“
두 직선에 의해 좌표평면이 세 부분으로 나뉠 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 좌표평면이 두 직선에 의해 세 부분으로 나뉘는 경우는 오직 두 직선이 서로 평행할 때뿐입니다. (만나면 네 부분, 일치하면 두 부분으로 나뉩니다.)
2. 두 직선이 평행할 조건, 즉 기울기는 같고 y절편은 다르다는 조건을 식으로 표현합니다.
3. 일반형 방정식에서의 평행 조건(a/a’ = b/b’ ≠ c/c’)을 이용하여 미지수 a에 대한 방정식을 풉니다.
4. 일치하는 경우는 제외하고 평행하기만 한 a값을 찾습니다.
주의할 점:
평행 조건과 일치 조건을 명확히 구분해야 합니다. 문제에서 ‘좌표평면 분할’이라는 표현이 나오면 두 직선의 위치 관계(일치, 평행, 만남)를 떠올려야 합니다.
”
두 직선이 일치할 조건
“
세 직선의 위치 관계(평행, 수직)를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선의 방정식을 모두 y=mx+b 형태로 변환하여 기울기를 명확하게 구합니다.
2. 각 직선들의 기울기를 서로 비교합니다.
– 기울기가 같은 직선은 평행합니다.
– 기울기의 곱이 -1인 두 직선은 수직입니다.
3. 이 관계를 바탕으로 보기의 설명 중 옳은 것을 찾습니다.
주의할 점:
일반형 방정식 ax+by+c=0 에서 평행 조건은 a:b의 비율이 같은 것, 수직 조건은 aa’+bb’=0 임을 이용하면 y=mx+b 형태로 변환하지 않고도 빠르게 판단할 수 있습니다.
”
좌표평면을 세 부분으로 나눌 조건
“
원점을 지나는 직선이 복잡한 계단형 도형의 넓이를 이등분하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 전체 도형 OABCDE의 넓이를 구합니다. (두 개의 직사각형 넓이의 합)
2. 이등분된 넓이는 전체 넓이의 절반입니다.
3. 원점을 지나는 직선 y=mx가 어느 선분과 만나는지 대략적으로 판단합니다. (이 경우, 선분 CD)
4. 직선이 도형을 나누는 두 부분 중 계산하기 쉬운 한쪽(삼각형+사다리꼴)의 넓이를 m을 이용해 표현하고, 이 넓이가 전체의 절반이라는 등식을 세워 m값을 구합니다.
주의할 점:
전체 도형을 계산하기 편한 여러 개의 사각형으로 나누어 넓이를 구하는 것이 첫 단계입니다. 넓이를 식으로 표현하는 과정이 다소 복잡할 수 있습니다.
”
세 직선의 위치 관계 파악
“
157, 158번 문제와 동일한 유형입니다. 두 직사각형의 넓이를 각각 이등분하는 직선을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 하나의 직선이 두 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하려면, 각 직사각형의 대각선의 교점을 모두 지나야 합니다.
2. 큰 직사각형의 대각선의 교점 좌표를 구합니다.
3. 작은 직사각형의 대각선의 교점 좌표를 구합니다.
4. 이 두 교점을 지나는 직선의 기울기 m을 구하면 됩니다.
주의할 점:
좌표가 음수를 포함하고 있으므로, 중점 좌표를 계산할 때 부호 실수를 하지 않도록 주의해야 합니다.
”
계단형 도형의 넓이 이등분
“
원점을 지나는 직선이 사다리꼴의 넓이를 이등분하는 문제입니다. 삼각형이나 직사각형처럼 간단한 공식이 없어 직접 넓이를 계산해야 합니다.
접근법:
1. 먼저 전체 사다리꼴 OABC의 넓이를 구합니다. 이등분된 넓이는 그 절반입니다.
2. 원점을 지나는 직선 y=mx가 어느 변과 만나는지 판단합니다. (이 경우, 변 AB와 만남)
3. 직선 y=mx와 변 AB의 교점을 D라고 할 때, 삼각형 OAD의 넓이가 전체 넓이의 절반이 되어야 합니다.
4. 삼각형 OAD의 넓이를 밑변 OA와 높이(점 D의 y좌표)를 이용해 식으로 세워, 점 D의 y좌표를 먼저 구합니다.
5. 직선 AB의 방정식을 구한 뒤, y좌표를 대입하여 점 D의 x좌표까지 확정합니다.
6. 점 D의 좌표를 y=mx에 대입하여 기울기 m을 구합니다.
주의할 점:
직선이 어떤 변과 만나야 넓이가 이등분될지 대략적으로 판단하는 것이 중요합니다. 이등분된 도형의 넓이를 이용해 교점의 좌표를 역으로 찾아내는 것이 핵심입니다.
”
사다리꼴 넓이의 이등분
“
두 직선이 직사각형의 넓이를 삼등분하는 문제입니다.
