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[문제 510] 핵심 개념 및 풀이 전략

x축과 다른 직선에 동시에 접하는 원과 관련된 삼각형의 넓이를 이용하는 고난도 문제입니다.

접근법:
1. 원의 중심은 x축과 직선 y=mx가 이루는 각의 이등분선 위에 있습니다. 각의 이등분선의 방정식을 구합니다.
2. 원의 반지름이 2이고 중심이 1사분면에 있으므로, 중심의 y좌표는 2입니다. 이를 이용해 중심의 좌표를 확정합니다.
3. 점 P는 접점이므로 좌표를 구하고, 직선 PQ는 원의 중심을 지나는 수직선임을 이용해 Q의 좌표를 찾습니다.
4. 삼각형 ROP의 넓이가 16임을 이용해 점 R의 좌표를 구합니다.
5. 세 점 P, Q, R이 한 직선 위에 있음을 이용해 기울기가 같다는 식을 세워 m값을 구합니다.

주의할 점:
원이 두 직선에 접할 때, 중심은 각의 이등분선 위에 있다는 성질을 활용하는 것이 중요합니다. 여러 기하학적 관계를 종합적으로 사용해야 합니다.

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두 원 공통접선과 닮음