“
755번 문제와 동일한 원리를 적용하지만, 원소의 개수에 대한 조건이 추가된 문제입니다.
접근법:
1. 원소가 될 수 있는 자연수는 20의 양의 약수입니다. {1, 2, 4, 5, 10, 20}
2. 규칙에 따라 짝지어지는 원소 묶음을 찾습니다. {1,20}, {2,10}, {4,5}
3. (a₂) 원소의 개수가 2개인 집합 A는, 3개의 묶음 중 1개를 선택하는 경우와 같습니다. (₃C₁ = 3개)
4. (a₄) 원소의 개수가 4개인 집합 A는, 3개의 묶음 중 2개를 선택하는 경우와 같습니다. (₃C₂ = 3개)
5. a₂와 a₄의 값을 더합니다.
주의할 점:
원소의 개수에 대한 조건이 주어지면, 전체 묶음 중에서 몇 개의 묶음을 선택할 것인지 조합(Combination)의 개념으로 접근하면 편리합니다.
”
원소 개수 조건이 있는 특별한 규칙의 집합
“
754번 문제와 완전히 동일한 유형입니다. 규칙이 (x ∈ A 이면 16/x ∈ A)으로 바뀌었습니다.
접근법:
1. 원소가 될 수 있는 자연수 x는 16의 양의 약수여야 합니다. {1, 2, 4, 8, 16}
2. 규칙에 따라 짝지어지는 원소 묶음을 찾습니다.
– {1, 16}
– {2, 8}
– {4} (4가 들어가면 16/4=4 이므로 혼자 가능)
3. 이 3개의 묶음으로 만들 수 있는 부분집합의 개수를 구합니다. (2³)
4. 공집합이 아닌 집합을 묻고 있으므로 1개를 빼줍니다.
주의할 점:
짝지어지는 규칙이 덧셈이든 곱셈이든, ‘묶음’을 하나의 원소처럼 취급하여 부분집합의 개수를 세는 원리는 동일합니다.
”
원소 사이에 곱셈 규칙이 있는 집합의 개수
“
753번 문제와 유사하게, 원소 사이에 특별한 규칙 (x ∈ A 이면 8-x ∈ A)을 만족하는 집합의 개수를 세는 문제입니다.
접근법:
1. 원소가 될 수 있는 자연수는 1 ≤ x ≤ 7 입니다.
2. 규칙에 따라 원소들은 {1,7}, {2,6}, {3,5} 와 같이 쌍으로 존재하거나, {4} 처럼 혼자 존재할 수 있습니다.
3. 이 규칙을 만족하는 집합 A는, 이 짝지어진 묶음들({1,7}, {2,6}, {3,5}, {4})을 원소로 하는 새로운 집합의 부분집합과 같습니다.
4. 묶음의 개수가 4개이므로, 이들로 만들 수 있는 부분집합의 개수는 2⁴개 입니다.
5. 문제에서 공집합이 아닌 집합 A를 구하라고 했으므로, 공집합 1개를 제외한 2⁴-1 개가 답이 됩니다.
주의할 점:
개별 원소가 아닌 ‘원소 쌍’ 또는 ‘묶음’을 하나의 단위로 보고 부분집합의 개수를 세는 것이 이 유형의 핵심 아이디어입니다.
”
원소 사이에 특별한 규칙이 있는 집합의 개수
“
진부분집합의 개수와, 원소들 사이에 특별한 규칙 (x ∈ B 이면 10-x ∈ B)이 있는 집합을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: 집합 B의 진부분집합 개수가 7개이므로, 2ⁿ⁽ᴮ⁾ – 1 = 7 입니다. 따라서 집합 B의 원소의 개수는 **3개**입니다.
2. (나) 조건: 이 규칙은 원소들이 쌍으로 존재해야 함을 의미합니다. (1이 있으면 9도 있어야 하고, 2가 있으면 8도 있어야 함. 단, 5는 10-5=5이므로 혼자 존재 가능)
3. 원소 개수가 3개이면서 이 규칙을 만족하려면, 반드시 **{5}**를 포함하고, **서로 짝이 되는 두 원소 {a, 10-a}**를 포함해야 합니다.
4. 따라서 집합 B는 {5, a, 10-a} 형태입니다. 모든 원소의 합은 항상 15가 됩니다.
주의할 점:
x와 10-x가 짝을 이룬다는 규칙을 파악하고, 원소의 개수 조건(홀수 개)을 만족하려면 자기 자신과 짝이 되는 원소(5)가 반드시 포함되어야 함을 추론하는 것이 핵심입니다.
”
원소 사이에 특별한 규칙이 있는 집합 찾기
“
원소의 개수와 특정 원소의 포함 조건이 결합된 부분집합의 개수를 찾는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. (전체 경우) 집합 A(원소 10개)의 부분집합 중 원소의 개수가 5개인 것의 개수를 구합니다. (₁₀C₅)
2. (여사건) ‘6의 약수를 적어도 2개 이상 포함’의 반대는 ‘(1) 6의 약수를 하나도 포함하지 않거나’, ‘(2) 6의 약수를 1개만 포함하는’ 경우입니다.
3. 6의 약수는 {1, 2, 3, 6} (4개), 그 외 원소는 6개입니다.
