“
두 직선이 수직으로 만나는 교점이, 한 선분의 내분점이 되는 복합적인 문제입니다.
접근법:
1. 직선 AB는 주어진 직선과 수직이므로, 기울기의 곱이 -1이라는 조건에서 a, b의 관계식을 하나 얻습니다.
2. 점 C는 선분 AB의 1:2 내분점입니다. 내분점 공식을 이용해 C의 좌표를 a, b에 대한 식으로 표현합니다.
3. 점 C는 주어진 직선 위의 점이기도 하므로, 2단계에서 구한 C의 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 두 번째 관계식을 얻습니다.
4. 두 관계식을 연립하여 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
수직 조건과 내분점 조건을 각각 식으로 정확하게 표현하고, 이를 연립방정식으로 풀어내는 능력이 필요합니다.
”
무게중심을 지나고 변에 수직인 직선
“
선분의 내분점을 지나고, 그 선분을 포함하는 직선에 수직인 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 점 A, B의 좌표를 이용해 3:2 내분점 C의 좌표를 구합니다.
2. 두 점 A, B를 지나는 직선 AB의 기울기를 구합니다.
3. 직선 AB에 수직인 직선의 기울기는, 원래 기울기와 곱해서 -1이 되는 값(음수의 역수)입니다.
4. 1단계에서 구한 점 C를 지나고 3단계에서 구한 수직 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
내분점, 기울기, 수직 조건, 직선의 방정식 등 여러 기본 개념이 순서대로 사용되는 종합 문제입니다. 각 단계별 계산을 정확히 해야 합니다.
”
수직 교점이 내분점이 될 조건
“
특정 점을 지나고, 주어진 직선에 평행한 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 방정식을 y에 관해 정리하여 **기울기**를 찾습니다.
2. ‘평행하다’는 것은 기울기가 같다는 의미이므로, 1단계에서 구한 기울기를 그대로 사용합니다.
3. 이 기울기를 가지고 점 (3,1)을 지나는 직선의 방정식을 점-기울기 형태로 세웁니다.
4. 완성된 직선의 방정식에 점 (a, -2)를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
‘평행’ 조건을 ‘기울기가 같다’로 즉시 변환하여 적용하는 것이 핵심입니다. 평행과 수직 조건을 혼동하지 않도록 주의하세요.
”
선분의 내분점과 수직인 직선
“
세 직선으로 둘러싸인 삼각형이 직각삼각형이 될 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 직각삼각형이 되려면 세 직선 중 **두 직선이 서로 수직**이어야 합니다.
2. 미지수가 없는 두 직선의 기울기를 먼저 확인하여, 이들이 수직인지 판단합니다.
3. **(경우 1)** 미지수가 포함된 직선이 첫 번째 직선과 수직일 때의 a값을 구합니다. (기울기의 곱 = -1)
4. **(경우 2)** 미지수가 포함된 직선이 두 번째 직선과 수직일 때의 a값을 구합니다.
5. 두 경우에서 나온 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
세 직선이 모두 한 점에서 만나거나 평행하면 삼각형 자체가 만들어지지 않으므로, 수직 조건을 만족하는 a값이 그런 경우는 아닌지 검토가 필요할 수 있습니다.
”
평행한 직선의 방정식 구하기
“
세 직선이 좌표평면을 6개의 부분으로 나눌 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선이 좌표평면을 6개로 나누는 경우는 (1) 세 직선 중 두 직선만 평행하거나, (2) 세 직선이 모두 한 점에서 만날 때 입니다.
2. 이는 ‘세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건’과 사실상 같습니다. (단, 세 직선이 모두 평행하면 4개로 나뉘므로 제외)
3. 173, 174번 문제와 동일한 방법으로 두 가지 경우에 해당하는 모든 a값을 찾아 합을 구합니다.
주의할 점:
좌표평면 분할 문제와 세 직선의 위치 관계 문제는 서로 표현만 다를 뿐, 같은 개념을 묻고 있다는 것을 이해하는 것이 중요합니다.
