“
점의 평행이동 후, 그 점이 포물선(직선) 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 P(a, a²)을 주어진 규칙에 따라 평행이동한 점의 좌표를 구합니다.
2. 이 평행이동한 점이 직선 y=4x 위에 있으므로, 점의 좌표를 직선의 방정식에 대입합니다.
3. 대입하면 a에 대한 간단한 이차방정식이 만들어지며, 이를 풀어 a값을 구합니다.
주의할 점:
515번 문제와 구조가 동일하며, 점이 직선이 아닌 포물선에서 시작한다는 점만 다릅니다. ‘도형 위의 점’이라는 조건은 항상 ‘좌표를 대입하면 성립한다’로 해석하면 됩니다.
”
포물선 위의 점을 평행이동한 좌표
“
점의 평행이동 전후 좌표를 비교하여 이동한 거리를 찾는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 점 (-4,3)을 x축으로 a, y축으로 b만큼 평행이동한 점의 좌표는 (-4+a, 3+b) 입니다.
2. 이 점이 (1,5)와 같으므로, x좌표와 y좌표를 각각 비교하여 등식을 세웁니다.
3. -4+a = 1 에서 a값을, 3+b = 5 에서 b값을 구합니다.
주의할 점:
이동한 거리를 구할 때는 ‘나중 좌표 – 처음 좌표’로 계산해야 합니다. 부호에 주의하세요.
”
점의 평행이동 규칙 찾기
“
연속적인 평행이동으로 만들어진 세 점을 지나는 원의 중심이 주어졌을 때, 이동 거리를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 세 점 A, B, C의 좌표를 미지수 m, n을 이용해 나타냅니다. A(-2,1), B(-2+m,1), C(-2+m, 1+n).
2. 세 점의 위치 관계를 보면, 선분 AB는 x축에 평행하고, 선분 BC는 y축에 평행하므로 **각 ABC는 90도**입니다.
3. 따라서 세 점 A, B, C를 지나는 원은 **선분 AC를 지름**으로 하는 원입니다.
4. 원의 중심은 지름 AC의 중점입니다. A와 C의 좌표를 이용해 중점을 구하고, 이 중점이 주어진 중심 (3,2)와 같다고 놓고 m, n값을 구합니다.
주의할 점:
세 점의 위치 관계를 통해 직각삼각형임을 파악하고, 직각삼각형의 외심(원의 중심)은 빗변의 중점이라는 기하학적 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
연속 평행이동과 직각삼각형의 외심
“
두 가지 다른 평행이동을 여러 번 반복 시행했을 때의 최종 위치를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 평행이동 f는 x축 방향으로 -4/3만큼 이동하는 것이고, g는 y축 방향으로 3/5만큼 이동하는 것입니다.
2. f를 m번 시행하면 x좌표는 m * (-4/3) 만큼 변하고, g를 n번 시행하면 y좌표는 n * (3/5) 만큼 변합니다.
3. 처음 점 (1,2)에 이 변화량을 적용한 최종 좌표를 구합니다: (1 – (4/3)m, 2 + (3/5)n)
4. 이 최종 좌표가 (-11, 5)와 같다고 놓고, x좌표와 y좌표에 대한 방정식을 각각 세워 m, n값을 구합니다.
주의할 점:
반복적인 평행이동은 곱셈으로 간단하게 표현할 수 있음을 이해하는 것이 중요합니다.
”
반복적인 평행이동 후의 최종 좌표
“
두 도형의 대응하는 점을 통해 평행이동 규칙을 찾고, 이를 다른 점들에 적용하여 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 삼각형의 대응점인 A(-5,8)과 A'(4,10)을 비교하여, x축과 y축 방향으로 각각 얼마만큼 평행이동했는지 찾습니다.
2. 이 평행이동 규칙을 점 B(1,1)와 C(3,4)에 적용하여, 평행이동된 점 B’과 C’의 좌표를 구합니다.
3. 이제 두 점 B’, C’의 좌표를 모두 알았으므로, 이 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
4. 구한 직선의 방정식을 문제에서 주어진 형태와 비교하여 계수 a, b를 찾습니다.
주의할 점:
좌표를 읽을 때 부호를 실수하지 않도록 주의하고, 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 기본 계산을 정확히 해야 합니다.
”
평행이동 규칙으로 직선의 방정식 구하기
“
삼각형을 평행이동시켰을 때, 무게중심 또한 동일한 평행이동 규칙을 따른다는 성질을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (방법 1) 세 점 A,B,C를 각각 평행이동한 점 A’,B’,C’의 좌표를 구한 뒤, 이 세 점으로 무게중심을 구해 주어진 좌표와 비교합니다.
