마플시너지공통수학2풀이해설0514고퀄리티 풀이영상제공0514 이차함수의 꼭짓점과 원의 방정식 삼각형의 무게중심

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[문제 514] 핵심 개념 및 풀이 전략

원의 중심이 이차함수 위에 있고, 두 직선에 동시에 접하는 원이 3개일 조건을 해석하는 최고난도 문제입니다.

접근법:
1. 원의 중심은 두 접선(y=4/3x, y=0)이 이루는 각의 이등분선 위에 있어야 합니다. 이등분선은 y=1/2x 와 y=-2x 두 개가 나옵니다.
2. 원의 중심은 이차함수 그래프 위에도, 두 이등분선 중 하나 위에도 있어야 합니다. 즉, 교점이어야 합니다.
3. 원이 총 3개가 나온다는 것은, 이차함수 그래프가 **한 이등분선과는 접하고(교점 1개), 다른 이등분선과는 두 점에서 만난다(교점 2개)**는 의미입니다.
4. 이 접할 조건(판별식 D=0)과 두 점에서 만날 조건을 이용해 이차함수의 계수 a, b를 결정합니다.
5. 무게중심 조건을 추가로 활용하여 a, b를 확정하고 최종 함숫값을 구합니다.

주의할 점:
문제의 조건 ‘원의 개수가 3개’를 ‘이차함수와 두 직선의 교점 개수가 총 3개’로 해석하는 것이 문제 해결의 가장 중요한 부분입니다.

”

이차함수의 꼭짓점과 원의 방정식 삼각형의 무게중심

마플시너지공통수학2풀이해설0513고퀄리티 풀이영상제공0513 무게중심 원의방정식 결정조건 삼각형의 넓이

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[문제 513] 핵심 개념 및 풀이 전략

무게중심 조건과 외접원의 중심(외심)이 원점이라는 두 가지 조건을 모두 만족하는 삼각형의 넓이를 구하는 최고난도 문제입니다.

접근법:
1. 꼭짓점 B, C의 좌표를 미지수로 설정합니다.
2. (가) 무게중심 조건을 이용해 미지수들 사이의 관계식을 얻습니다.
3. (나) 외심이 원점이므로, 세 꼭짓점은 모두 원점 중심의 한 원 위에 있습니다. 즉, OA=OB=OC=반지름 입니다. 이 조건을 이용해 추가적인 관계식을 얻습니다.
4. 두 조건을 연립하여 꼭짓점 B, C의 좌표를 모두 구합니다.
5. 세 꼭짓점의 좌표를 알았으므로, 신발끈 공식을 이용해 삼각형의 넓이를 구합니다.

주의할 점:
무게중심과 외심의 정의를 모두 식으로 표현하고, 복잡한 연립방정식을 풀어야 하는 문제입니다. 높은 수준의 계산 능력이 요구됩니다.

”

무게중심 원의방정식 결정조건 삼각형의 넓이

마플시너지공통수학2풀이해설0512고퀄리티 풀이영상제공0512 원의방정식과 각의 이등분선, 접하는 원

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[문제 512] 핵심 개념 및 풀이 전략

원 밖의 한 점에서 두 원에 그은 접선의 성질을 이용하는 고난도 문제입니다.

접근법:
1. 점 P에서 두 원 C₁, C₂에 그은 접선의 길이는 각각 피타고라스 정리를 이용해 표현할 수 있습니다.
2. 두 접선의 길이가 같다는 조건을 식으로 세우면, 점 P가 만족하는 특정 관계식을 얻을 수 있습니다.
3. 이 문제에서는 닮음 관계를 이용하는 것이 더 효율적입니다. 점 P, 두 원의 중심은 한 직선 위에 있고, 두 원의 반지름의 비는 닮음비와 같습니다. 이를 이용해 점 P의 좌표를 먼저 찾습니다.
4. 점 P에서 한 원에 그은 두 접선의 기울기를 구하고, 그 곱을 계산합니다.

주의할 점:
두 원의 공통접선 문제는 두 원의 중심을 잇는 선과 닮음의 중심(교점 P)을 활용하는 것이 정석적인 풀이법입니다.

”

원의방정식과 각의 이등분선, 접하는 원

마플시너지공통수학2풀이해설0511고퀄리티 풀이영상제공0511 무게중심과 외심 조건의 복합 문제

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[문제 511] 핵심 개념 및 풀이 전략

각의 이등분선 위에 원의 중심이 있고, 그 원의 접점을 이용하는 고난도 문제입니다.

