“
벤 다이어그램으로 주어진 집합에 대해, A ⊂ X ⊂ B와 추가 조건을 만족하는 집합 X의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 벤 다이어그램을 보고 A와 B를 원소나열법으로 나타냅니다.
– A = {1, 2, 3, 4}
– B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
2. 집합 X는 B의 부분집합이면서, {1,2,3,4}를 **반드시 포함**해야 합니다.
3. 추가 조건으로, X는 5를 **원소로 갖지 않아야** 합니다.
4. 따라서 집합 X의 개수는, B의 원소 중 {1,2,3,4}와 {5}를 제외한 나머지 원소 **{6, 7}**로 만들 수 있는 부분집합의 개수와 같습니다. (2²)
주의할 점:
여러 조건이 붙을 때마다, 전체 집합에서 조건에 해당하는 원소들을 하나씩 제외하고 남은 원소들로 부분집합을 만든다고 생각하면 됩니다.
”
벤 다이어그램과 A⊂X⊂B, 추가 조건의 이해
“
A ⊂ X ⊂ B를 만족하는 집합 X의 개수를 구하는 가장 기본적인 유형입니다.
접근법:
1. 세 집합 A, B, X를 모두 원소나열법으로 나타냅니다.
– A = {2, 3}
– B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
2. 집합 X는 B의 부분집합이면서, A의 모든 원소(2, 3)를 **반드시 포함**해야 합니다.
3. 따라서 집합 X의 개수는, B의 원소 중 2와 3을 제외한 나머지 원소들 **{1, 6, 9, 18}** 로 만들 수 있는 부분집합의 개수와 같습니다.
4. {1, 6, 9, 18}의 원소 개수는 4개이므로, 구하는 집합 X의 개수는 2⁴ 입니다.
주의할 점:
A⊂X⊂B를 만족하는 X의 개수는 2^(n(B)-n(A)) 공식으로 빠르게 구할 수 있습니다. (단, A⊂B가 전제되어야 함)
”
A⊂X⊂B를 만족하는 집합 X의 개수 구하기
“
최소 원소를 기준으로 정의된 함수에 대한 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. 함수 f(n)은 집합 X={1, …, 10}의 부분집합 중, n을 최소 원소로 갖는 집합의 개수입니다.
2. 이는 n을 **반드시 포함**하고, 1, 2, …, n-1은 **포함하지 않는** 부분집합의 개수와 같습니다.
3. 따라서 **f(n) = 2^(10 – n)** 이라는 일반식을 세울 수 있습니다.
4. 이 일반식을 이용해 각 보기의 참/거짓을 판별합니다.
주의할 점:
문제의 정의를 일반적인 함수식으로 변환하면, 각 보기의 내용을 쉽게 확인할 수 있습니다.
”
최소 원소가 정해진 부분집합의 개수 판별하기
“
원소의 곱이 6의 배수가 되는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 731번과 유사합니다.
접근법:
곱이 6의 배수가 되려면, **2의 배수와 3의 배수를 적어도 하나씩** 포함해야 합니다.
1. A={3,4,5,6,7}. 2의 배수 관련 원소는 {4,6}, 3의 배수 관련 원소는 {3,6} 입니다.
2. (경우 1: 6을 포함) 6이 포함되면 곱은 항상 6의 배수입니다. 6을 반드시 포함하는 부분집합의 개수는 2^(5-1)=16개. 이 중 n(X)≥2를 만족하지 않는 {6}을 제외하면 15개.
3. (경우 2: 6을 미포함, 3과 4를 포함) 3과 4를 반드시 포함하고 6은 포함하지 않는 부분집합의 개수는 2^(5-1-1-1)=4개. 이들은 모두 n(X)≥2를 만족.
4. 두 경우의 수를 더합니다.
주의할 점:
6은 2의 배수이자 3의 배수이므로, 6의 포함 여부를 기준으로 경우를 나누는 것이 효율적입니다.
”
곱이 6의 배수가 되는 부분집합의 개수 찾기
“
원소의 합이 홀수가 되는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
원소의 합이 홀수가 되려면, 부분집합에 포함된 **홀수의 개수가 홀수 개**여야 합니다.
1. 집합 A의 홀수는 {1, 3, 5, 7} (4개), 짝수는 {2, 4, 6} (3개) 입니다.
2. (경우 1: 홀수 1개 포함) 4개의 홀수 중 1개를 선택하고(₄C₁), 3개의 짝수로는 임의의 부분집합을 만듭니다. (₄C₁ × 2³)
3. (경우 2: 홀수 3개 포함) 4개의 홀수 중 3개를 선택하고(₄C₃), 3개의 짝수로는 임의의 부분집합을 만듭니다. (₄C₃ × 2³)
4. 두 경우의 수를 더하고, n(X)≥2 조건을 만족하지 않는 경우({1},{3},{5},{7}) 4개를 제외합니다.
주의할 점:
짝수는 합에 아무리 더해도 홀/짝 여부에 영향을 주지 않습니다. 합의 홀/짝은 오직 홀수의 개수에 의해서만 결정됩니다.
”
원소의 합이 홀수가 되는 부분집합의 개수 구하기
“
원소의 곱이 6의 배수가 되는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 여사건의 원리를 이용하는 것이 편리합니다.
