“
부분집합의 가장 큰 원소에 대한 조건을 만족하는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. M(X)≥6 이라는 것은, 집합 X의 가장 큰 원소가 6 또는 7 또는 8 이라는 의미입니다.
2. 이는 집합 X가 **6, 7, 8 중 적어도 하나의 원소를 포함**해야 함을 의미합니다.
3. 이 조건의 여사건은 ‘6, 7, 8을 모두 포함하지 않는’ 경우입니다.
4. (전체 경우) 집합 A의 모든 부분집합의 개수를 구합니다. (2⁸)
5. (여사건의 경우) {6,7,8}을 제외한 나머지 원소 {1,2,3,4,5}로 만들 수 있는 부분집합의 개수를 구합니다. (2⁵)
6. (전체 개수) – (여사건의 개수)를 계산합니다.
주의할 점:
주어진 조건을 ‘적어도 하나를 포함’하는 조건으로 재해석하고, 여사건을 활용하는 것이 효율적입니다.
”
가장 큰 원소에 대한 조건을 만족하는 집합 찾기
“
적어도 하나의 특정 원소를 포함하는 진부분집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘홀수 또는 소수’를 적어도 하나 포함해야 합니다. 이 조건의 여사건은 ‘홀수도 아니고 소수도 아닌’ 원소들로만 이루어진 부분집합입니다.
2. 집합 A에서 홀수와 소수를 모두 제외한 원소를 찾습니다. {4, 6}
3. (전체 진부분집합 개수) 2⁷ – 1 = 127 개.
4. (여사건의 경우) {4, 6}으로 만들 수 있는 부분집합의 개수는 2²=4개 입니다. 이들은 모두 진부분집합입니다.
5. (전체 진부분집합 개수) – (여사건의 개수)를 계산합니다.
주의할 점:
진부분집합 조건이 있으므로, 전체 경우의 수를 계산할 때 미리 1을 빼고 시작하는 것이 편리합니다.
”
적어도 하나의 특정 원소를 갖는 진부분집합
“
A 또는 B를 원소로 갖는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 여사건 또는 포함-배제 원리를 이용합니다.
접근법:
1. (여사건 풀이) ‘2 또는 5를 원소로 갖는다’의 반대는 ‘2와 5를 모두 원소로 갖지 않는다’ 입니다.
2. (전체 경우) 집합 A의 모든 부분집합의 개수를 구합니다.
3. (여사건의 경우) 2와 5를 모두 제외한 나머지 원소들로 만들 수 있는 부분집합의 개수를 구합니다.
4. (전체 개수) – (여사건의 개수)를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) 처럼, (2를 포함하는 개수) + (5를 포함하는 개수) – (2와 5를 모두 포함하는 개수)로도 계산할 수 있습니다.
”
2 또는 5를 원소로 갖는 부분집합의 개수
“
적어도 한 개의 홀수를 원소로 갖는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 742번과 동일한 여사건 문제입니다.
접근법:
1. 여사건은 ‘부분집합의 모든 원소가 짝수’인 경우입니다.
2. (전체 경우) 집합 A를 원소나열법으로 나타내고, 모든 부분집합의 개수를 구합니다.
3. (여사건의 경우) 집합 A의 짝수 원소들로만 만들 수 있는 부분집합의 개수를 구합니다.
4. (전체 개수) – (여사건의 개수)를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
여사건을 생각할 때, 어떤 원소들을 기준으로 부분집합을 만들어야 하는지 정확히 파악해야 합니다.
”
적어도 한 개의 홀수를 갖는 부분집합의 개수
“
원소의 곱이 짝수인 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 여사건의 원리를 이용하는 것이 편리합니다.
접근법:
1. ‘원소의 곱이 짝수’가 되려면, 부분집합에 **짝수가 적어도 하나** 포함되어야 합니다.
2. 이 조건의 여사건은 ‘부분집합의 모든 원소가 홀수’인 경우입니다.
3. (전체 경우) 집합 A의 모든 부분집합의 개수를 구합니다.
4. (여사건의 경우) 집합 A의 홀수 원소 {1, 3, 5}로만 만들 수 있는 부분집합의 개수를 구합니다.
5. (전체 개수) – (여사건의 개수)를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
‘적어도 하나는 ~이다’ 라는 조건이 나오면, 전체 경우에서 반대되는 경우를 빼는 여사건 풀이법을 우선적으로 고려하는 것이 좋습니다.
”
원소의 곱이 짝수인 부분집합의 개수 찾기
“
A ⊂ X ⊂ B를 만족하는 집합 X의 개수를 구하는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 세 집합 A, B, X를 모두 원소나열법으로 나타냅니다.