접근법:
1. 원의 중심 A는 두 접선 l₁, l₂가 이루는 각의 이등분선 위에 있습니다. 두 직선의 기울기 관계로부터 각의 이등분선이 y=x임을 추론할 수 있습니다. (y=mx와 y=(1/m)x는 y=x 대칭)
2. (나) 조건의 삼각형 OPQ 넓이를 이용해 접점의 좌표를 찾습니다.
3. (가) 조건 PQ=QR을 이용해 점 R의 좌표를 찾습니다.
4. 최종적으로 직선 AQ와 직선 l₁의 교점 B를 찾아 선분 BQ의 길이를 구합니다.

주의할 점:
두 직선 y=mx와 y=(1/m)x가 y=x 대칭이라는 점을 파악하는 것이 문제 풀이의 중요한 실마리입니다. 대칭성을 이용하면 계산을 크게 줄일 수 있습니다.

”

무게중심과 외심 조건의 복합 문제

마플시너지공통수학2풀이해설0510고퀄리티 풀이영상제공0510 두 원 공통접선과 닮음

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[문제 510] 핵심 개념 및 풀이 전략

x축과 다른 직선에 동시에 접하는 원과 관련된 삼각형의 넓이를 이용하는 고난도 문제입니다.

접근법:
1. 원의 중심은 x축과 직선 y=mx가 이루는 각의 이등분선 위에 있습니다. 각의 이등분선의 방정식을 구합니다.
2. 원의 반지름이 2이고 중심이 1사분면에 있으므로, 중심의 y좌표는 2입니다. 이를 이용해 중심의 좌표를 확정합니다.
3. 점 P는 접점이므로 좌표를 구하고, 직선 PQ는 원의 중심을 지나는 수직선임을 이용해 Q의 좌표를 찾습니다.
4. 삼각형 ROP의 넓이가 16임을 이용해 점 R의 좌표를 구합니다.
5. 세 점 P, Q, R이 한 직선 위에 있음을 이용해 기울기가 같다는 식을 세워 m값을 구합니다.

주의할 점:
원이 두 직선에 접할 때, 중심은 각의 이등분선 위에 있다는 성질을 활용하는 것이 중요합니다. 여러 기하학적 관계를 종합적으로 사용해야 합니다.

”

두 원 공통접선과 닮음

마플시너지공통수학2풀이해설0509고퀄리티 풀이영상제공0509 두 직선 대칭성과 접점의 관계

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[문제 509] 핵심 개념 및 풀이 전략

원과 직선의 교점, 수직인 직선, 삼각형의 넓이 등 여러 개념을 종합적으로 증명하는 빈칸 추론 문제입니다.

접근법:
1. 문제의 논리적 흐름을 따라 각 빈칸을 채워나갑니다.
2. (가): 원과 직선 y=ax의 교점 A의 좌표를 연립방정식을 풀어 a에 대한 식으로 나타냅니다.
3. (나): 점 A를 지나고 y=ax에 수직인 직선의 방정식을 구합니다.
4. (다): S₁과 S₂를 각각 구한 뒤, 그 비율이 2가 되도록 하는 a값을 찾습니다.

주의할 점:
빈칸 추론 문제는 전체를 스스로 푸는 것이 아니라, 앞뒤 문맥을 통해 빈칸에 들어갈 논리적 연결고리나 계산 결과를 찾는 것입니다. 전체적인 증명 과정을 이해하는 데 초점을 맞추세요.

”

두 직선 대칭성과 접점의 관계

마플시너지공통수학2풀이해설0508고퀄리티 풀이영상제공0508 각의 이등분선과 접하는 원

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[문제 508] 핵심 개념 및 풀이 전략

여러 조건을 만족하는 원의 방정식을 찾고, 그 원과 특정 직선의 교점 사이의 거리(현의 길이)를 구하는 문제입니다.

접근법:
1. (가) 조건: 원이 원점을 지나므로, 원의 방정식에 (0,0)을 대입하여 a와 c의 관계를 찾습니다. (이 문제에서는 a²-9=0)
2. (나) 조건: 원이 직선 y=-2와 서로 다른 두 점에서 만나므로, 원의 중심과 이 직선 사이의 거리가 반지름보다 작아야 합니다. 이 조건을 이용해 가능한 a값을 확정합니다.
3. 원의 방정식이 완전히 결정되면, 이 원과 직선 y=-2의 교점을 찾습니다.
4. 두 교점의 좌표를 이용해 두 점 사이의 거리를 구합니다.

