“
부분집합과 진부분집합의 정의를 정확히 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
접근법:
(진부분집합) 자기 자신을 제외한 부분집합입니다.
(ㄱ) {∅}는 A의 원소 ∅를 원소로 갖는 A의 부분집합이며, A 자신은 아니므로 진부분집합이 맞습니다.
(ㄴ) {∅, {1}}은 A의 두 원소 ∅와 {1}을 원소로 갖는 A의 부분집합이며, A 자신은 아니므로 진부분집합이 맞습니다.
(ㄷ) {∅, 1, 2, {1}}은 집합 A 자기 자신입니다. 따라서 A의 부분집합은 맞지만, 진부분집합은 아닙니다.
주의할 점:
진부분집합의 정의는 ‘A⊂B이고 A≠B’ 입니다. 자기 자신은 진부분집합에서 제외됩니다.
”
부분집합과 진부분집합의 정의
“
한 집합의 부분집합 관계를 통해 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 집합 Aₙ과 A₂₅를 각각 원소나열법으로 나타냅니다.
– A₂₅ = {x | x는 √25=5 이하의 홀수} = {1, 3, 5}
– Aₙ = {x | x는 √n 이하의 홀수}
2. Aₙ ⊂ A₂₅가 성립하려면, Aₙ의 모든 원소가 {1, 3, 5}에 포함되어야 합니다.
3. Aₙ의 원소는 항상 {1}, {1,3}, {1,3,5}, … 형태입니다. 따라서 Aₙ이 A₂₅에 포함되려면, Aₙ의 가장 큰 원소가 5 이하여야 합니다.
4. 즉, √n 이하의 홀수 중 가장 큰 수가 5여야 하므로, 5 ≤ √n 5. 양변을 제곱하여 25 ≤ n
주의할 점:
√n의 값에 따라 Aₙ의 원소가 어떻게 변하는지를 파악하는 것이 중요합니다.
”
부분집합 관계를 만족하는 n의 최댓값
“
부분집합 관계(A⊂B)를 만족하는 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 B는 8의 약수이므로 B={1, 2, 4, 8} 입니다.
2. 집합 A={1, 2a}가 B의 부분집합이 되려면, A의 모든 원소가 B에 있어야 합니다.
3. 원소 1은 이미 B에 있으므로, 원소 2a가 B에 포함되면 됩니다.
4. 따라서 2a가 될 수 있는 값은 1, 2, 4, 8 입니다.
5. 각 경우에 대해 a값을 구하고, a가 ‘자연수’라는 조건에 맞는 값들을 모두 더합니다.
주의할 점:
a 자체의 조건(자연수)을 마지막에 반드시 확인하여 답을 필터링해야 합니다.
”
부분집합 관계(A⊂B)와 미지수의 합
“
부분집합 관계(A⊂B)를 이용하여 방정식의 해를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A는 방정식 (x-5)(x-a)=0의 해이므로, A = {5, a} 입니다.
2. 집합 B = {-3, 5} 입니다.
3. A⊂B가 성립하려면, A의 모든 원소가 B에 있어야 합니다.
4. A의 원소 5는 이미 B에 있으므로, 나머지 원소 a가 B에 있으면 됩니다.
5. 따라서 a = -3 이 되어야 합니다.
6. 문제에서 ‘양수 a’를 묻고 있으므로, A⊂B를 만족시키는 양수 a는 존재하지 않습니다. (문제 오류 가능성 확인 – 해설에서는 a=5를 답으로 함. 이는 A=B인 경우임. A⊂B의 일반적인 경우를 고려해야 함)
주의할 점:
A⊂B 조건에서 A=B인 경우도 포함됩니다. 만약 a=5라면 A={5}가 되어 B에 포함되므로, a=5도 가능한 해입니다.
”
부분집합 관계(A⊂B)와 방정식의 해
“
두 집합이 모두 다른 한 집합의 부분집합이 될 조건을 이용해 미지수의 최솟값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 세 집합 A, B, C를 모두 원소나열법 또는 범위로 나타냅니다.
– A = {-5, -3, -1, 1}
– B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4}
– C = {정수 x | 1-k 2. **(A⊂C 조건)** 집합 C가 A의 모든 원소를 포함해야 합니다. A의 가장 작은 원소(-5)와 가장 큰 원소(1)를 기준으로 범위를 설정합니다. (1-k ≤ -5 그리고 1 3. **(B⊂C 조건)** 집합 C가 B의 모든 원소를 포함해야 합니다. B의 가장 작은 원소(-1)와 가장 큰 원소(4)를 기준으로 범위를 설정합니다. (1-k ≤ -1 그리고 4 4. 두 조건을 모두 만족하는 k의 공통 범위를 찾아, 양의 정수 k의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
C가 A와 B를 모두 포함하려면, A와 B를 합친 집합(A∪B)의 최소, 최대 원소를 모두 포함해야 합니다. 즉, C는 {-5, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4}를 포함해야 합니다.
