마플시너지공통수학2풀이해설0767고퀄리티 풀이영상제공0767 각 부분집합의 최소 원소들의 총합(분수)

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[문제 767] 핵심 개념 및 풀이 전략

766번 문제와 동일한 유형으로, 각 부분집합의 가장 작은 원소들의 합을 구하는 문제입니다.

접근법:
1. 각 원소가 ‘가장 작은 원소’로서 몇 번이나 선택되는지를 셉니다.
2. (1/16이 가장 작은 경우) 1/16을 반드시 포함하고, 그보다 작은 원소는 없는(이 경우 해당 없음) 부분집합입니다. 나머지 4개 원소로 만들 수 있는 부분집합의 개수인 2⁴ 번 등장합니다.
3. (1/8이 가장 작은 경우) 1/8을 반드시 포함하고, 1/16은 포함하지 않는 부분집합입니다. 나머지 3개 원소로 만들 수 있는 부분집합의 개수인 2³ 번 등장합니다.
4. 이 규칙을 모든 원소에 대해 적용합니다.
5. 최종 합 = (1/16 × 2⁴) + (1/8 × 2³) + … + (1 × 2⁰)

주의할 점:
원소들이 분수이더라도, ‘최소 원소’를 세는 원리는 동일합니다. 자기보다 작은 원소는 모두 제외하고 계산합니다.

”

각 부분집합의 최소 원소들의 총합(분수)

마플시너지공통수학2풀이해설0766고퀄리티 풀이영상제공0766 각 부분집합의 최소 원소들의 총합 구하기

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[문제 766] 핵심 개념 및 풀이 전략

각 부분집합의 최소 원소들을 모두 더하는 문제입니다.

접근법:
1. 각 원소가 ‘최소 원소’로서 몇 번이나 선택되는지를 셉니다.
2. (1이 최소 원소인 경우) 1을 반드시 포함하고, 1보다 작은 원소는 없는 부분집합의 개수입니다. 이는 1을 제외한 나머지 원소 {2, 4, …, 64} (6개)로 만들 수 있는 부분집합의 개수인 2⁶과 같습니다.
3. (2가 최소 원소인 경우) 2를 반드시 포함하고, 1은 포함하지 않는 부분집합의 개수입니다. 이는 2와 1을 제외한 나머지 5개 원소로 만들 수 있는 부분집합의 개수인 2⁵와 같습니다.
4. 이와 같은 방식으로 각 원소에 대해 계산합니다.
5. 최종 합 = (1 × 2⁶) + (2 × 2⁵) + (4 × 2⁴) + … + (64 × 2⁰)

주의할 점:
최소 원소 문제는 ‘그 원소보다 작은 원소는 모두 제외’하는 조건이 숨어있다는 것을 파악하는 것이 핵심입니다.

”

각 부분집합의 최소 원소들의 총합 구하기

마플시너지공통수학2풀이해설0765고퀄리티 풀이영상제공0765 진부분집합들의 원소 총합과 미지수 찾기

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[문제 765] 핵심 개념 및 풀이 전략

공집합을 제외한 모든 진부분집합들의 원소의 총합을 이용해 미지수를 찾는 문제입니다.

접근법:
1. 먼저 집합 A의 모든 부분집합(2⁴=16개)의 원소 총합을 구합니다. 각 원소는 2⁴⁻¹ = 8번씩 포함되므로, 총합은 8(1+2+3+a) 입니다.
2. 문제에서 요구하는 합은 이 총합에서 **공집합(합=0)과 집합 A 자신(합=6+a)을 제외**한 것입니다.
3. 따라서, 8(6+a) – (0) – (6+a) = 7(6+a) = 42+7a 입니다.
4. 이 값이 91과 같다고 등식을 세워 a값을 구합니다.
5. n은 공집합을 제외한 진부분집합의 개수이므로 2⁴-2=14 입니다. 최종적으로 n+a를 계산합니다.

주의할 점:
문제에서 제외하라고 하는 부분집합(공집합, 진부분집합이 아닌 자기 자신)을 정확히 파악하고, 그들의 원소 합을 전체 합에서 빼주어야 합니다.

”

진부분집합들의 원소 총합과 미지수 찾기

마플시너지공통수학2풀이해설0764고퀄리티 풀이영상제공0764 A⊂X⊂B를 만족하는 집합들의 원소 총합

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[문제 764] 핵심 개념 및 풀이 전략

A ⊂ X ⊂ B를 만족하는 모든 집합 X들의 원소의 총합을 구하는 문제입니다.

