“

[문제 506] 핵심 개념 및 풀이 전략

내분점과 중점의 자취가 그리는 도형의 길이를 구하는 문제입니다. 351번과 유사합니다.

접근법:
1. (1번 문제) 내분점 P를 (x,y), 원 위의 점 B를 (a,b)로 둡니다. 내분점 공식을 이용해 a,b를 x,y로 표현한 뒤, 원의 방정식에 대입하여 P의 자취(새로운 원)를 구합니다. 도형의 길이는 이 원의 둘레입니다.
2. (2번 문제) 중점 M을 (x,y), 원 위의 점 P를 (a,b)로 둡니다. 중점 공식을 이용해 a,b를 x,y로 표현한 뒤, 원의 방정식에 대입하여 M의 자취(새로운 원)를 구합니다. 도형의 길이는 이 원의 둘레입니다.

주의할 점:
내분점의 자취는 원래 원을 (n/(m+n)) 비율로 축소한 원이 되고, 중점의 자취는 반지름이 절반인 원이 됩니다. 이 성질을 이용하면 자취의 반지름을 빠르게 구할 수 있습니다.

”

내분점과 교점, 넓이의 증명