“
정점을 지나는 직선과 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 미지수 m을 포함한 직선이 항상 지나는 **정점 A**의 좌표를 찾습니다. (이 문제에서는 (-4,3))
2. 이제 문제는 ‘정점 A를 지나는 직선들과 원 위의 점 P 사이의 거리’를 묻는 것이 됩니다. 이 거리는 점 P와 정점 A 사이의 거리로 해석할 수 있습니다.
3. 결국, 이 문제는 **’원 위의 점 P’와 ‘원 밖의 점 A’ 사이의 거리의 최댓값**을 구하는 문제로 귀결됩니다.
4. 원의 중심(0,0)과 점 A(-4,3) 사이의 거리 d를 구하고, 최댓값 **d + r**을 계산합니다.
주의할 점:
문제가 복잡해 보이지만, 정점을 찾고 나면 결국 466번과 같은 기본 유형으로 변환된다는 점을 파악하는 것이 핵심입니다.
”
거리가 정수가 되는 점의 개수(직선)
“
원 위의 점과 직선 사이의 거리의 최댓값(M)과 최솟값(m)의 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 점에서 직선까지의 거리의 최댓값은 **M = d + r**, 최솟값은 **m = d – r** 입니다. (d: 중심과 직선 사이 거리, r: 반지름)
2. 따라서 M – m = (d+r) – (d-r) = **2r** 이라는 중요한 관계식이 성립합니다.
3. 문제에서 M-m=8 이라고 주어졌으므로, 2r = 8, 즉 반지름 r=4 임을 알 수 있습니다.
4. 원의 방정식에서 반지름은 √k 이므로, k=16 이 됩니다.
주의할 점:
최댓값과 최솟값의 차이는 항상 ‘지름의 길이(2r)’와 같다는 사실을 알고 있으면 매우 빠르고 간단하게 풀 수 있는 문제입니다.
”
정점을 지나는 직선과 원 위 점 거리 최댓값
“
선분의 길이가 고정되었을 때, 한 끝점이 원점을 중심으로 회전할 때 다른 끝점의 원점으로부터의 거리(크기)의 최댓값을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 점 B(a,b)는, 점 A(5,12)를 중심으로 하고 반지름이 3인 원 위의 점으로 해석할 수 있습니다.
2. 문제에서 묻는 a²+b²의 최댓값은, 원점 O와 이 원 위의 점 B 사이의 거리의 제곱의 최댓값을 묻는 것과 같습니다.
3. 이는 ‘원 밖의 한 점(원점 O)과 원 위의 점(B) 사이의 거리의 최댓값’을 구하는 문제로 귀결됩니다.
4. 원의 중심 A(5,12)와 원점 O 사이의 거리 d를 구합니다.
5. 거리의 최댓값은 **d + r** (r은 반지름 3) 입니다. 이 값을 제곱하여 답을 구합니다.
주의할 점:
주어진 조건을 ‘점이 원 위를 움직인다’로 해석하는 능력이 필요합니다. 벡터의 크기 문제로도 해석할 수 있습니다.
”
원과 직선 거리 최대/최소의 차
“
원 밖의 한 점과 원 위의 점 사이의 거리의 최솟값을 구하는 문제입니다. 466번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. 원의 중심 O(0,0)와 반지름 r(√8 = 2√2)을 찾습니다.
2. 원 밖의 점 A(5,5)와 중심 O 사이의 거리 d를 구합니다.
3. 선분 AP의 길이의 최솟값은 **d – r** 입니다.
주의할 점:
가장 기본적인 거리의 최대/최소 문제입니다. 최댓값은 d+r, 최솟값은 d-r 임을 확실히 암기해야 합니다.
”
선분 길이 고정과 다른 끝점 거리 최댓값
“
두 정점과 원 위의 한 점으로 만들어지는 식(PA²+PB²)의 최솟값을 구하는 문제입니다. 파푸스의 중선정리를 활용합니다.
접근법:
1. 삼각형 PAB에 파푸스의 중선정리를 적용하면 **PA² + PB² = 2(PM² + AM²)** 이 성립합니다. (M은 선분 AB의 중점)
2. 선분 AB의 길이가 고정되어 있으므로, 중점 M의 좌표와 선분 AM의 길이도 고정된 상수입니다.
3. 따라서 PA²+PB²이 최소가 되려면, **PM²이 최소**가 되어야 합니다.
4. PM은 원 위의 점 P와 정점 M 사이의 거리이므로, 이 거리의 최솟값은 **(원의 중심 O와 점 M 사이의 거리) – (반지름)** 입니다.
5. PM의 최솟값을 구해 중선정리 식에 대입하여 최종 답을 찾습니다.
주의할 점:
이 유형의 문제는 항상 중선정리를 떠올려야 합니다. 식을 직접 전개하여 풀면 매우 복잡해집니다.
