“
두 원 위의 점 P, Q에서 특정 직선에 내린 수선의 발 H₁, H₂ 사이의 거리의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 수선의 발 H₁, H₂는 직선 l 위에 있습니다. 두 점 사이의 거리를 구하려면, 두 점을 직선 l 위로 정사영시킨다고 생각할 수 있습니다.
2. 두 원의 중심 O₁, O₂를 직선 l 위로 정사영시킨 점 R, S를 먼저 찾습니다.
3. 두 점 R, S 사이의 거리를 구합니다.
4. **최댓값 M = (RS 사이의 거리) + r₁ + r₂**
5. **최솟값 m = (RS 사이의 거리) – r₁ – r₂** (단, 거리가 0보다 커야 함)
6. 두 값을 곱하여 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
두 원 사이의 거리 문제가 아니라, 직선 위로 투영된 그림자 사이의 거리 문제로 해석해야 합니다. 두 중심의 투영점 사이의 거리를 구하는 것이 핵심입니다.
”
각이 90도가 되는 점의 자취와 현의 길이
“
원 위의 점과 두 정점으로 만들어지는 삼각형의 넓이가 자연수가 되도록 하는 점의 개수를 세는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 밑변 AB의 길이를 고정하고, 그 길이를 포함하는 직선 AB의 방정식을 구합니다.
2. 삼각형의 높이는 원 위의 점 P와 직선 AB 사이의 거리입니다.
3. 이 높이의 최솟값(m)과 최댓값(M)을 구합니다. (m=d-r, M=d+r)
4. 삼각형의 넓이 S = (1/2 * 밑변 * 높이) 이므로, 넓이의 최솟값과 최댓값을 구합니다.
5. 넓이의 범위 안에 있는 자연수 값들을 찾고, 각 자연수 넓이를 만족하는 높이가 몇 개씩 존재하는지 확인하여 점 P의 개수를 셉니다. (최소/최대 높이는 1개, 사이 높이는 2개)
주의할 점:
467번 문제와 유사하지만, ‘거리’가 아닌 ‘넓이’가 자연수가 되는 조건입니다. 넓이를 높이로 변환하여 생각하는 과정이 필요합니다.
”
x,y축 동시 접촉과 중심이 곡선 위
“
특정 점을 지나는 직선 중 원점과의 거리가 최대인 직선을 구하고, 그 직선과 다른 원 사이의 거리의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (직선 l 구하기) 점 P(3,4)를 지나는 직선 중 원점 O와의 거리가 최대인 직선은, **선분 OP에 수직**이면서 점 P를 지나는 직선입니다. 이 직선 l의 방정식을 구합니다.
2. (거리 최솟값 구하기) 이제 ‘원 위의 점과 직선 l 사이의 거리의 최솟값’을 구하는 문제가 됩니다.
3. 원의 중심 (7,5)와 직선 l 사이의 거리 d를 구합니다.
4. 원의 반지름 r은 1입니다.
5. 최솟값 m = **d – r** 입니다.
주의할 점:
‘정점을 지나는 직선과 다른 한 점 사이의 최대 거리’에 대한 기하학적 성질을 정확히 알고 있어야 첫 단계를 해결할 수 있습니다.
”
두 원과 직선 위의 수선의 발 거리 최대/최소
“
480번 문제와 동일한 유형입니다. 정삼각형 넓이의 최솟값과 최댓값의 비를 구합니다.
접근법:
1. 정삼각형의 높이 h는 원 위의 점과 직선 사이의 거리와 같습니다.
2. 원과 직선 사이의 거리의 최솟값(h_min)과 최댓값(h_max)을 구합니다. (h_min = d-r, h_max = d+r)
3. 정삼각형의 넓이는 높이의 제곱에 비례합니다. (S = h²/√3)
4. 따라서 넓이의 최솟값과 최댓값의 비는, **(최소 높이)² : (최대 높이)²** 와 같습니다.
주의할 점:
넓이의 비는 길이의 비(높이의 비)의 제곱과 같다는 닮음의 성질을 이용하면, 실제 넓이를 계산하지 않고도 비율을 쉽게 구할 수 있습니다.
”
삼각형 넓이가 자연수가 되는 점의 개수
“
원 위의 점과 직선 위의 두 점으로 정삼각형을 만들 때, 그 넓이의 최대/최소를 묻는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 정삼각형의 넓이는 높이가 결정합니다. 넓이가 최대/최소가 되려면 높이가 최대/최소가 되어야 합니다.
2. 정삼각형의 높이는 꼭짓점 A(원 위의 점)에서 밑변 BC(직선 위의 점)까지의 거리입니다.
3. 이 높이의 최댓값과 최솟값은 **원과 직선 사이의 거리**의 최댓값, 최솟값과 같습니다.
4. 원의 중심(0,0)과 직선 y=x-6 사이의 거리 d를 구하고, 반지름 r을 찾습니다. (최대 높이 = d+r, 최소 높이 = d-r)
5. 정삼각형의 넓이 S = h² / √3 공식을 이용해, 각각의 높이에 대한 넓이를 구하고 차이를 계산합니다.