접근법:
1. 집합 X는 {1,2}를 반드시 포함하고, B-A={4,8}의 원소를 추가로 가질 수 있습니다.
2. (고정 원소의 합) {1,2}는 모든 가능한 집합 X에 항상 포함됩니다. 집합 X의 개수는 2^(4-2)=4개 이므로, 1과 2는 각각 4번씩 더해집니다.
3. (선택 원소의 합) B-A={4,8}의 원소들이 각각 몇 번이나 더해지는지 셉니다. 4가 포함되는 경우는 {1,2,4}를 포함하는 X의 개수와 같으므로, 나머지 원소 {8}로 만들 수 있는 부분집합의 개수인 2¹=2번 입니다. 8도 마찬가지로 2번 더해집니다.
4. 모든 합 = (1×4 + 2×4) + (4×2 + 8×2)

주의할 점:
반드시 포함되는 원소와, 선택적으로 포함되는 원소를 나누어 각각이 총 몇 번씩 더해지는지를 계산해야 합니다.

”

A⊂X⊂B를 만족하는 집합들의 원소 총합

마플시너지공통수학2풀이해설0763고퀄리티 풀이영상제공0763 원소 개수가 정해진 부분집합의 원소 총합

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[문제 763] 핵심 개념 및 풀이 전략

원소의 개수가 특정 값(3개)으로 정해진 부분집합들의 모든 원소의 합을 구하는 문제입니다.

접근법:
1. 760번과 동일하게, 각 원소가 총 몇 번이나 더해지는지를 셉니다.
2. 특정 원소(예: 1)가 포함되는 3개짜리 부분집합의 개수는, **1을 반드시 포함**하고 나머지 4개의 원소 {2,3,4,5} 중에서 **2개를 추가로 선택**하는 경우의 수와 같습니다. (₄C₂)
3. 모든 원소(1,2,3,4,5)에 대해 이 규칙은 동일하게 적용됩니다.
4. 따라서 모든 원소의 총합은 (1+2+3+4+5) × (₄C₂) 입니다.

주의할 점:
조합(Combination)을 이용하여 특정 원소가 포함되는 부분집합의 개수를 정확하게 세는 것이 핵심입니다.

”

원소 개수가 정해진 부분집합의 원소 총합

마플시너지공통수학2풀이해설0762고퀄리티 풀이영상제공0762 모든 부분집합 원소의 총곱 구하기

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[문제 762] 핵심 개념 및 풀이 전략

모든 부분집합의 원소의 곱을 다시 모두 곱하는 문제입니다.

접근법:
1. 760번 문제와 유사하게, 각 원소가 최종 곱셈에서 총 몇 번 곱해지는지(지수가 얼마인지)를 생각합니다.
2. 특정 원소(예: 1)가 곱해지는 횟수는, **1을 반드시 포함하는 부분집합의 개수**와 같습니다.
3. 집합 A의 원소는 4개이므로, 1을 반드시 포함하는 부분집합의 개수는 2⁴⁻¹ = 8개 입니다.
4. 마찬가지로, 2, 4, 8도 각각 8번씩 곱해집니다.
5. 따라서 최종 곱은 1⁸ × 2⁸ × 4⁸ × 8⁸ 입니다. 이 값을 지수법칙을 이용해 2의 거듭제곱으로 표현하고 지수 k를 구합니다.

주의할 점:
문제에서 ‘공집합이 아닌’ 부분집합이라고 했지만, 공집합은 원소가 없어 곱에 영향을 주지 않으므로, 전체 부분집합을 기준으로 계산해도 결과는 같습니다.

”

모든 부분집합 원소의 총곱 구하기

마플시너지공통수학2풀이해설0761고퀄리티 풀이영상제공0761 특정 조건의 부분집합 원소 총합 구하기

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[문제 761] 핵심 개념 및 풀이 전략

특정 조건을 만족하는 부분집합들의 모든 원소의 합을 구하는 문제입니다. 760번의 응용 유형입니다.

접근법:
1. (집합 X의 개수) 먼저 조건을 만족하는 집합 X가 몇 개인지 구합니다. X는 {1,3,5}를 제외한 나머지 원소 {2,4,6}으로 만들 수 있는 부분집합에 {1}을 추가한 형태입니다. 따라서 2³ = 8개 입니다.
2. (각 원소가 더해지는 횟수)
– 1은 모든 8개의 집합 X에 반드시 포함됩니다.
– 2가 포함되는 경우는, {1}을 포함하고 {3,5}는 제외하며, 2를 반드시 포함하는 부분집합의 개수와 같습니다. (2³⁻¹ = 4개)
– 4와 6도 마찬가지로 각각 4번씩 더해집니다.
3. 모든 합 = (1×8) + (3×0) + (5×0) + (2×4) + (4×4) + (6×4)

주의할 점:
주어진 조건(포함/불포함)을 정확히 반영하여 각 원소가 최종적으로 몇 번이나 합산되는지를 계산해야 합니다.

