정식은 원래의 직선과 평행한 직선이 됩니다. 중점, 내분점, 외분점의 자취는 대부분 원래 도형과 닮은 형태를 유지한다는 점을 기억하면 좋습니다.
”
중점의 자취의 방정식
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움직이는 점과 정점을 잇는 선분의 내분점이 그리는 도형(자취)의 방정식을 구하는 문제입니다. 102번 문제와 풀이 구조가 동일합니다.
접근법:
1. 구하려는 내분점의 좌표를 P(x,y)로 둡니다.
2. 움직이는 점 B의 좌표를 (a,b)로 두고, 점 B가 직선 위에 있으므로 관계식(b=2a+1)을 얻습니다.
3. 내분점 공식을 이용해 x와 y를 각각 a와 b에 대한 식으로 표현합니다.
4. 3번 식을 a와 b에 대해 정리한 뒤, 2번 관계식에 대입하여 a,b를 소거하면 x,y만의 자취의 방정식이 나옵니다.
주의할 점:
자취 문제의 핵심은 ‘구하려는 점(x,y)’과 ‘주어진 조건 위의 점(a,b)’ 사이의 관계를 식으로 표현하고, 매개변수(a,b)를 소거하는 것입니다. 이 구조를 기억하면 내분점, 중점, 무게중심 등 어떤 자취 문제에도 적용할 수 있습니다.
”
내분점의 자취의 방정식
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한 점 P(a,b)가 특정 직선 위를 움직일 때, 그 점과 연관된 다른 점 Q가 그리는 도형(자취)의 방정식을 구하는 대표적인 유형입니다.
접근법:
1. 구하려는 점 Q의 좌표를 (x, y)로 둡니다. 즉, x = a+b, y = a-b 입니다.
2. 주어진 조건은 점 P(a,b)에 대한 것이므로, 1번 식을 변형하여 a와 b를 x, y에 대한 식으로 각각 표현해야 합니다. (a=(x+y)/2, b=(x-y)/2)
3. 점 P(a,b)는 주어진 직선 위의 점이므로, 원래 직선의 방정식에 a, b를 대입하면 성립합니다.
4. 이 식에 2단계에서 구한 x, y에 대한 식을 대입하고 정리하면 점 Q의 자취의 방정식이 완성됩니다.
주의할 점:
자취를 구하려는 점을 (x,y)로, 매개체 역할을 하는 점을 (a,b)로 두고, 최종적으로 매개변수 a,b를 소거하여 x,y만의 관계식을 만드는 것이 이 유형의 핵심 원리입니다.
”
움직이는 점과 자취의 방정식 (치환)
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두 점으로부터의 거리의 제곱의 차가 일정할 때, 그 점이 그리는 도형(자취)의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 도형 위의 점을 P(x, y)로 설정합니다.
2. 두 점 A, B와 점 P 사이의 거리의 제곱(PA², PB²)을 각각 x, y에 대한 식으로 나타냅니다. 제곱이므로 루트가 사라집니다.
3. 문제에 주어진 조건 ‘PA² – PB² = 5’에 맞게 식을 세웁니다.
4. 식을 전개하고 정리하면 이차항(x², y²)이 모두 소거되어 x와 y에 대한 일차방정식, 즉 직선의 방정식이 남습니다.
주의할 점:
거리의 제곱의 ‘차’가 일정한 점의 자취는 직선이 되고, 거리의 ‘합’이 일정한 점의 자취는 타원, 거리의 ‘비’가 일정한 점의 자취는 원(아폴로니우스의 원)이 됩니다. 각 조건에 따라 어떤 도형이 되는지 연계해서 기억해두면 좋습니다.
”
거리 제곱의 차와 자취의 방정식
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어떤 조건을 만족하는 점이 그리는 도형, 즉 점의 자취를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 자취 위의 점을 P(x, y)로 설정합니다.
2. 문제에서 주어진 조건은 ‘두 점 A, B로부터 같은 거리에 있다’이므로, **AP = BP** 라는 등식을 세웁니다.
