“
이차함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 원점을 지나는 직선이 이등분하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 이차함수의 꼭짓점 A와 x축과의 교점(원점 O, 점 B)의 좌표를 구합니다. 꼭짓점의 x좌표는 대칭축이므로, 이를 이용해 점 B의 좌표를 쉽게 찾을 수 있습니다.
2. 삼각형 OAB의 넓이를 이등분하는 직선 y=mx는 꼭짓점 O를 지납니다.
3. 따라서 이 직선은 반드시 대변 AB의 중점 M을 지나야 합니다.
4. 중점 M의 좌표를 구한 뒤, 이 좌표를 y=mx에 대입하여 기울기 m을 구합니다.
주의할 점:
이차함수의 대칭성을 이용하여 x절편을 찾는 것이 계산을 간편하게 합니다. 150번 문제와 마찬가지로, 넓이 이등분선은 대변의 중점을 지난다는 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
이차함수와 축으로 생긴 넓이 이등분
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한 꼭짓점을 공유하는 두 삼각형의 넓이 비가 주어졌을 때, 직선의 방정식을 구하는 문제입니다. 넓이 비는 밑변의 내분비와 같습니다.
접근법:
1. 두 삼각형 ABD와 ADC는 꼭짓점 A를 공유하고 밑변이 한 직선 위에 있으므로 높이가 같습니다.
2. 따라서 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같습니다: BD : DC = 3 : 2.
3. 이는 점 D가 선분 BC를 3:2로 내분하는 점임을 의미합니다. 내분점 공식을 이용해 D의 좌표를 구합니다.
4. 이제 두 점 A와 D의 좌표를 모두 알았으므로, 이 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하고 x절편을 찾습니다.
주의할 점:
넓이 비를 내분비로 해석하는 능력이 핵심입니다. 문제의 최종 질문이 점 D의 좌표가 아닌, 직선 AD의 x절편이라는 점에 유의해야 합니다.
”
넓이 비를 이용한 직선의 방정식
“
주어진 직선이 삼각형의 넓이를 이등분하는 문제입니다. 먼저 직선의 정점(항상 지나는 점)을 찾아야 합니다.
접근법:
1. 직선의 방정식을 미지수 m에 대하여 정리하여, m의 값에 관계없이 항상 지나는 정점을 찾습니다. 이 문제에서는 정점이 삼각형의 꼭짓점 A(3,2)가 됩니다.
2. 즉, 이 직선은 꼭짓점 A를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는 직선입니다.
3. 따라서 이 직선은 반드시 **대변 BC의 중점 M**을 지나야 합니다.
4. 중점 M의 좌표를 구한 뒤, 이 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 m의 값을 구합니다.
주의할 점:
k, m 등 미지수를 포함한 직선의 방정식은 ‘k값에 관계없이 항상 지나는 점이 있는가?’를 먼저 확인하는 습관을 들이는 것이 매우 중요합니다.
”
정점을 지나는 넓이 이등분선
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삼각형의 한 꼭짓점을 지나는 직선이 넓이를 이등분하는 문제입니다. 150번과 원리가 같습니다.
접근법:
1. 꼭짓점 B를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는 직선은 반드시 대변 AC의 중점 M을 지나야 합니다.
2. 두 점 A, C의 좌표를 이용해 중점 M의 좌표를 구합니다.
3. 이제 이 직선은 꼭짓점 B와 중점 M을 지나는 것이 아니라, 문제에서 주어진 또 다른 점 (1, -2)를 지난다고 하였습니다. (문제 재해석 필요: 직선이 점 B와 중점 M을 지나는 직선인데, 이 직선 위에 (1,-2)가 있다는 의미가 아니라, 점 B를 지나는 넓이 이등분선, 즉 B와 M을 지나는 직선이 점 (1,-2)를 지난다는 의미로 해석해야 함. 하지만 해설을 보면 점 B를 지나는 것이 아니라, (1,-2)와 중점 M을 지나는 직선이 B를 지난다는 의미로 풀이됨. 문제 표현에 혼동이 있을 수 있으나 해설의 흐름을 따름)
4. 해설 기준: 선분 AC의 중점 M과 점 (1,-2)를 지나는 직선을 구하고, 이 직선 위에 점 B(3,a)가 있다고 하여 a값을 구함.
주의할 점:
문제의 표현이 다소 모호할 수 있습니다. ‘꼭짓점 B를 지나고 넓이를 이등분하는 직선’은 ‘직선 BM’을 의미한다는 것을 명확히 해야 합니다.
”
꼭짓점을 지나는 넓이 이등분선
“
원점을 지나는 직선이 삼각형의 넓이를 이등분하는 경우에 대한 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형의 한 꼭짓점(이 문제에서는 원점 O)을 지나는 직선이 그 삼각형의 넓이를 이등분하려면, 반드시 마주보는 변(대변)의 중점을 지나야 합니다.