”
원 위의 점과 한 점 사이 거리 최솟값
“
두 원 위를 움직이는 점 사이의 선분 길이의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 방정식을 각각 표준형으로 변환하여 중심 C₁, C₂ 와 반지름 r₁, r₂를 모두 구합니다.
2. 두 원의 **중심 사이의 거리 d**를 구합니다.
3. 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값은, 두 중심을 잇는 직선이 각 원과 만나는 점 중 가장 바깥쪽 두 점 사이의 거리와 같습니다.
4. 따라서 최댓값 M = **d + r₁ + r₂** 입니다.
주의할 점:
최솟값은 d – r₁ – r₂ (두 원이 만나지 않을 때), 최댓값은 d + r₁ + r₂ 입니다. 그림을 그려보면 쉽게 이해할 수 있습니다.
”
중선정리와 거리의 최솟값
“
주어진 식이 두 점 사이의 거리임을 해석하고, 그 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 √( (a-3)² + (b-8)² ) 은 원 위의 점 P(a,b)와 원 밖의 점 Q(3,8) 사이의 거리를 의미합니다.
2. 이제 문제는 466번과 같이 ‘원 위의 점과 원 밖의 점 사이의 거리의 최댓값’을 구하는 문제로 바뀝니다.
3. 원의 중심 C(-2,-4)와 점 Q(3,8) 사이의 거리 d를 구합니다.
4. 최댓값은 **d + r** (r은 원의 반지름) 입니다.
주의할 점:
복잡해 보이는 식이 실제로는 어떤 기하학적 의미를 갖는지 파악하는 것이 중요합니다. 이 식은 두 점 사이의 거리 공식의 형태와 동일합니다.
”
두 원 위 점 사이 거리의 최댓값
“
원 위의 점과 원 밖의 한 점 사이의 거리가 정수가 되도록 하는 점의 개수를 세는 문제입니다.
접근법:
1. 466번 문제와 같이, 먼저 거리의 **최댓값(M)과 최솟값(m)**을 구합니다.
2. 원 위의 점 P와 점 A 사이의 거리는 m 이상 M 이하의 모든 실수 값을 가질 수 있습니다. (m ≤ AP ≤ M)
3. 이 범위 안에 포함되는 **정수 값**들을 모두 찾습니다.
4. 각 정수 값에 대해, 그 거리를 만족하는 점 P가 몇 개씩 있는지 셉니다. 최솟값과 최댓값을 만족하는 점은 각각 1개씩, 그 사이의 정수 값을 만족하는 점은 원의 대칭성에 의해 항상 **2개씩** 존재합니다.
주의할 점:
단순히 정수의 개수만 세는 것이 아니라, 양 끝(최소, 최대) 지점은 점이 1개, 그 사이는 2개씩이라는 점을 놓치지 말아야 합니다.
”
거리 식의 최댓값 구하기
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원 밖의 한 점과 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값과 최솟값을 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심 C의 좌표와 반지름 r의 길이를 구합니다.
2. 원 밖의 점 Q와 원의 중심 C 사이의 거리 d를 구합니다.
3. **최댓값 M = d + r** (점 Q, 중심 C, 점 P가 일직선 상에 있고 C가 가운데 있을 때)
4. **최솟값 m = d – r** (점 Q, 점 P, 중심 C가 일직선 상에 있고 P가 가운데 있을 때)
주의할 점:
최대/최소 거리는 항상 원 밖의 점과 중심을 잇는 직선 위에서 발생한다는 기하학적인 그림을 머릿속에 그릴 수 있어야 합니다.
”
거리가 정수가 되는 점의 개수
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원과 만나는 직선 위의 두 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 한 점에서의 접선과, 그 접선에 수직인 또 다른 접선이 만나는 점은 항상 **감독원** 위에 있습니다.
2. 이 문제에서 두 접선이 수직이므로, 두 접선의 교점 D는 원의 감독원 위에 있습니다.
3. 또한, 두 접점 A, B와 원의 중심 C, 그리고 교점 D로 만들어지는 사각형 ADBC는 정사각형입니다. 이때 대각선 CD는 y=x와 수직이등분 관계에 있을 것입니다.
4. 원의 중심(1,1)과 직선 y=mx 사이의 거리를 이용해 m에 대한 관계식을 세우고, 기하학적 조건을 만족하는 m 값들의 합을 구합니다.
주의할 점:
상황이 매우 복잡하므로, 그림을 그려 기하학적 관계를 파악하는 것이 중요합니다. 두 접선이 수직이라는 조건에서 감독원을 떠올리고, 이등변삼각형, 정사각형 등의 성질을 활용해야 합니다.
”
원 밖의 점과 원 위 점 사이 거리 최대/최소