주의할 점:
정삼각형의 높이와 넓이 사이의 관계를 정확히 알고 있어야 합니다. 이 문제를 ‘원과 직선 사이의 거리’ 문제로 변환하여 해석하는 것이 핵심입니다.
”
특정 직선과 원 위 점 거리 최솟값
“
원 위의 점과 두 정점으로 만들어지는 삼각형 넓이의 최댓값, 최솟값의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 선분 BC를 삼각형의 밑변으로 고정하고 길이를 구합니다.
2. 높이는 원 위의 점 A와 직선 BC 사이의 거리입니다.
3. 높이의 최댓값 = (원의 중심과 직선 BC 사이의 거리) + (반지름)
4. 높이의 최솟값 = (원의 중심과 직선 BC 사이의 거리) – (반지름)
5. 각각의 높이를 이용해 넓이의 최댓값 M과 최솟값 m을 구한 뒤, 두 값을 더합니다.
주의할 점:
478번 문제에서 최솟값까지 함께 구하는 문제입니다. 원리와 풀이 과정은 동일합니다.
”
정삼각형 넓이의 최대/최소
“
원 위의 동점과 두 정점으로 만들어지는 삼각형의 넓이의 최댓값을 구하는 문제입니다. 436번과 동일합니다.
접근법:
1. 삼각형 PAB에서 선분 AB를 밑변으로 고정하고 길이를 구합니다.
2. 넓이가 최대가 되려면 높이가 최대여야 합니다. 높이는 점 P와 직선 AB 사이의 거리입니다.
3. 높이의 최댓값은 **(원의 중심과 직선 AB 사이의 거리) + (반지름)** 입니다.
4. 직선 AB의 방정식을 구하고, 원의 중심과 이 직선 사이의 거리를 구한 뒤, 반지름을 더해 최대 높이를 찾습니다.
5. 밑변과 최대 높이를 이용해 넓이의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
최대/최소 넓이 문제는 항상 고정된 밑변을 찾고, 높이의 최대/최소를 원의 중심을 기준으로 찾는다는 점을 기억해야 합니다.
”
삼각형 넓이의 최대/최소의 합
“
직선 위의 점에서 원에 그은 접선의 길이의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 위의 임의의 점을 P, 원의 중심을 C, 접점을 T라 하면, **PT² = PC² – r²** 이 성립합니다.
2. 접선의 길이 PT가 최소가 되려면, 점 P와 원의 중심 C 사이의 거리 **PC가 최소**가 되어야 합니다.
3. 점 P는 직선 위를 움직이므로, PC의 최솟값은 **원의 중심 C에서 직선까지의 거리**입니다.
4. 원의 중심 (4,3)과 주어진 직선 사이의 거리를 구해 PC의 최솟값을 찾습니다.
5. 구한 PC의 최솟값을 1단계의 피타고라스 관계식에 대입하여 PT의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
접선의 길이를 직접 다루는 것이 아니라, 중심과 직선 위의 점 사이의 거리로 변환하여 생각하는 것이 핵심입니다.
”
삼각형 넓이의 최댓값
“
원 위의 점과 직선 사이의 거리의 최댓값, 최솟값의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
2. 원의 중심 (4,4)와 1단계에서 구한 직선 사이의 거리 d를 구합니다.
3. 원의 반지름 r은 5입니다.
4. 최댓값 M = d+r, 최솟값 m = d-r 입니다.
5. 문제에서 요구하는 M+m = (d+r) + (d-r) = **2d** 입니다. 따라서 2단계에서 구한 거리 d에 2를 곱하면 답이 됩니다.
주의할 점:
최댓값과 최솟값의 ‘차’는 2r, ‘합’은 2d가 된다는 관계를 알아두면 계산을 간소화할 수 있습니다.
”
직선 위 점에서 그은 접선 길이 최솟값
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원 위의 점과 직선 사이의 거리가 정수가 되도록 하는 점의 개수를 세는 문제입니다. 467번과 동일한 유형입니다.
접근법:
1. 원의 중심 (1,-2)와 직선 x-y+3=0 사이의 거리 d를 구합니다.
2. 원의 반지름 r은 √8 = 2√2 입니다.
3. 원 위의 점에서 직선까지의 거리의 **최솟값 m = d-r** 과 **최댓값 M = d+r** 을 구합니다.
4. 거리의 범위 [m, M] 안에 포함되는 정수 값들을 모두 찾습니다.
5. 최솟값과 최댓값이 정수인 경우 그에 해당하는 점은 1개씩, 그 외의 정수 거리에 해당하는 점은 원의 대칭성에 의해 **2개씩** 존재합니다. 모든 점의 개수를 더합니다.
주의할 점:
최댓값과 최솟값의 근사값을 계산하여(√2 ≈ 1.414) 정수의 범위를 정확히 찾아야 합니다.
”
원과 직선 거리 최대/최소의 합