”
직각삼각형이 될 두 직선의 수직 조건
“
173번 문제와 완전히 동일한 유형입니다. 세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건을 모두 고려하여 가능한 모든 k값의 합을 구합니다.
접근법:
1. **(평행 조건)** 미지수가 포함된 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 k값을 구합니다.
2. **(한 점 조건)** 미지수가 없는 두 직선의 교점을 구한 뒤, 그 교점을 미지수가 포함된 직선의 방정식에 대입하여 k값을 구합니다.
3. 1, 2 단계에서 나온 모든 k값을 더합니다.
주의할 점:
문제를 풀기 전, 미지수가 없는 두 직선이 서로 평행한지 먼저 확인하는 것이 좋습니다. 만약 그렇다면 풀이가 더 간단해질 수 있습니다.
”
좌표평면을 여섯 부분으로 나눌 조건
“
세 직선이 삼각형을 만들 수 없을 조건을 묻는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 크게 두 가지입니다.
(1) 세 직선 중 적어도 두 직선이 평행한 경우
(2) 세 직선이 모두 한 점에서 만나는 경우
2. (경우 1) 미지수가 포함된 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 a값을 모두 구합니다.
3. (경우 2) 미지수가 없는 두 직선의 교점을 구한 뒤, 그 교점을 미지수가 포함된 직선이 지나도록 하는 a값을 구합니다.
4. 2, 3단계에서 구한 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
삼각형이 만들어지지 않는 두 가지 핵심 조건(평행, 한 점에서 만남)을 모두 빠짐없이 고려해야 합니다.
”
삼각형을 이루지 않는 모든 k값의 합
“
세 직선의 교점이 2개가 되도록 하는 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선의 교점이 2개가 생기는 경우는, 세 직선 중 두 직선만 서로 평행할 때입니다.
2. 미지수가 없는 두 직선의 기울기가 다르므로, 이 두 직선은 한 점에서 만납니다.
3. 따라서 미지수가 포함된 직선이 나머지 두 직선 중 하나와 각각 평행한 경우를 나누어 생각해야 합니다.
4. (경우 1) ax+3y+4=0 이 3x+y+3=0 과 평행할 때의 a값을 구합니다.
5. (경우 2) ax+3y+4=0 이 4x-2y+1=0 과 평행할 때의 a값을 구합니다.
6. 두 경우에서 나온 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
‘교점이 2개’라는 조건을 ‘두 직선만 평행’으로 기하학적으로 해석하는 것이 중요합니다. 세 직선이 한 점에서 만나는 경우는 교점이 1개이므로 해당하지 않습니다.
”
세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건
“
세 직선이 한 점에서 만날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선이 한 점에서 만나려면, 미지수가 없는 두 직선의 교점을 나머지 한 직선도 지나야 합니다.
2. 먼저 미지수 k가 없는 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다.
3. 2단계에서 구한 교점의 좌표를 미지수 k가 포함된 나머지 직선의 방정식에 대입합니다.
4. 대입하여 얻은 k에 대한 방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
‘세 직선이 한 점에서 만난다’는 표현을 ‘두 직선의 교점을 나머지 직선이 지난다’로 해석하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
세 직선의 교점이 두 개일 조건
“
세 직선에 의해 좌표평면이 네 부분으로 나뉠 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 좌표평면이 세 직선에 의해 네 부분으로 나뉘는 경우는 오직 세 직선이 모두 평행할 때뿐입니다.
2. 따라서 세 직선의 기울기가 모두 같아야 합니다.
3. 첫 번째 직선과 세 번째 직선의 기울기를 같다고 놓고 a값을 구합니다.
4. 두 번째 직선과 세 번째 직선의 기울기를 같다고 놓고 b값을 구합니다.
주의할 점:
세 직선의 위치 관계에 따른 평면 분할 개수를 기억해두면 좋습니다. (모두 평행: 4개, 둘만 평행: 6개, 한 점에서 만남: 6개, 삼각형 형성: 7개)
”
세 직선이 한 점에서 만날 조건
