“
행렬로 정의된 점의 자취(원)와 평행사변형의 성질, 그리고 거리의 최대/최소를 결합한 최고난도 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 주어진 행렬 방정식을 계산하여 점 P(x,y)가 그리는 도형이 원 x²+y²=9 임을 밝힙니다.
2. [2단계] 사각형 APBQ가 평행사변형이므로, 대각선 PQ의 중점과 대각선 AB의 중점이 일치합니다. 이를 이용하면 점 Q의 좌표를 점 P의 좌표로 표현할 수 있고, 선분 PQ의 길이는 중점 M과 점 P 사이 거리의 2배가 됨을 알 수 있습니다.
3. [3단계] 결국, 문제는 ‘점 M과 원 위의 점 P 사이의 거리’의 최대/최솟값을 구하는 문제로 귀결됩니다. (d+r, d-r)을 이용해 답을 찾습니다.
주의할 점:
행렬, 평행사변형, 원의 최대/최소 등 여러 단원의 개념이 융합되어 있습니다. 각 개념을 정확히 이해하고 연결하는 능력이 필요합니다.
”
높이를 고정했을 때 삼각형 넓이 최대/최소
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한 원 위의 점에서의 접선이 다른 원과 만나 현을 만들 때, 그 현의 길이를 이용해 접점의 정보를 찾는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 첫 번째 원 위의 점 P의 좌표를 미지수로 두고, 그 점에서의 접선 l의 방정식을 세웁니다.
2. [2단계] 두 번째 원의 중심에서 직선 l까지의 거리 d를 구합니다.
3. [3단계] 주어진 현의 길이가 2√7이므로, 피타고라스 정리를 이용해 거리 d의 값을 먼저 확정합니다. 2단계에서 구한 d에 대한 식과 연립하여 접점 P의 좌표를 찾고, 최종적으로 접선의 기울기를 구합니다.
주의할 점:
여러 원과 직선 사이의 관계가 복합적으로 얽혀있어, 각 단계에서 어떤 원의 중심과 반지름, 어떤 직선을 사용해야 하는지 명확히 구분해야 합니다.
”
삼각형 넓이 최대/최소 (서술형)
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아폴로니우스의 원에 대한 다양한 성질을 묻는 종합 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 두 점 A, B로부터의 거리의 비가 2:1인 점 P의 자취, 즉 아폴로니우스의 원의 방정식을 구합니다.
2. [2단계] 삼각형 PAB의 넓이가 최대가 될 때는, 높이가 최대일 때, 즉 높이가 이 원의 반지름과 같을 때입니다.
3. [3단계] 각 PAB의 크기가 최대가 될 때는, 직선 AP가 원에 접할 때입니다. 직각삼각형 PAC(C는 원의 중심)를 이용해 AP의 길이를 구합니다.
주의할 점:
아폴로니우스의 원에 대한 세 가지 대표적인 질문(자취, 넓이 최대, 각 최대)을 한 문제에 모두 담고 있습니다.
”
행렬과 평행사변형, 거리의 최대/최소
“
원과 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선의 방정식을 찾는 서술형 문제입니다. 157번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] 직사각형의 대각선의 교점(무게중심)의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 원과 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선은, 1단계와 2단계에서 구한 두 중심점을 모두 지나는 유일한 직선입니다.
4. [4단계] 두 중심점을 지나는 직선의 방정식을 구해 a, b를 찾고 답을 계산합니다.
주의할 점:
도형의 넓이를 이등분하는 직선은 그 도형의 ‘무게중심’을 지난다는 일반적인 성질을 이용하는 문제입니다.
”
원 위의 점 접선과 다른 원의 현
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원 밖의 한 점에서 그은 두 접선과 x축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 원의 방정식은 중심이 (1,1)이고 반지름이 1임을 확인합니다.
2. [2단계] 점 A(2,3)에서 이 원에 그은 두 접선의 방정식을 각각 구합니다.
3. [3단계] 두 접선이 x축과 만나는 점, 즉 각 직선의 x절편 P, Q의 좌표를 구합니다.
4. [4단계] 세 점 A, P, Q를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구합니다. (밑변 PQ는 x축 위에 있으므로, 높이는 점 A의 y좌표가 됩니다.)
주의할 점:
원 밖의 점에서 접선을 구하는 것이 가장 핵심적인 단계이며, 계산이 복잡할 수 있습니다.
