“
특정 조건을 만족하는 부분집합의 개수가 주어졌을 때, 원래 집합의 원소 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A는 k 이하의 자연수이므로, n(A)=k 입니다.
2. 부분집합이 2를 ‘반드시 포함’하고, 3, 5를 ‘포함하지 않아야’ 합니다.
3. 이 부분집합의 개수는 2^(k – 1 – 2) = 2^(k-3) 입니다.
4. 문제에서 이 개수가 64라고 주어졌으므로, 2^(k-3) = 64 = 2⁶ 이라는 등식을 세웁니다.
5. 지수를 비교하여 k-3 = 6 을 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
725번 문제의 역산 과정입니다. 부분집합 개수 공식을 정확히 이해하고 있어야 합니다.
”
특정 조건의 부분집합 개수와 미지수
“
특정한 원소를 반드시 포함하고, 특정한 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. A = {3, 4, 5, 6, 7}.
2. 부분집합이 3, 4를 ‘반드시 원소로 갖고’, 5를 ‘원소로 갖지 않아야’ 합니다.
3. 이는 3, 4, 5를 제외한 나머지 원소들, 즉 **{6, 7}**로 만들 수 있는 부분집합의 개수와 같습니다.
4. {6, 7}의 원소 개수는 2개이므로, 만들 수 있는 부분집합의 개수는 2² 입니다.
주의할 점:
특정 원소의 포함/불포함 조건이 있는 부분집합의 개수를 셀 때는, 전체 원소 개수에서 조건이 붙은 원소의 개수만큼을 빼서 지수에 넣으면 됩니다. (n(A) – (포함 원소 개수) – (불포함 원소 개수))
”
특정 원소 포함/불포함 부분집합 개수
“
여러 조건을 만족하는 부분집합의 원소의 합의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: 집합 B의 진부분집합 개수가 63개이므로, 2ⁿ⁽ᴮ⁾ – 1 = 63 입니다. 따라서 집합 B의 원소의 개수는 **p=6**개 입니다.
2. (나) 조건: 집합 B의 원소 중 가장 작은 원소는 19입니다.
3. (원소 합의 최솟값) 집합 B는 100보다 작은 홀수들의 부분집합입니다. 원소의 합 q가 최소가 되려면, 가장 작은 원소 19를 포함하여 **연속된 6개의 홀수**로 구성되어야 합니다.
4. 따라서 최소 합을 갖는 집합 B는 {19, 21, 23, 25, 27, 29} 이며, 이 원소들의 합 q를 구합니다.
주의할 점:
원소의 합이 최소가 되려면 가능한 한 작은 수들로 집합을 구성해야 한다는 점을 이용해야 합니다.
”
원소의 합이 최소가 되는 부분집합
“
한 집합의 부분집합 개수를 통해 원소 개수를 찾고, 이를 이용해 다른 집합의 진부분집합 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A의 부분집합의 개수가 16개이므로, 2ⁿ⁽ᴬ⁾ = 16 입니다. 따라서 **n(A)=4** 입니다.
2. n(A)+n(B)=10 이라는 식에 n(A)=4를 대입하여 **n(B)=6** 임을 구합니다.
3. 집합 B의 원소의 개수가 6개이므로, 진부분집합의 개수는 **2⁶ – 1** 입니다.
주의할 점:
원소의 개수, 부분집합의 개수, 진부분집합의 개수 사이의 관계(n, 2ⁿ, 2ⁿ-1)를 정확히 알고 있어야 합니다.
”
부분집합 개수로 다른 집합 정보 추론
“
특정 조건을 만족하는 부분집합의 개수를 각각 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (홀수 부분집합) 집합 A의 원소 중 홀수는 {1, 3, 5, 7, 9}로 5개입니다. 이 5개의 원소로만 만들 수 있는 공집합이 아닌 부분집합의 개수는 **2⁵ – 1** 입니다.
2. (짝수 부분집합) 집합 A의 원소 중 짝수는 {2, 4, 6, 8}로 4개입니다. 이 4개의 원소로만 만들 수 있는 공집합이 아닌 부분집합의 개수는 **2⁴ – 1** 입니다.
3. 각각의 값을 계산하여 a, b를 구하고 더합니다.