4. (여사건 1) 6의 약수 4개를 제외한 나머지 6개 원소 중에서 5개를 뽑는 경우의 수를 구합니다. (₆C₅)
5. (여사건 2) 6의 약수 4개 중 1개를 뽑고, 나머지 6개 원소 중에서 4개를 뽑는 경우의 수를 구합니다. (₄C₁ × ₆C₄)
6. (전체 경우) – (여사건 1 + 여사건 2)를 계산합니다.
주의할 점:
여러 조건을 만족하는 경우의 수를 셀 때는 조합과 여사건의 원리를 적절히 활용해야 합니다.
”
원소 개수와 약수 포함 조건의 부분집합 찾기
“
원소의 개수가 3개이고 적어도 한 개의 짝수를 원소로 갖는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 여사건의 원리를 이용합니다.
접근법:
1. (전체 경우) 먼저 집합 A의 원소 8개 중에서 3개를 뽑는 모든 경우의 수를 구합니다. (₈C₃)
2. (여사건) ‘적어도 한 개의 짝수’의 반대는 ‘모든 원소가 홀수’인 경우입니다.
3. 집합 A의 홀수 원소 {1, 3, 5, 7} 4개 중에서 3개를 뽑는 경우의 수를 구합니다. (₄C₃)
4. (전체 경우의 수) – (여사건의 경우의 수)를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
원소의 개수가 특정 값으로 고정된 부분집합의 개수는 조합(Combination)을 이용하여 계산합니다. ‘적어도’라는 표현은 여사건 풀이법을 사용하라는 강력한 힌트입니다.
”
적어도 한 개의 짝수를 갖는 부분집합의 개수
“
교집합의 원소 개수가 정해진 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 조합을 이용합니다.
접근법:
1. (가) 조건: n(A∩B)=2. 이는 집합 B가 A={1,2,3,4}의 원소 중 **정확히 2개**를 포함해야 함을 의미합니다.
2. (A에서 원소 선택) 먼저 A의 원소 4개 중에서 B에 포함될 2개를 선택하는 경우의 수를 구합니다. (₄C₂)
3. (나머지 원소 선택) B는 {1,2,3,4,5,6,7}의 부분집합입니다. 1,2,3,4를 제외한 나머지 {5,6,7}의 원소들은 B에 포함되어도 되고 안되어도 됩니다.
4. 따라서, {5,6,7}로 만들 수 있는 부분집합의 개수를 구합니다. (2³)
5. 최종적으로 (A에서 선택하는 경우의 수) × (나머지에서 선택하는 경우의 수) 를 계산합니다.
주의할 점:
집합 B를 구성할 때, A의 원소 중에서 어떤 것을 포함할지, 그리고 A에 없는 원소 중에서 어떤 것을 포함할지를 나누어 생각해야 합니다.
”
교집합 원소 개수가 정해진 부분집합의 개수
“
홀수 3개와 짝수 2개 이상을 원소로 갖는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 조합(Combination)을 이용합니다.
접근법:
1. (홀수 선택) 전체 집합의 홀수 {1,3,5,7,9} 5개 중에서 3개를 선택하는 경우의 수를 구합니다. (₅C₃)
2. (짝수 선택) 전체 집합의 짝수 {2,4,6,8} 4개 중에서 2개 이상을 선택하는 경우의 수를 구합니다. (₄C₂ + ₄C₃ + ₄C₄)
3. 두 경우의 수는 서로 독립적이므로, 두 결과를 **곱하여** 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
각 조건을 만족하는 원소를 뽑는 경우의 수를 각각 구한 뒤, 이를 곱의 법칙으로 연결해야 합니다.
”
홀수, 짝수 개수가 정해진 부분집합의 개수
“
홀수인 원소가 한 개 이상 속해 있는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 여사건을 이용합니다.
접근법:
1. 여사건은 ‘홀수 원소를 하나도 포함하지 않는’, 즉 ‘모든 원소가 짝수’인 부분집합입니다.
2. (전체 경우) 집합 A의 모든 부분집합의 개수를 구합니다.
3. (여사건의 경우) 집합 A의 짝수 원소 {2, 4}로만 만들 수 있는 부분집합의 개수를 구합니다.
4. (전체 개수) – (여사건의 개수)를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
‘적어도 하나’ 또는 ‘~이상’ 이라는 표현은 여사건을 활용하라는 강력한 힌트입니다.
”
홀수 원소가 한 개 이상인 부분집합의 개수
“
두 집합의 교집합과 포함 관계를 만족하는 집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 집합 A, B를 원소나열법으로 나타냅니다.
2. (X ⊂ A 조건) X는 A={2,3,5,7}의 부분집합입니다.
3. (X ∩ B = ∅ 조건) X는 B={1,2,3,6}의 원소를 가지면 안됩니다. A와 B의 공통 원소는 {2,3}이므로, X는 **2와 3을 포함해서는 안됩니다.**
4. 결국, 집합 X는 A의 부분집합 중에서 2와 3을 원소로 갖지 않는 부분집합입니다.
5. 따라서 A의 원소 {5, 7}로 만들 수 있는 부분집합의 개수를 구하면 됩니다.
주의할 점:
X∩B=∅ 라는 조건을 ‘X는 B의 원소를 포함하지 않는다’로 해석해야 합니다. 특히 A와 B에 공통으로 있는 원소들을 X가 가지면 안된다는 점이 중요합니다.
”
교집합과 포함 관계를 만족하는 집합의 개수
