“
173번 문제와 완전히 동일한 유형입니다. 세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건을 모두 고려하여 가능한 모든 k값의 합을 구합니다.
접근법:
1. **(평행 조건)** 미지수가 포함된 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 k값을 구합니다.
2. **(한 점 조건)** 미지수가 없는 두 직선의 교점을 구한 뒤, 그 교점을 미지수가 포함된 직선의 방정식에 대입하여 k값을 구합니다.
3. 1, 2 단계에서 나온 모든 k값을 더합니다.
주의할 점:
문제를 풀기 전, 미지수가 없는 두 직선이 서로 평행한지 먼저 확인하는 것이 좋습니다. 만약 그렇다면 풀이가 더 간단해질 수 있습니다.
”
좌표평면을 여섯 부분으로 나눌 조건
“
세 직선이 삼각형을 만들 수 없을 조건을 묻는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 크게 두 가지입니다.
(1) 세 직선 중 적어도 두 직선이 평행한 경우
(2) 세 직선이 모두 한 점에서 만나는 경우
2. (경우 1) 미지수가 포함된 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 a값을 모두 구합니다.
3. (경우 2) 미지수가 없는 두 직선의 교점을 구한 뒤, 그 교점을 미지수가 포함된 직선이 지나도록 하는 a값을 구합니다.
4. 2, 3단계에서 구한 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
삼각형이 만들어지지 않는 두 가지 핵심 조건(평행, 한 점에서 만남)을 모두 빠짐없이 고려해야 합니다.
”
삼각형을 이루지 않는 모든 k값의 합
“
세 직선의 교점이 2개가 되도록 하는 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선의 교점이 2개가 생기는 경우는, 세 직선 중 두 직선만 서로 평행할 때입니다.
2. 미지수가 없는 두 직선의 기울기가 다르므로, 이 두 직선은 한 점에서 만납니다.
3. 따라서 미지수가 포함된 직선이 나머지 두 직선 중 하나와 각각 평행한 경우를 나누어 생각해야 합니다.
4. (경우 1) ax+3y+4=0 이 3x+y+3=0 과 평행할 때의 a값을 구합니다.
5. (경우 2) ax+3y+4=0 이 4x-2y+1=0 과 평행할 때의 a값을 구합니다.
6. 두 경우에서 나온 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
‘교점이 2개’라는 조건을 ‘두 직선만 평행’으로 기하학적으로 해석하는 것이 중요합니다. 세 직선이 한 점에서 만나는 경우는 교점이 1개이므로 해당하지 않습니다.
”
세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건
“
세 직선이 한 점에서 만날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선이 한 점에서 만나려면, 미지수가 없는 두 직선의 교점을 나머지 한 직선도 지나야 합니다.
2. 먼저 미지수 k가 없는 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다.
3. 2단계에서 구한 교점의 좌표를 미지수 k가 포함된 나머지 직선의 방정식에 대입합니다.
4. 대입하여 얻은 k에 대한 방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
‘세 직선이 한 점에서 만난다’는 표현을 ‘두 직선의 교점을 나머지 직선이 지난다’로 해석하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
세 직선의 교점이 두 개일 조건
“
세 직선에 의해 좌표평면이 네 부분으로 나뉠 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 좌표평면이 세 직선에 의해 네 부분으로 나뉘는 경우는 오직 세 직선이 모두 평행할 때뿐입니다.
2. 따라서 세 직선의 기울기가 모두 같아야 합니다.
3. 첫 번째 직선과 세 번째 직선의 기울기를 같다고 놓고 a값을 구합니다.
4. 두 번째 직선과 세 번째 직선의 기울기를 같다고 놓고 b값을 구합니다.
주의할 점:
세 직선의 위치 관계에 따른 평면 분할 개수를 기억해두면 좋습니다. (모두 평행: 4개, 둘만 평행: 6개, 한 점에서 만남: 6개, 삼각형 형성: 7개)
”
세 직선이 한 점에서 만날 조건
“
두 직선이 서로 평행하기 위한 조건을 묻는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선이 평행하려면 기울기는 같고, y절편은 달라야 합니다.