주의할 점:
‘공집합이 아닌 부분집합’을 묻고 있으므로, 전체 부분집합의 개수에서 1을 빼주는 것을 잊지 말아야 합니다.
”
특정 조건을 만족하는 부분집합의 개수
“
방정식의 해로 정의된 집합을 이용해 새로운 집합을 만들고, 그 집합의 부분집합의 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 A 구하기) 먼저 삼차방정식 x³-2x²-x+2=0을 인수분해하여 해를 구합니다. A = {-1, 1, 2}.
2. (집합 B 구하기) 집합 A의 원소 a, b를 더한 모든 결과를 나열하여 집합 B를 구합니다. B = {-2, 0, 1, 2, 3, 4}.
3. (부분집합 개수) 집합 B의 원소의 개수는 6개입니다.
4. 따라서 집합 B의 부분집합의 개수는 2⁶ 입니다.
주의할 점:
집합 B를 구할 때, a와 b가 같은 원소인 경우(-1)+(-1)=-2 등)와 다른 원소인 경우를 모두 고려해야 합니다.
”
새로운 집합의 부분집합 개수 구하기
“
진부분집합의 개수를 구하고, 주어진 값과 다른 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 진부분집합의 개수가 31개라는 것은, **2ⁿ – 1 = 31** 이라는 의미입니다. 즉, 2ⁿ=32 이므로, 원래 집합의 원소의 개수 n은 5개입니다.
2. 각 보기의 집합을 원소나열법으로 나타내고, **원소의 개수가 5가 아닌 것**을 찾으면 됩니다.
3. ⑤번의 경우, {1, 3, 5, 7} 이므로 원소의 개수가 4개입니다. 따라서 진부분집합의 개수는 2⁴-1 = 15개가 되어 31이 아닙니다.
주의할 점:
부분집합의 개수(2ⁿ)와 진부분집합의 개수(2ⁿ-1)를 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
진부분집합 개수로 원소의 개수 찾기
“
부분집합의 개수를 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. |x-2|2. 집합 A의 원소의 개수는 5개입니다.
3. 원소의 개수가 n개인 집합의 부분집합의 개수는 **2ⁿ** 개입니다.
4. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 2⁵ 입니다.
주의할 점:
주어진 조건(부등식, x는 정수)을 정확히 해석하여 집합의 원소 개수를 올바르게 구하는 것이 첫 단계입니다.
”
부분집합의 개수(2ⁿ) 구하기
“
진부분집합의 모든 원소의 합(S(X))의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
2. 집합 X는 A의 진부분집합입니다.
3. 원소의 합 S(X)가 최대가 되려면, X는 가능한 한 많은 원소를 가져야 하며, 그 원소들의 값이 커야 합니다.
4. 합이 가장 큰 부분집합은 A 자기 자신입니다. 하지만 X는 진부분집합이므로 자기 자신은 될 수 없습니다.
5. 따라서, 합이 최대가 되는 진부분집합은 A에서 **가장 작은 원소 하나를 제외한** 부분집합입니다.
6. A의 모든 원소의 합에서 가장 작은 원소인 2를 뺀 값이 S(X)의 최댓값이 됩니다.
주의할 점:
진부분집합의 의미를 정확히 파악하고, 합이 최대가 되기 위한 조건을 논리적으로 추론해야 합니다.
”
진부분집합 원소의 합의 최댓값
“
특정 조건을 만족하는 부분집합의 개수를 세는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. 0 2. 이제 집합 A={2, 3, 5, 7}의 부분집합 중에서, n(X)=2, 즉 **원소의 개수가 2개**인 부분집합을 모두 찾으면 됩니다.
3. 4개의 원소 중에서 2개를 뽑는 조합의 수와 같습니다. (₄C₂)
4. 경우의 수를 계산하거나, 직접 {2,3}, {2,5}, {2,7}, {3,5}, {3,7}, {5,7} 과 같이 나열하여 개수를 셉니다.
주의할 점:
부분집합의 개수를 묻는 문제에서 원소의 개수에 대한 조건이 주어지면, 조합(Combination)의 개념을 활용하면 편리합니다.
”
원소 개수가 정해진 부분집합의 개수