접근법:
1. 전체 경우: 6을 포함하지 않는 U의 부분집합 중 공집합이 아닌 것의 개수를 구합니다.
2. **(여사건)** ‘곱이 6의 배수’의 반대는 ‘곱이 6의 배수가 아닌 경우’ 입니다. 6은 포함하지 않으므로, 이는 **(2의 배수를 포함하지 않음) 또는 (3의 배수를 포함하지 않음)**을 의미합니다.
3. 6을 제외한 원소는 {1,2,3,4,5,7,8,9} 입니다. 이 중 2의 배수는 {2,4,8}, 3의 배수는 {3,9} 입니다.
4. (전체) – (2의 배수가 없는 경우) – (3의 배수가 없는 경우) + (2와 3의 배수 모두 없는 경우)를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
‘적어도 ~이다’ 또는 ‘~의 배수이다’와 같은 조건은 여사건을 활용하면 계산이 더 간단해지는 경우가 많습니다.
”
곱이 6의 배수가 되는 부분집합
“
특정 조건을 만족하는 부분집합의 개수를 구하는 문제입니다. 조합(Combination)의 개념을 활용하면 편리합니다.
접근법:
1. 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}.
2. A의 부분집합이 **’두 개의 홀수’를 원소로** 가져야 합니다.
3. A의 원소 중 홀수는 {3, 5, 7}로 3개, 짝수는 {2, 4, 6}으로 3개입니다.
4. (홀수 선택) 3개의 홀수 중 2개를 반드시 포함해야 합니다. (₃C₂ = 3가지 경우)
5. (짝수 선택) 나머지 짝수 3개는 포함해도 되고 안해도 됩니다. 따라서 짝수로 만들 수 있는 부분집합의 개수는 2³ = 8개 입니다.
6. 따라서 구하는 부분집합의 개수는 (홀수 선택 경우의 수) × (짝수 선택 경우의 수) = 3 × 8 = 24 입니다.
주의할 점:
원소의 성질(홀수, 짝수)에 따라 그룹을 나누고, 각 그룹에서 조건을 만족하는 경우의 수를 구해 곱하는 방식으로 해결합니다.
”
두 개의 홀수를 원소로 갖는 부분집합
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부분집합의 최소 원소와 최대 원소가 정해진 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (최소 원소 조건) 집합 X의 원소 중 가장 작은 값이 3이므로, X는 3을 **반드시 포함**하고, 3보다 작은 원소인 0, 1, 2는 **포함하지 않아야** 합니다.
2. (최대 원소 조건) 집합 X의 원소 중 가장 큰 값이 7이므로, X는 7을 **반드시 포함**하고, 7보다 큰 원소인 8은 **포함하지 않아야** 합니다.
3. 결국, 집합 X는 전체집합 U={0, …, 8}의 부분집합 중에서, {0,1,2,8}은 제외하고 {3,7}은 반드시 포함하는 부분집합입니다.
4. 나머지 원소 {4, 5, 6}으로 만들 수 있는 부분집합의 개수와 같습니다. (2³)
주의할 점:
최소/최대 원소 조건은 특정 원소의 포함/불포함 조건을 동시에 알려주는 것입니다.
”
최소/최대 원소가 정해진 부분집합
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여러 조건을 만족하는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (나) 조건: B는 A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}의 부분집합입니다.
2. (다) 조건: 집합 B의 모든 원소 x는 3 이상이어야 합니다. 이는 B의 원소가 1 또는 2가 될 수 없음을 의미합니다.
3. 따라서, 집합 B는 **{3, 4, 5, 6, 7}**의 부분집합이어야 합니다.
4. (가) 조건: B는 공집합이 아니어야 합니다.
5. 결국, {3, 4, 5, 6, 7}의 부분집합의 개수(2⁵)에서 공집합 1개를 제외하면 됩니다.
주의할 점:
여러 조건을 종합하여, 결국 집합 B가 어떤 집합의 부분집합인지를 먼저 확정하는 것이 중요합니다.
”
특정 조건을 만족하는 부분집합의 개수
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여러 조건을 만족하는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 진부분집합의 개념이 포함되어 있습니다.
접근법:
1. 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. A = {2, 3, 4, 5}.
2. 집합 X는 A의 부분집합 중 3, 4를 반드시 원소로 가져야 합니다.
3. 일단, 3과 4를 반드시 포함하는 A의 부분집합의 개수는 2^(4-2) = 4개 입니다.
4. 그런데 X≠A 라는 조건, 즉 X는 A의 **진부분집합**이라는 조건이 있습니다.
5. 3단계에서 구한 4개의 부분집합 중에, A 자기 자신이 포함되어 있는지 확인합니다. ({3,4,2,5}는 A 자신입니다.)
6. 따라서 A 자신을 제외해야 하므로, 구하는 집합 X의 개수는 4 – 1 = 3개 입니다.
주의할 점:
X≠A 와 같은 추가 조건이 있을 때는, 기본 공식으로 개수를 구한 뒤에 조건에 맞지 않는 경우를 제외해주어야 합니다.
”
진부분집합과 특정 원소 포함 조건