2. (방법 2 – 더 효율적) 먼저 원래 삼각형 ABC의 무게중심 G를 구합니다. 그 후, 이 무게중심 G를 x축으로 a, y축으로 b만큼 평행이동한 점 G’의 좌표를 구합니다. 이 점이 문제에서 주어진 무게중심 (4,8)과 일치해야 합니다.
주의할 점:
각 점을 이동시켜 무게중심을 구하는 것보다, 무게중심을 먼저 구하고 한 번만 이동시키는 것이 계산이 훨씬 간단하고 효율적입니다.
”
평행이동 후 삼각형의 무게중심
“
평행이동 후 두 점 사이의 거리와, 이동한 점과 직선 사이의 거리라는 두 가지 조건을 연립하는 문제입니다.
접근법:
1. (조건 1) 점 A(5,3)과 평행이동한 점 B(5+a, 3+b) 사이의 거리가 4라는 식을 세웁니다. (a²+b²=16)
2. (조건 2) 점 B와 직선 x+y-8=0 사이의 거리가 √2 라는 식을 세웁니다. (점과 직선 사이 거리 공식 이용)
3. 2단계에서 a+b의 값을 구할 수 있습니다.
4. 곱셈 공식의 변형 (a²+b² = (a+b)²-2ab)을 이용하여 1, 3단계에서 구한 값으로 ab의 값을 찾습니다.
주의할 점:
두 개의 조건을 각각 식으로 정확히 옮기는 것이 중요합니다. 특히 점과 직선 사이의 거리 공식에서 절댓값을 푸는 과정에 유의해야 합니다.
”
두 평행이동 조건과 점과 직선 사이 거리
“
점의 평행이동 후 원점으로부터의 거리가 변하는 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 처음 점 A(3,-4)와 원점 사이의 거리 OA를 구합니다.
2. 점 A를 평행이동한 점 A’의 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 점 A’과 원점 사이의 거리 OA’를 a에 대한 식으로 표현합니다.
4. 문제의 조건 ‘나중 거리가 처음 거리의 2배’ 즉, OA’ = 2 * OA 라는 등식을 세웁니다.
5. 계산의 편의를 위해 양변을 제곱하여 a에 대한 이차방정식을 풀고, 근과 계수의 관계를 이용해 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
거리 공식을 사용할 때 루트가 생기므로, 양변을 제곱하여 푸는 것이 계산 실수를 줄이는 방법입니다. 이차방정식이 나오므로 해가 여러 개일 수 있음을 인지해야 합니다.
”
평행이동 후 원점과의 거리 관계
“
두 점의 이동 전후 관계를 통해 평행이동의 규칙을 찾고, 그 규칙을 다른 점에 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A가 점 A’으로 어떻게 이동했는지 x, y좌표의 변화량을 각각 계산하여 평행이동 규칙(x축으로 α, y축으로 β만큼 이동)을 찾습니다.
2. 이 규칙을 점 B와 B’의 관계에 적용하여 미지수 a, b의 값을 구합니다.
3. 이제 평행이동 규칙(α, β)과 옮길 점(a,b)의 좌표를 모두 알았습니다.
4. 점 (a,b)에 평행이동 규칙을 적용하여 최종적으로 옮겨지는 점의 좌표 (p,q)를 구합니다.
주의할 점:
평행이동 규칙을 찾을 때는 ‘나중 좌표 – 처음 좌표’로 계산해야 합니다. A→A’과 B→B’은 동일한 평행이동 규칙을 따릅니다.
”
평행이동 규칙으로 다른 점의 좌표 찾기
“
점의 평행이동 후, 그 점이 특정 직선 위에 있을 조건을 이용하는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 점 (5, -3)을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 -1만큼 평행이동한 점의 좌표를 구합니다. (5+a, -4)
2. 점이 직선 위에 있다는 것은, 그 점의 좌표를 직선의 방정식에 대입하면 등식이 성립한다는 것을 의미합니다.
3. 1단계에서 구한 평행이동한 점의 좌표를 직선 x+2y-1=0 에 대입합니다.
4. 대입하여 얻은 a에 대한 간단한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
점의 평행이동은 이동한 만큼 좌표를 그대로 더해주면 됩니다. (x, y) → (x+a, y+b). 도형의 평행이동과 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.
”
평행이동한 점이 직선 위에 있을 조건