– A = {1, 2, 4}
– B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
2. 집합 X는 B의 부분집합이면서, A의 모든 원소(1, 2, 4)를 **반드시 포함**해야 합니다.
3. 따라서 집합 X의 개수는, B의 원소 중 {1,2,4}를 제외한 나머지 원소들 **{3, 6, 12}** 로 만들 수 있는 부분집합의 개수와 같습니다.
4. {3, 6, 12}의 원소 개수는 3개이므로, 구하는 집합 X의 개수는 2³ 입니다.
주의할 점:
A⊂X⊂B를 만족하는 X의 개수는 2^(n(B)-n(A)) 공식으로 빠르게 구할 수 있습니다.
”
전체집합의 부분집합 사이의 포함 관계 이해
“
A ⊂ X ⊂ B와 함께 원소의 개수에 대한 추가 조건이 있는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A, B를 원소나열법으로 나타냅니다.
– A = {1, 3}
– B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
2. 집합 X는 {1,3}을 반드시 포함하고, {2,4,6,12}의 원소들을 추가로 가질 수 있습니다.
3. (나) 조건: n(X)≥4 이므로, X는 {2,4,6,12}의 원소 중 **적어도 2개**를 더 가져와야 합니다. (기본 원소 2개 + 추가 원소 2개 이상)
4. {2,4,6,12}의 부분집합 중에서 원소의 개수가 2개 이상인 것의 개수를 셉니다. (전체 부분집합 개수 – 공집합 개수 – 원소 1개인 부분집합 개수)
주의할 점:
원소 개수에 대한 조건은 조합(Combination)을 이용하여 경우를 나누어 풀 수도 있습니다.
”
원소 개수 조건이 추가된 A⊂X⊂B 찾기
“
복잡한 방정식의 해를 원소로 하는 집합 사이의 포함 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 A 구하기) 주어진 방정식을 풀기 위해 x²-5x를 X로 치환합니다. X에 대한 이차방정식을 풀어 X값을 찾고, 다시 x²-5x=X를 풀어 집합 A의 원소를 모두 구합니다.
2. (집합 B 구하기) B는 36의 양의 약수 집합입니다.
3. (집합 X 개수 구하기) A⊂X⊂B를 만족하는 집합 X는, B의 부분집합 중 A의 모든 원소를 반드시 포함하는 집합입니다. 부분집합 개수 공식을 이용해 답을 구합니다.
주의할 점:
치환을 이용한 고차방정식 풀이를 정확하게 할 수 있어야 집합 A를 올바르게 구할 수 있습니다.
”
치환을 이용한 방정식의 해와 부분집합 관계
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두 집합의 포함 관계와 진부분집합의 개수를 이용해 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A, B를 원소나열법으로 나타냅니다.
– A = {k이하의 자연수} → n(A)=k
– B = {1, 2, 4, 8}
2. B⊂X⊂A를 만족하는 집합 X의 개수는 2^(n(A) – n(B)) = 2^(k-4) 입니다.
3. 문제에서 X≠A라는 조건이 추가되었습니다. 이는 ‘진부분집합’을 의미하는 것이 아니라, 단순히 X=A인 경우 하나만 제외하라는 의미입니다.
4. 따라서, 조건을 만족하는 X의 개수는 (2^(k-4)) – 1 입니다.
5. 이 개수가 63이라고 했으므로, (2^(k-4)) – 1 = 63 이라는 방정식을 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
문제의 ‘X≠A’라는 표현이 진부분집합 전체를 의미하는 것이 아니라, 여러 X 중 A와 같은 경우 하나만 제외하라는 뜻임을 정확히 해석해야 합니다.
”
B⊂X⊂A이고 X≠A인 집합 X의 개수 찾기
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A ⊂ X ⊂ B와 함께, X가 A나 B와는 같지 않다는 조건을 만족하는 집합 X의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 A⊂X⊂B를 만족하는 집합 X의 개수를 구합니다. (735번 참고)
2. 이 개수에는 X=A인 경우와 X=B인 경우가 모두 포함되어 있습니다.
3. 문제에서 X≠A, X≠B 라는 조건을 주었으므로, 1단계에서 구한 전체 개수에서 **2개**를 빼주면 됩니다.
주의할 점:
X=A와 X=B는 A⊂X⊂B를 만족하는 경우 중 하나이므로, 마지막에 제외해주어야 합니다.
”
A⊂X⊂B에서 진부분집합 X의 개수 구하기
