“
접선과 수선(법선), 그리고 이등변삼각형의 조건이 결합된 고난도 기하 문제입니다.
접근법:
1. 점 P를 지나고 접선 l에 수직인 직선은 원의 중심을 지납니다. 따라서 선분 PQ는 원의 지름이 됩니다.
2. 삼각형 APQ에서 각 APQ는 90도입니다. (접선과 반지름은 수직)
3. 이 직각삼각형이 이등변삼각형이 되려면, **AP = PQ** 여야 합니다.
4. AP는 접선의 길이, PQ는 지름(2r)입니다. 접선의 길이는 피타고라스 정리(AP² = OA² – r²)로 구할 수 있습니다.
5. AP² = PQ² 라는 등식, 즉 OA² – r² = (2r)² 을 풀어 원의 반지름 r을 찾고, 이를 이용해 점 P의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
여러 기하학적 성질(접선, 수선, 직각삼각형, 이등변삼각형)을 순서대로 적용하여 문제의 조건을 식으로 변환하는 능력이 필요합니다.
”
이등변삼각형과 무게중심 복합 문제
“
원 밖의 한 점에서 그은 접선의 길이가 같다는 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 P를 x축 위의 점 (a,0)으로 설정합니다.
2. **(접선 PQ 길이)** 직각삼각형을 이용합니다. PQ² = (P와 C₁중심간 거리)² – (C₁반지름)² 입니다.
3. **(접선 PR 길이)** 마찬가지로 PR² = (P와 C₂중심간 거리)² – (C₂반지름)² 입니다.
4. 주어진 조건 PQ=PR, 즉 PQ²=PR² 이라는 등식을 세웁니다.
5. 이 등식은 a에 대한 간단한 일차방정식이 되며, 이를 풀어 점 P의 x좌표를 구합니다.
주의할 점:
원 밖의 점에서 접점까지의 길이를 구할 때, 항상 원의 중심을 연결하여 피타고라스 정리를 사용하는 것을 기억해야 합니다.
”
곡선 밖 두 접선이 수직일 조건
“
한 원의 넓이를 이등분하는 두 직선이 다른 원에 접할 때의 상황을 해석하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선이 첫 번째 원의 넓이를 이등분하므로, 두 직선은 모두 첫 번째 원의 중심 (6,0)을 지납니다.
2. 이제 문제는 ‘점 (6,0)에서 두 번째 원(x²+y²=9)에 그은 두 접선’을 찾는 문제로 바뀝니다.
3. 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 방정식을 구합니다.
4. 이 두 접선과 y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구합니다. 두 접선은 x축에 대해 대칭이므로, y절편은 부호만 다릅니다. 이를 이용해 밑변과 높이를 쉽게 구할 수 있습니다.
주의할 점:
‘넓이를 이등분한다’는 조건을 ‘중심을 지난다’로 해석하여, 문제를 ‘원 밖의 한 점에서 그은 접선’ 문제로 변환하는 것이 핵심입니다.
”
선대칭을 이용한 최단 거리
“
x축에 접하는 원의 중심이 이차함수 위에 있고, 또 다른 직선에도 접할 조건을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심을 (a, b)라 하면, 중심이 이차함수 위에 있으므로 b=a²+1 입니다.
2. 원이 x축에 접하므로 반지름 r = |중심의 y좌표| = |a²+1| 입니다. a²+1은 항상 양수이므로 r=a²+1 입니다.
3. 이 원이 직선 4x-3y-3=0 과도 접하므로, 원의 중심 (a, a²+1)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 a²+1과 같다는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식을 풀면 a에 대한 이차방정식이 나오며, 두 근이 두 원의 중심 x좌표가 됩니다.
5. 두 원의 반지름은 각각의 a값에 대해 계산되므로, 두 반지름의 합을 구합니다.
주의할 점:
여러 개의 조건을 종합하여 하나의 미지수(a)에 대한 방정식으로 귀결시키는 과정이 핵심입니다. 점과 직선 사이의 거리 공식에서 절댓값을 푸는 과정에 유의해야 합니다.
”
세 직선 교점으로 내심 구하기
“
아폴로니우스의 원 두 개가 주어졌을 때, 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (원 O₁ 구하기) AP:BP = 3:2를 만족하는 점 P의 자취(아폴로니우스의 원)의 방정식을 구하여 중심 O₁과 반지름 r₁을 찾습니다.
2. (원 O₂ 구하기) AQ:BQ = 2:3을 만족하는 점 Q의 자취(아폴로니우스의 원)의 방정식을 구하여 중심 O₂와 반지름 r₂를 찾습니다.
3. 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값은, **(두 중심 사이의 거리) + (두 반지름의 합)** 입니다.
4. d = O₁O₂, M = d + r₁ + r₂ 를 계산합니다.
주의할 점:
아폴로니우스의 원을 두 번 구해야 하는 계산량이 많은 문제입니다. 내분점과 외분점을 지름의 양 끝으로 하여 원을 구하는 것이 더 빠를 수 있습니다.