접근법:
1. 전체 직사각형의 넓이를 먼저 구합니다. 삼등분된 각 부분의 넓이는 전체 넓이의 1/3이 됩니다.
2. 두 직선에 의해 나누어지는 세 부분 중, 양쪽 두 부분은 사다리꼴이 됩니다.
3. 각 사다리꼴의 넓이가 전체 넓이의 1/3이 된다는 식을 세웁니다. (사다리꼴 넓이 = 1/2 * (윗변+아랫변) * 높이)
4. 두 개의 등식을 이용해 두 직선의 y절편 a, b를 각각 구할 수 있습니다.
주의할 점:
두 직선의 기울기가 같으므로 평행하다는 점을 인지해야 합니다. 각 사다리꼴의 윗변과 아랫변의 길이는 직선의 방정식에 x좌표를 대입하여 구할 수 있습니다.
”
직사각형 넓이의 삼등분
“
157번 문제와 완전히 동일한 유형입니다. 직사각형과 정사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선의 방정식을 구합니다.
접근법:
1. 직선이 각 도형의 넓이를 이등분하려면, 각 도형의 **대각선의 교점**을 지나야 합니다.
2. 직사각형 ABCD의 대각선의 교점 좌표를 구합니다.
3. 정사각형 EFGH의 대각선의 교점 좌표를 구합니다.
4. 2단계와 3단계에서 구한 두 개의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구하여 계수를 비교하고 답을 찾습니다.
주의할 점:
정사각형 또한 직사각형의 일종이므로, 동일한 성질(대각선의 교점을 지나는 직선이 넓이를 이등분)이 적용됩니다.
”
두 도형 넓이를 동시에 이등분
“
하나의 직선이 두 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 조건에 대한 문제입니다.
접근법:
1. 하나의 직선이 직사각형의 넓이를 이등분하려면, 반드시 그 직사각형의 **대각선의 교점(무게중심)**을 지나야 합니다.
2. 따라서 두 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선은, **각 직사각형의 대각선의 교점 두 개를 모두 지나는 유일한 직선**입니다.
3. 각 직사각형의 대각선의 교점 좌표를 구합니다. (마주보는 꼭짓점의 중점)
4. 이 두 개의 교점 좌표를 이용해 직선의 방정식을 구하고, 계수를 비교하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
이 문제는 ‘직사각형 넓이 이등분 = 대각선 교점 통과’ 라는 핵심 성질 하나만 알고 있으면 매우 쉽게 풀 수 있습니다.
”
직사각형 넓이를 동시에 이등분
“
두 직선과 한 선분이 만나는 점, 그리고 넓이를 삼등분하는 조건이 결합된 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 OAB의 넓이가 세 직선에 의해 삼등분됨을 이해합니다.
2. 두 직선 l, m이 원점을 지나므로, 이들은 선분 AB와 만나 삼각형의 넓이를 나눕니다. 각 직선이 만드는 삼각형의 넓이는 전체의 1/3 또는 2/3가 됩니다.
3. 이는 두 직선이 선분 AB를 특정 비율로 내분하는 점들을 지난다는 것을 의미합니다. (1:2 내분점과 2:1 내분점)
4. 두 가지 경우(l이 1:2 내분점을 지나는 경우, l이 2:1 내분점을 지나는 경우)를 나누어 각각의 기울기 합을 구하고, 그 중 최댓값을 찾습니다.
주의할 점:
넓이가 삼등분되는 위치, 즉 선분 AB의 1/3, 2/3 지점을 지나는 것을 파악하는 것이 핵심입니다. 두 직선의 역할이 바뀔 수 있으므로 두 가지 경우를 모두 고려해야 합니다.
”
세 직선에 의한 넓이 삼등분
“
복잡한 조건이 주어졌지만, 삼각형의 넓이 비와 내분점의 관계를 단계적으로 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 AOB의 넓이를 S라고 가정합니다. 점 P는 선분 AB를 2:1로 내분하므로, 삼각형 AOP의 넓이는 전체 넓이 S의 2/3가 됩니다.
2. 직선 PC가 삼각형 AOB의 넓이를 이등분(1/2 S)하므로, 삼각형 AQP의 넓이는 (삼각형 AOP 넓이) – (삼각형 QOP 넓이) = 2/3 S – 1/2 S = 1/6 S 가 됩니다. (해설 논리 오류 가능성 있음. 해설 기준: 삼각형 QOP 넓이가 1/6 S)
3. 두 삼각형 AQP와 QOP는 높이가 같으므로, 넓이의 비는 밑변 AQ:QO의 비와 같습니다. 이 비율을 이용해 점 Q의 좌표를 구합니다.
4. 최종적으로 직선 PC 위에 점 Q가 있음을 이용하여 미지수 a를 구합니다.
주의할 점:
문제의 조건이 다소 복잡하게 얽혀있습니다. 전체 넓이를 기준으로 각 부분의 넓이가 몇 분의 몇인지 차근차근 추적하는 것이 중요합니다.
”
복합 도형의 넓이 이등분선