2. 주어진 직선의 x절편(A)과 y절편(B)을 구합니다.
3. 두 점 A, B를 잇는 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구합니다.
4. 구하려는 직선 y=mx는 원점과 중점 M을 지나므로, 점 M의 좌표를 식에 대입하여 기울기 m을 구합니다.
주의할 점:
삼각형 넓이 이등분선의 가장 대표적인 성질입니다. 넓이를 직접 계산하는 것이 아니라, 중점을 지난다는 기하학적 성질을 이용해야 합니다.
”
원점을 지나는 넓이 이등분선
“
148번 문제와 동일하게, 세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 AB의 기울기와 직선 BC의 기울기를 미지수 a를 포함한 식으로 각각 나타냅니다.
2. 두 기울기가 같다고 등식을 세우면 a에 대한 이차방정식이 만들어집니다.
3. 이차방정식을 풀어 나온 해 중에서 ‘양수’라는 조건에 맞는 a값을 선택합니다.
주의할 점:
세 점의 좌표에 미지수가 흩어져 있어도 당황하지 말고, 기울기 공식을 정확히 적용하여 방정식을 세우는 것이 중요합니다.
”
삼각형을 이루지 않는 미지수 값
“
세 점이 삼각형을 이루지 않을 조건을 묻는 문제입니다. 이는 곧 세 점이 한 직선 위에 있다는 말과 같습니다.
접근법:
1. ‘삼각형을 이루지 않는다’는 것은 ‘세 점이 일직선상에 존재한다’는 의미로 해석합니다.
2. 144번 문제와 동일하게, 두 점 AB 사이의 기울기와 두 점 BC 사이의 기울기가 같다고 등식을 세웁니다.
3. 이 등식을 풀어 미지수 k의 값을 구합니다.
주의할 점:
문제의 표현이 다르지만, 기하학적 의미는 ‘세 점의 공선 조건’과 동일함을 파악하는 것이 중요합니다. (단, 세 점 중 두 점이 일치하는 경우도 삼각형을 이루지 않지만, 이 문제에서는 서로 다른 세 점이라 가정합니다.)
”
세 점이 삼각형을 이루지 않을 조건
“
네 점이 한 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다. 세 점일 때와 원리는 동일합니다.
접근법:
1. 네 점이 한 직선 위에 있으므로, 어떤 두 점을 골라 기울기를 구해도 모두 같아야 합니다.
2. 미지수가 없는 두 점을 선택하여 직선의 기울기를 먼저 확정하는 것이 유리합니다. (이 문제에서는 B, C를 이용하면 기울기를 바로 구할 수 있습니다.)
3. 직선 AB의 기울기가 확정된 기울기와 같다고 놓고 a값을 구합니다.
4. 직선 AD의 기울기가 확정된 기울기와 같다고 놓고 b값을 구합니다.
주의할 점:
계산이 가장 간단한 두 점을 먼저 찾아 기준 기울기를 설정하는 것이 효율적인 풀이의 시작입니다.
”
네 점이 한 직선 위에 있을 조건
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직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45°라는 조건은 기울기가 tan(45°)=1임을 의미합니다. 세 점이 이 직선 위에 있을 조건을 이용합니다.
접근법:
1. 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있고, 그 직선의 기울기가 1임을 파악합니다.
2. 두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기가 1이라고 식을 세워 미지수 a를 구합니다.
3. 두 점 A, C를 지나는 직선의 기울기가 1이라고 식을 세워 미지수 b를 구합니다.
4. 구한 a와 b를 더해 최종 답을 찾습니다.
주의할 점:
기울기가 먼저 주어진 특수한 경우입니다. ‘세 점이 한 직선 위에 있다’는 조건을 굳이 세 점 사이의 기울기 비교가 아닌, ‘각 두 점의 기울기가 모두 1이다’로 해석하여 풀면 더 간단합니다.
”
기울기가 주어진 세 점의 공선 조건
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144번 문제와 동일하게 세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 점 A, B, C 중 어떤 두 점을 연결해도 기울기는 같아야 합니다.
2. 직선 AB의 기울기와 직선 AC의 기울기를 각각 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 두 기울기가 같다고 등식을 세우면 a에 대한 이차방정식이 만들어집니다. 이를 풀어 ‘양수 a’라는 조건에 맞는 값을 찾습니다.
4. 확정된 a값을 이용해 직선의 방정식을 구하고, 이 직선이 점 (1,k)를 지남을 이용해 k값을 구합니다.
주의할 점:
기울기가 같다는 식을 세울 때, 분수방정식 형태가 되므로 양변에 분모를 곱하는 과정에서 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.
”
세 점의 공선 조건과 미지수 계산