”
두 직선에 접하는 원 넓이 이등분선
“
직선과 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 내접원과 외접원의 중심을 각각 찾아 두 중심 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 x, y절편을 구해 삼각형의 세 꼭짓점 좌표를 찾습니다. 이 삼각형은 직각삼각형입니다.
2. (내심 C₁) 직각삼각형의 내접원의 반지름 r = (a+b-c)/2 공식을 이용하거나, 넓이 공식을 이용해 반지름을 구하고 중심 좌표(r,r)를 찾습니다.
3. (외심 C₂) 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점입니다. 중점 공식을 이용해 외심의 좌표를 구합니다.
4. 두 중심 C₁, C₂ 사이의 거리를 계산합니다.
주의할 점:
직각삼각형의 내심과 외심의 위치에 대한 성질을 알고 있으면 매우 빠르고 쉽게 풀 수 있습니다.
”
x축과 직선에 동시 접촉하는 원
“
원의 현의 수직이등분선의 성질을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원과 직선 y=x의 두 교점이 P, Q입니다.
2. 선분 PQ는 원의 현이므로, 현 PQ의 수직이등분선은 반드시 원의 중심 (2,1)을 지납니다.
3. 또한, 현 PQ를 포함하는 직선은 y=x이므로, 수직이등분선의 기울기는 -1입니다.
4. 이제 수직이등분선은 점 (2,1)을 지나고 기울기가 -1인 직선임을 알 수 있습니다. 이 직선의 방정식을 구합니다.
5. 구한 직선의 x절편(A)과 y절편(B)을 찾아 삼각형 OAB의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
현의 수직이등분선은 항상 원의 중심을 지난다는 핵심적인 기하학적 성질을 알고 있으면, 교점을 직접 구하지 않고도 문제를 해결할 수 있습니다.
”
두 아폴로니우스의 원 사이 거리 최댓값
“
정사각형에 내접하는 원과, 정사각형의 한 변의 내분점을 지나는 직선이 원과 만나 생기는 현의 길이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 정사각형을 좌표평면 위에 배치하여 원의 방정식과 점 P의 좌표를 구합니다.
2. 두 점 A와 P를 지나는 직선 AP의 방정식을 구합니다.
3. 문제는 ‘원과 직선 AP가 만나서 생기는 현 QR의 길이’를 구하는 것으로 바뀝니다.
4. 원의 중심에서 직선 AP까지의 거리 d를 구합니다.
5. 피타고라스 정리 (현/2)² + d² = r² 을 이용해 현 QR의 길이를 구합니다.
주의할 점:
도형 문제를 좌표로 변환하여 푸는 능력이 중요합니다. 어떤 점을 원점으로 설정하는지에 따라 계산의 난이도가 달라질 수 있습니다.
”
직각삼각형의 내심과 외심 사이 거리
“
삼각형 넓이의 최대/최소를 묻는 문제로, 밑변이 고정되어 있지 않은 경우입니다. 밑변과 높이를 어떻게 설정할지 판단해야 합니다.
접근법:
1. [1단계] 점 A에서 직선에 내린 수선의 발 H의 좌표를 구합니다. 선분 AH를 삼각형의 높이로 고정합니다.
2. [2단계] 직선 AH의 방정식과 선분 AH의 길이를 구합니다.
3. [3단계] 밑변은 원 위의 점 P와 점 H를 잇는 선분 PH가 됩니다. 넓이가 최대/최소가 되려면 밑변 PH의 길이가 최대/최소가 되어야 합니다. 이는 점 H와 원 위의 점 P 사이의 거리의 최대/최소 문제입니다.
주의할 점:
밑변과 높이를 어떻게 설정하는지에 따라 풀이의 방향이 달라집니다. 이 풀이는 한 꼭짓점에서 직선에 수선을 내려 높이를 고정하는 전략을 사용합니다.
”
원의 현의 수직이등분선의 성질
“
삼각형 넓이의 최댓값과 최솟값을 구하는 서술형 문제입니다. 밑변을 고정하고 높이의 최대/최소를 찾는 것이 핵심입니다.
접근법:
1. [1단계] 밑변이 될 선분 AB의 길이와 직선 AB의 방정식을 구합니다.
2. [2단계] 높이는 원 위의 점 P와 직선 AB 사이의 거리입니다. 이 거리의 최댓값은 (원의 중심과 직선 AB 사이의 거리) + (반지름), 최솟값은 (중심과 직선 거리) – (반지름) 입니다.
3. [3단계] 고정된 밑변과 2단계에서 구한 최대/최소 높이를 이용해 넓이의 최댓값과 최솟값을 각각 구하고 합합니다.
주의할 점:
밑변을 고정시킨 뒤, 높이가 원의 중심을 기준으로 어떻게 변하는지를 파악하는 것이 이 유형의 정석적인 풀이법입니다.
”
정사각형 내접원과 현의 길이