2. 두 직선의 기울기를 같다고 등식을 세워 미지수 k의 값을 구합니다.
3. 두 직선의 y절편이 다른지 확인하여, 구한 k값이 평행 조건에 맞는지 검토합니다. (이 문제에서는 y절편이 상수로 다르므로 항상 평행합니다.)
주의할 점:
y=mx+b 형태로 주어진 직선에서는 기울기와 y절편을 바로 비교할 수 있어 편리합니다. 평행과 일치의 차이를 항상 염두에 두어야 합니다.
”
세 직선이 모두 평행할 조건
“
수직 조건과 평행 조건을 이용해 미지수 a, b에 대한 연립방정식을 세우는 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 수직 조건을 이용해 a, b에 대한 관계식(ab=2)을 하나 얻습니다.
2. 두 번째 평행 조건을 이용해 a, b에 대한 또 다른 관계식(a+b=3)을 얻습니다.
3. 두 식을 연립하여 a, b 값을 직접 구하지 않고도, 곱셈 공식의 변형(a³+b³ = (a+b)³ – 3ab(a+b))을 이용해 문제에서 요구하는 값을 바로 계산합니다.
주의할 점:
합과 곱을 알고 있을 때, 굳이 각 미지수의 값을 구하지 않고도 곱셈 공식을 통해 다양한 식의 값을 구할 수 있다는 점을 기억하면 시간을 절약할 수 있습니다.
”
두 직선이 평행할 조건
“
한 직선을 기준으로 수직 조건과 평행 조건을 연달아 적용하여 미지수를 찾고, 최종적으로 도형의 넓이를 구하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 수직 조건을 이용해 미지수 a의 값을 구합니다.
2. 첫 번째 평행 조건을 이용해 미지수 b의 값을 구합니다.
3. 구한 a, b 값을 최종적으로 구해야 하는 직선의 방정식에 대입합니다.
4. 완성된 직선의 x절편과 y절편을 구해 삼각형의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
여러 단계를 거치는 문제이므로, 각 단계에서 구한 값을 다음 단계에 정확히 대입해야 합니다. 계산 실수가 없도록 주의하세요.
”
평행과 수직 조건을 연립방정식으로
“
두 직선의 수직 조건과 평행 조건을 모두 사용하여 미지수 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (수직 조건) 두 직선의 기울기의 곱이 -1이라는 조건을 이용해 k값을 구합니다. (일반형에서는 aa’+bb’=0)
2. (평행 조건) 두 직선의 기울기가 같고 y절편이 다르다는 조건을 이용해 k값을 구합니다. (일반형에서는 a/a’ = b/b’ ≠ c/c’) 이때, 일치하는 경우는 제외해야 합니다.
3. 각각의 조건에서 나온 k값을 문제에서 요구하는 대로 계산합니다.
주의할 점:
평행 조건을 풀 때, 기울기가 같다고 해서 나온 k값 중 두 직선을 일치하게 만드는 값이 있다면 그 값은 제외해야 합니다.
”
위치 관계로 미지수 찾고 넓이 구하기
“
두 직선이 두 개 이상의 교점을 가질 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 서로 다른 두 직선이 두 개 이상의 교점을 갖는 경우는 오직 두 직선이 완전히 일치할 때뿐입니다.
2. 두 직선이 일치할 조건, 즉 기울기와 y절편이 모두 같다는 조건을 식으로 표현합니다.
3. 일반형 방정식에서의 일치 조건(a/a’ = b/b’ = c/c’)을 이용하여 미지수 a, b 사이의 관계식을 구합니다.
4. 이 관계식을 이용해 새로운 직선의 방정식을 완성하고 x절편을 구합니다.
주의할 점:
평행(교점 0개), 한 점에서 만남(교점 1개), 일치(교점 무한개)라는 세 가지 위치 관계의 조건을 명확히 이해하고 있어야 합니다.
”
평행 조건과 수직 조건