”
아폴로니우스의 원 종합 문제
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원 밖의 한 점에서 그은 접선 중 특정 조건을 만족하는 접선을 찾고, 그 접선과 축에 동시에 접하는 원을 찾는 고난도 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 점 (3,-1)에서 원 x²+y²=1에 그은 두 접선의 방정식을 구하고, 그 중 기울기가 음수인 것을 선택합니다.
2. [2단계] x축, y축에 동시에 접하고 중심이 제1사분면에 있는 원의 중심은 (r,r), 반지름은 r입니다. 이 원이 1단계에서 구한 접선과 접해야 합니다.
3. 중심 (r,r)과 접선 사이의 거리가 반지름 r과 같다는 방정식을 풀어 가능한 모든 r값을 구합니다.
4. [3단계] 두 반지름의 합을 구합니다.
주의할 점:
여러 단계에 걸쳐 여러 개념(접선, 축에 동시접촉, 점과 직선사이 거리)을 종합적으로 사용해야 하는 문제입니다.
”
원과 직사각형 넓이를 동시에 이등분
“
원 위의 점에서의 접선이 다른 원에 접할 조건을 이용하는 서술형 문제입니다. 443번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 첫 번째 원 위의 점 (2,-4)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. [2단계] 두 번째 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심과 반지름을 k를 포함한 식으로 구합니다.
3. [3단계] 1단계에서 구한 접선이 2단계의 원에 접하므로, 원의 중심과 접선 사이의 거리가 반지름과 같다는 등식을 세워 k값을 구합니다.
주의할 점:
점과 직선 사이의 거리 공식을 정확히 적용하는 것이 핵심입니다. 루트가 포함된 방정식을 풀 때 양변을 제곱하는 과정에서 실수가 없도록 해야 합니다.
”
원 밖의 점 접선과 x축으로 만든 넓이
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원을 접었을 때 생기는 공통현의 방정식을 구하는 서술형 문제입니다. 375번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 접어서 생긴 호를 포함하는 새로운 원의 방정식을 구합니다. 이 원은 원래 원과 반지름이 같고, 새로운 접점(2,0)의 조건을 만족합니다.
2. [2단계] 접는 선인 직선 PQ는 원래 원과 새로운 원의 **공통현**입니다. 두 원의 방정식을 빼서 공통현의 방정식을 구합니다.
3. [3단계] 구한 직선의 방정식을 문제의 형태와 비교하여 a, b 값을 찾고 ab를 계산합니다.
주의할 점:
접힌 도형은 합동이라는 성질을 이용해, 새로운 원의 중심과 반지름을 추론하는 과정이 가장 중요합니다.
”
원 밖의 점 접선과 축 동시 접촉 원
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각이 90도가 되는 점들의 자취(원)와 직선의 교점 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다. 424번 문제와 유사합니다.
접근법:
1. [1단계] 각 APB=90°를 만족하는 점 P는, **선분 AB를 지름으로 하는 원** 위에 있습니다. 이 원의 방정식을 구합니다.
2. [2단계] 점 P, Q는 이 원과 직선 y=x-2의 교점입니다. 두 방정식(원, 직선)을 연립하여 두 교점의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 두 교점 P, Q 사이의 거리를 계산하여 l을 구하고, l² 값을 답합니다.
주의할 점:
‘각이 90도’라는 조건을 ‘지름에 대한 원주각’으로 해석하여 원의 방정식을 떠올리는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
원 위의 점 접선이 다른 원에 접할 때
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중심이 곡선 위에 있고 x축과 y축에 동시에 접하는 원을 찾는 서술형 문제입니다. 368번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] x,y축에 동시에 접하는 원의 중심은 직선 y=x 또는 y=-x 위에 있습니다. 중심이 y=x와 주어진 곡선의 교점일 경우를 찾아 반지름들을 구합니다.
2. [2단계] 중심이 y=-x와 주어진 곡선의 교점일 경우를 찾아 반지름들을 구합니다.
3. [3단계] 1, 2단계에서 나온 모든 가능한 원들의 넓이를 각각 구하여 모두 더합니다.
주의할 점:
원이 존재할 수 있는 모든 가능성(y=x 위, y=-x 위)을 체계적으로 나누어 서술하는 것이 중요합니다.
”
원을 접었을 때의 공통현 방정식