3. 양변을 제곱하여 루트를 없앤 뒤(AP²=BP²), 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 x와 y에 대한 식으로 나타냅니다.
4. 식을 정리하면 x와 y에 대한 일차방정식이 남으며, 이것이 바로 구하는 자취의 방정식입니다.
주의할 점:
두 점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 자취는 ‘두 점을 잇는 선분의 수직이등분선’이 된다는 사실을 알고 있다면, 직접 수직이등분선의 방정식을 구해서 검산할 수도 있습니다.
”
점의 자취 (같은 거리)
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각의 이등분선이 마주보는 변의 중점을 지날 때의 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 각 B의 이등분선이 선분 AC와 만나는 점을 M이라 할 때, 내각의 이등분선 정리에 의해 **AM:MC = BA:BC** 가 성립합니다.
2. 문제에서 이등분선이 AC의 ‘중점’을 지난다고 했으므로 AM:MC = 1:1 입니다.
3. 따라서 **BA = BC** 라는 결론을 얻을 수 있습니다.
4. 즉, 삼각형 ABC는 BA=BC인 **이등변삼각형**입니다. 이 조건을 이용해 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
기하학적 정리(각의 이등분선)와 특정 조건(중점)을 결합하여, 삼각형이 특별한 종류(이등변삼각형)임을 밝혀내는 과정이 핵심입니다.
”
이등변삼각형과 각의 이등분선
“
삼각형의 내심의 성질을 이용하는 문제입니다. 내심은 세 내각의 이등분선의 교점입니다.
접근법:
1. 점 I가 내심이므로, 직선 AI는 **각 BAC의 이등분선**입니다.
2. 따라서 점 D는 각 A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점입니다.
3. 95번 문제와 동일하게, 내각의 이등분선 정리에 따라 **BD:DC = AB:AC** 가 성립합니다.
4. 선분 AB와 AC의 길이를 구해 비율을 찾은 뒤, 점 D가 선분 BC를 어떤 비율로 내분하는지 알아내어 좌표를 구합니다.
주의할 점:
‘내심’이라는 단어에서 ‘내각의 이등분선’을 바로 연결해야 풀이의 실마리를 잡을 수 있습니다. 내심의 좌표를 직접 구하는 문제가 아님에 주의하세요.
”
삼각형의 내심과 각의 이등분선
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내각의 이등분선 정리와 이차방정식의 근과 계수의 관계를 결합한 문제입니다.
접근법:
1. 내각의 이등분선 정리에 따라 BD:DC = AB:AC = 8:4 = 2:1 입니다.
2. 전체 밑변 BC의 길이가 9이므로, 점 D는 BC를 2:1로 나누는 점입니다. [cite_start]이를 이용해 두 선분 BD(a)와 DC(b)의 실제 길이를 각각 구합니다. [cite: 2477-2478]
3. a와 b가 이차방정식의 두 근이므로, 근과 계수의 관계를 이용해 p(두 근의 합)와 q(두 근의 곱)를 구합니다.
주의할 점:
여러 단원의 개념이 순차적으로 결합된 문제입니다. 각 단계에서 필요한 개념(각의 이등분선 정리 -> 비례배분 -> 근과 계수의 관계)을 정확히 떠올리는 능력이 필요합니다.
”
각의 이등분선과 이차방정식 근
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95번 문제의 원리를 삼각형의 넓이 비에 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. 95번과 동일하게, 내각의 이등분선 정리에 따라 밑변의 분할비 BD:DC는 AB:AC와 같습니다.
2. 두 삼각형 ABD와 ADC는 꼭짓점 A를 공유하므로 높이가 같습니다.
3. 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비는 **밑변의 길이의 비**와 같습니다.
4. 따라서 (넓이 비) ABD:ADC = (밑변 비) BD:DC = (변의 비) AB:AC 입니다. 선분 AB와 AC의 길이를 구해 그 비율을 찾으면 됩니다.
주의할 점:
각의 이등분선이 밑변을 나누는 비가, 원래 삼각형의 넓이를 나누는 비와도 같다는 점을 이해하는 것이 핵심입니다.
”
각의 이등분선과 넓이 비