주의할 점:
여러 조건을 순서대로 적용하여 원의 방정식을 먼저 확정하는 것이 중요합니다. ‘만난다’, ‘접한다’, ‘만나지 않는다’의 조건을 명확히 구분해야 합니다.

”

각의 이등분선과 접하는 원

마플시너지공통수학2풀이해설0507고퀄리티 풀이영상제공0507 교점과 수직, 삼각형 넓이 증명

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[문제 507] 핵심 개념 및 풀이 전략

원과 직선이 한 점에서 만날(접할) 때의 상황을 해석하는 문제입니다.

접근법:
1. 원과 직선 AB가 점 P에서만 만나므로, 직선 AB는 원의 접선이고 P는 접점입니다.
2. (점 P 찾기) 점 P는 선분 AB를 2:1로 내분하는 점이므로, 내분점 공식을 이용해 P의 좌표를 구합니다.
3. (직선 AB 찾기) 두 점 A, B의 좌표를 이용해 직선 AB의 방정식을 구합니다.
4. (접선 조건 이용) 원의 중심 (a,b)와 접선 AB 사이의 거리는 반지름과 같습니다. 또한 중심 (a,b)에서 접점 P까지의 거리도 반지름입니다. 이 두 조건을 연립하여 a, b를 구합니다.

주의할 점:
‘한 점에서만 만난다’는 표현을 ‘접한다’로 해석하는 것이 중요합니다. 접선의 문제는 항상 중심, 접점, 반지름 사이의 기하학적 관계를 이용합니다.

”

교점과 수직, 삼각형 넓이 증명

마플시너지공통수학2풀이해설0506고퀄리티 풀이영상제공0506 내분점과 교점, 넓이의 증명

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[문제 506] 핵심 개념 및 풀이 전략

내분점과 중점의 자취가 그리는 도형의 길이를 구하는 문제입니다. 351번과 유사합니다.

접근법:
1. (1번 문제) 내분점 P를 (x,y), 원 위의 점 B를 (a,b)로 둡니다. 내분점 공식을 이용해 a,b를 x,y로 표현한 뒤, 원의 방정식에 대입하여 P의 자취(새로운 원)를 구합니다. 도형의 길이는 이 원의 둘레입니다.
2. (2번 문제) 중점 M을 (x,y), 원 위의 점 P를 (a,b)로 둡니다. 중점 공식을 이용해 a,b를 x,y로 표현한 뒤, 원의 방정식에 대입하여 M의 자취(새로운 원)를 구합니다. 도형의 길이는 이 원의 둘레입니다.

주의할 점:
내분점의 자취는 원래 원을 (n/(m+n)) 비율로 축소한 원이 되고, 중점의 자취는 반지름이 절반인 원이 됩니다. 이 성질을 이용하면 자취의 반지름을 빠르게 구할 수 있습니다.

”

내분점과 교점, 넓이의 증명

마플시너지공통수학2풀이해설0505고퀄리티 풀이영상제공0505 이차함수와 정사각형 조건

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[문제 505] 핵심 개념 및 풀이 전략

움직이는 점 A에 의해 결정되는 삼각형의 무게중심이 그리는 자취와, 그 자취(원) 위의 점과 직선 사이의 거리의 최대/최소를 묻는 문제입니다.

접근법:
1. 먼저 무게중심 G의 자취의 방정식을 구합니다. (352번 문제 참고) 이 자취는 반지름이 원래 원의 1/3로 축소되고 중심이 이동한 새로운 원이 됩니다.
2. 이제 문제는 ‘새로운 원 위의 점 P’와 ‘직선 x+y-2=0’ 사이의 거리의 최대/최소 문제로 바뀝니다.
3. 최댓값 M = (새로운 원의 중심과 직선 사이의 거리) + (새로운 원의 반지름)
4. 최솟값 m = (새로운 원의 중심과 직선 사이의 거리) – (새로운 원의 반지름)
5. M과 m을 곱하여 최종 답을 구합니다.

주의할 점:
자취의 방정식이 원이 된다는 점, 그리고 원과 직선 사이의 거리 최대/최소 공식을 정확히 알고 있어야 풀 수 있는 종합 문제입니다.

”

이차함수와 정사각형 조건