”

특정 조건의 부분집합 원소 총합 구하기

마플시너지공통수학2풀이해설0760고퀄리티 풀이영상제공0760 모든 부분집합의 원소의 총합 구하기

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[문제 760] 핵심 개념 및 풀이 전략

집합의 모든 부분집합에 대해, 각 부분집합의 원소의 합을 구하고, 그 합들을 다시 모두 더하는 문제입니다.

접근법:
1. 각 원소가 총 몇 번이나 더해지는지를 생각하는 것이 효율적입니다.
2. 집합 S의 특정 원소(예: 1)가 부분집합의 원소로 포함되는 경우는, **1을 반드시 포함하는 부분집합**의 개수와 같습니다.
3. 집합 S의 원소는 4개이므로, 1을 반드시 포함하는 부분집합의 개수는 2⁴⁻¹ = 8개 입니다.
4. 마찬가지로, 2, 4, 8도 각각 8개의 부분집합에 포함됩니다.
5. 따라서 모든 원소의 총합은 (1×8) + (2×8) + (4×8) + (8×8) = 8 × (1+2+4+8) 입니다.

주의할 점:
각 원소를 기준으로 그 원소가 몇 번 나타나는지를 세어서 계산하는 것이 이 유형의 핵심 풀이법입니다.

”

모든 부분집합의 원소의 총합 구하기

마플시너지공통수학2풀이해설0759고퀄리티 풀이영상제공0759 제곱수의 일의 자리 수 규칙을 갖는 집합 찾기

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[문제 759] 핵심 개념 및 풀이 전략

제곱수의 일의 자리 수에 대한 규칙을 만족하는 집합의 개수를 찾는 문제입니다.

접근법:
1. 1부터 9까지의 자연수에 대해, m과 m²의 일의 자릿수가 같은 m이 아닌 n이 존재하는지 확인하여 원소 쌍을 찾습니다.
– m=2 (2²=4), n=8 (8²=64) → {2,8}은 쌍으로 존재
– m=3 (3²=9), n=7 (7²=49) → {3,7}은 쌍으로 존재
– {1,9}, {4,6}도 같은 규칙으로 쌍을 이룹니다.
– 5는 자기 자신과 짝이므로 규칙에 맞지 않습니다.
2. 이 규칙을 만족하는 집합 A는, 4개의 묶음({1,9}, {2,8}, {3,7}, {4,6})을 원소로 하는 새로운 집합의 부분집합과 같습니다.
3. 4개의 묶음으로 만들 수 있는 부분집합의 개수는 2⁴개 입니다.
4. 문제에서 공집합이 아닌 집합을 구하라고 했으므로 1개를 제외합니다.

주의할 점:
문제의 규칙을 만족하는 원소 쌍을 정확하게 찾는 것이 첫 단계입니다. 규칙에 맞지 않는 원소(5)는 집합 A에 포함될 수 없습니다.

”

제곱수의 일의 자리 수 규칙을 갖는 집합 찾기

마플시너지공통수학2풀이해설0758고퀄리티 풀이영상제공0758 특정 원소를 포함하는 특별한 규칙의 집합

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[문제 758] 핵심 개념 및 풀이 전략

특별한 규칙과 특정 원소 포함 조건을 동시에 만족하는 집합의 개수를 찾는 문제입니다.

접근법:
1. 원소가 될 수 있는 자연수는 18의 양의 약수입니다.
2. 규칙에 따라 짝지어지는 원소 묶음을 찾습니다. {1,18}, {2,9}, {3,6}
3. (나) 조건: 집합 X는 2를 반드시 원소로 가져야 합니다.
4. (가) 조건: x=2가 X의 원소이므로, 18/2 = 9도 반드시 X의 원소가 되어야 합니다. 즉, **{2,9} 묶음은 반드시 포함**되어야 합니다.
5. 결국, 구하는 집합 X의 개수는 {2,9} 묶음을 반드시 포함하면서, 나머지 2개의 묶음({1,18}, {3,6})으로 만들 수 있는 부분집합의 개수와 같습니다. (2²)

주의할 점:
특정 원소를 포함하라는 조건이 주어지면, 그 원소와 짝이 되는 다른 원소도 규칙에 따라 반드시 포함되어야 함을 잊지 말아야 합니다.

”

특정 원소를 포함하는 특별한 규칙의 집합