”
두 집합을 모두 포함하는 집합의 조건
“
연속적인 포함 관계(A⊂B⊂C)를 만족하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 세 집합 A, B, C를 각각 부등식의 해로 표현합니다.
– A = {x | -3 ≤ x ≤ 3}
– B = {x | -a – C = {x | -9 ≤ x ≤ 9}
2. 수직선 위에 세 집합의 포함 관계가 나타나도록 그립니다.
3. (A⊂B 조건) -a 3.
4. (B⊂C 조건) -9 ≤ -a 이고 a ≤ 9 여야 합니다. 즉, a ≤ 9.
5. 두 조건을 모두 만족하는 자연수 a의 범위를 찾고, 그 합을 구합니다.
주의할 점:
각 포함 관계에 대해 부등식을 세우고, 최종적으로 연립부등식을 풀어 공통 범위를 찾아야 합니다.
”
세 집합의 연속적인 포함 관계(A⊂B⊂C)
“
부등식의 해집합 사이의 포함 관계를 이용하여 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 집합의 조건인 이차부등식을 풀어 해집합을 구합니다.
– A = {x | -2a ≤ x ≤ a} (자연수 a이므로)
– B = {x | -10 2. A⊂B가 성립하도록 수직선 위에 두 집합의 범위를 나타냅니다.
3. 수직선을 보고, A의 양 끝값이 B의 범위 안에 포함되기 위한 부등식을 세웁니다.
– -10 4. 두 부등식을 모두 만족하는 자연수 a의 개수를 셉니다.
주의할 점:
수직선을 이용해 포함 관계를 시각적으로 표현하면 부등식을 세울 때 실수를 줄일 수 있습니다. 등호 포함 여부를 주의 깊게 판단해야 합니다.
”
두 부등식 해집합의 포함 관계(A⊂B)
“
부분집합 관계(B⊂A)를 만족하는 자연수의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A는 30의 양의 약수, 집합 B는 k의 양의 약수입니다.
2. B⊂A가 성립하려면, **k의 모든 약수가 30의 약수**여야 합니다.
3. 이는 곧 **k가 30의 약수**임을 의미합니다.
4. 30의 약수 {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 중에서, 문제에서 요구하는 ‘두 자리 자연수’ k를 모두 찾습니다.
5. 찾은 모든 k값의 합을 구합니다.
주의할 점:
‘k의 약수’ ⊂ ’30의 약수’ 라는 조건이 ‘k는 30의 약수’라는 조건과 동치임을 이해하는 것이 핵심입니다.
”
두 약수 집합의 포함 관계(B⊂A)
“
부분집합 관계(A⊂B)를 만족하도록 하는 미지수를 찾는 문제입니다. 경우를 나누어 생각해야 합니다.
접근법:
1. A⊂B가 되려면, A의 원소 a+2와 3이 모두 B에 있어야 합니다.
2. B의 원소 3은 이미 A에 있으므로, A의 원소 **a+2가 B의 원소 중 하나**여야 합니다.
– (경우 1) a+2 = a-2 : 모순
– (경우 2) a+2 = a²-1
– (경우 3) a+2 = 7
3. 각 경우에서 나온 a값을 원래 집합에 대입하여 실제로 A⊂B가 성립하는지 확인합니다.
4. 성립하는 a값일 때의 집합 B의 모든 원소의 합(b)을 구하고, a+b를 계산합니다.
주의할 점:
미지수를 포함한 원소를 기준으로 경우를 나누고, 각 경우에 대해 반드시 포함 관계가 성립하는지 검증하는 과정이 필요합니다.
”
부분집합 관계(A⊂B)와 미지수 a의 합
“
한 집합이 다른 집합의 부분집합이 될 조건(A⊂B)을 이용하여 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A의 원소 1과 3이 모두 집합 B에 포함되어야 합니다.
2. (1∈B 조건) B의 원소 중 하나가 1이어야 합니다. a+2=1 또는 4a-5=1 이라는 두 가지 가능성이 있습니다.
3. (3∈B 조건) B의 원소 중 하나가 3이어야 합니다. a+2=3 또는 4a-5=3 이라는 두 가지 가능성이 있습니다.
4. A⊂B가 성립하려면, 1과 3이 모두 B에 있어야 하므로, 각 경우를 만족하는 a값을 찾고, 그 a값이 실제로 1과 3을 모두 B의 원소로 만드는지 확인합니다.
주의할 점:
A의 모든 원소가 B에 속해야 하므로, 각 원소에 대한 조건을 모두 만족시키는 a값을 찾아야 합니다.
”
부분집합 관계(A⊂B)와 미지수 a값
