“
두 집합이 같을 조건을 이용하여 미지수를 찾는 문제입니다. 701번과 동일한 유형입니다.
접근법:
1. A=B이므로, B의 원소 2는 A에도 있어야 합니다. 따라서 a+2=2 또는 a²-2=2 입니다.
2. (경우 1) a+2=2 (즉, a=0)일 때: a=0을 A, B에 대입하여 두 집합이 일치하는지 확인합니다.
3. (경우 2) a²-2=2 (즉, a=±2)일 때: a=2와 a=-2를 각각 A, B에 대입하여 두 집합이 일치하는지 확인합니다.
4. 세 가지 경우 중 두 집합을 일치시키는 유일한 a값을 찾습니다.
주의할 점:
한쪽 집합의 원소를 기준으로 경우를 나눈 뒤, 각 경우에 대해 반드시 검산하여 모순이 없는지 확인해야 합니다.
”
두 집합이 같을 조건과 미지수 a값
“
이차부등식의 해집합이 하나의 원소만 가질 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. A=B이고 B={a}이므로, 집합 A의 원소도 a 하나뿐입니다.
2. 즉, 이차부등식 x²-2bx+b+6 ≤ 0 의 해가 오직 x=a 하나만 존재해야 합니다.
3. 아래로 볼록한 이차함수의 값이 0 이하인 지점이 오직 하나만 존재하려면, 그 이차함수가 x축에 **접해야** 하며, 그 접점의 x좌표가 a가 되어야 합니다.
4. 따라서 이차방정식 x²-2bx+b+6=0이 중근 a를 가져야 합니다. 이는 (x-a)²=0 과 같아야 함을 의미합니다.
5. 두 이차방정식 x²-2bx+b+6=0 과 x²-2ax+a²=0 의 계수를 비교하여 a, b값을 찾습니다.
주의할 점:
이차부등식의 해가 오직 하나일 경우는 완전제곱식 형태로 묶이고 그 값이 0이 되는 경우 뿐입니다.
”
이차부등식 해가 하나일 때의 조건
“
부등식의 해집합이 서로 같을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 B 해석) 절대값 부등식 |x-1|2. (A=B 조건) 집합 A의 조건인 이차부등식 x²+ax+b 3. 해가 -2 4. 두 이차부등식 x²+ax+b
주의할 점:
해를 보고 이차부등식을 역으로 만드는 과정을 정확히 할 수 있어야 합니다. 최고차항의 계수 부호에도 주의해야 합니다.
”
두 부등식의 해집합이 같을 조건
“
이차방정식의 해를 원소로 하는 집합과 다른 집합이 서로 같을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. A=B 이므로, 집합 B의 원소 1은 집합 A의 원소여야 합니다.
2. 즉, x=1은 이차방정식 x²+3x-a=0의 해입니다. x=1을 대입하여 a값을 구합니다.
3. a값을 다시 이차방정식에 대입하여 나머지 해를 구합니다. 이 나머지 해가 바로 b가 됩니다.
4. a와 b값을 모두 구한 뒤, a-b를 계산합니다.
주의할 점:
이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 풀 수도 있습니다. (두 근의 합 = 1+b = -3)
”
이차방정식의 해와 집합이 같을 조건
“
701번 문제와 동일하게, 두 집합이 같을 조건을 이용하여 미지수를 찾고, 원소의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. A=B이므로, A의 원소 3은 B에도 있어야 합니다.
2. B의 원소 중 3이 될 수 있는 것은 a²-2a 입니다. (나머지 원소는 -2, 4로 고정)
3. a²-2a = 3 이라는 이차방정식을 풀어 가능한 a값을 모두 구합니다.
4. 각 a값에 대해, 두 집합 A와 B가 실제로 일치하는지 확인합니다.
5. 조건을 만족하는 a일 때의 집합 A의 모든 원소의 합을 구합니다.
주의할 점:
이차방정식의 해가 여러 개 나올 수 있으므로, 모든 해에 대해 검산 과정을 거쳐야 합니다.
”
두 집합이 같을 조건과 미지수 a값
“
두 집합이 서로 같을 조건을 이용하는 문제입니다. 원소에 미지수가 포함되어 있어 경우를 나누어 생각해야 합니다.
접근법:
1. A=B가 되려면, A의 원소와 B의 원소가 일치해야 합니다.
2. B의 원소 3은 A에도 반드시 있어야 합니다. 따라서 a+1=3 또는 a-2=3 이라는 두 가지 가능성이 생깁니다.
3. (경우 1) a+1=3 (즉, a=2)일 때: a=2를 A와 B에 대입하여 두 집합이 일치하는지 확인합니다.
4. (경우 2) a-2=3 (즉, a=5)일 때: a=5를 A와 B에 대입하여 두 집합이 일치하는지 확인합니다.
5. 두 집합이 일치하게 만드는 a값을 찾고, 그때의 집합 A의 모든 원소의 합을 구합니다.
주의할 점:
가능한 경우를 나눈 뒤, 각 경우에 대해 조건을 만족하는지 반드시 검산하는 과정이 필요합니다.
”
두 집합이 같을 때 원소의 합 구하기
“
두 집합이 서로 같을 조건(A=B)을 이용하여 미지수를 찾는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. ‘A⊂B 이고 B⊂A’ 라는 것은 ‘A=B’ 와 같은 의미입니다.
2. 집합 A는 6의 양의 약수이므로, A = {1, 2, 3, 6} 입니다.
3. A=B가 되려면 두 집합의 원소가 완전히 일치해야 합니다.
4. 집합 B의 원소 {1, 2, a+1, b}와 비교하면, a+1과 b가 각각 3과 6이 되어야 합니다.
5. 두 가지 경우(a+1=3, b=6 또는 a+1=6, b=3) 모두 a+b의 값은 동일합니다.
주의할 점:
두 집합이 같다는 것은 원소의 구성이 완전히 동일하다는 의미입니다. 순서는 상관없습니다.
”
두 집합이 서로 같을 조건(A=B)
“
주어진 벤 다이어그램의 포함 관계(A⊂B 이고 A≠B)를 만족하는 두 집합의 쌍을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 집합 A와 B를 원소나열법으로 나타냅니다.
2. 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함되는지(A⊂B) 확인합니다.
3. 집합 A와 B가 서로 같지는 않은지(A≠B) 확인합니다.
4. 두 조건을 모두 만족하는 보기를 선택합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램은 A가 B의 ‘진부분집합’임을 나타내고 있습니다. A⊂B와 A≠B를 동시에 만족해야 합니다.
”
벤 다이어그램으로 집합의 포함 관계 찾기
“
다른 집합의 원소를 이용해 새롭게 정의된 집합들 사이의 포함 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 A) A = {0, 1, 2}
2. (집합 B) A의 원소 x, y를 이용해 2x+y의 모든 가능한 값을 구하여 집합 B를 원소나열법으로 나타냅니다.
3. (집합 C) A의 원소 x, y를 이용해 xy의 모든 가능한 값을 구하여 집합 C를 원소나열법으로 나타냅니다.
4. 세 집합 A, B, C의 원소들을 비교하여 포함 관계를 확인합니다.
주의할 점:
x와 y는 A의 원소 중 같은 것을 선택할 수도 있습니다. (예: 2*0+0=0, 0*0=0). 모든 조합을 빠짐없이 계산해야 합니다.
”
새로운 규칙으로 정의된 집합의 포함 관계
“
세 집합을 각각 원소나열법으로 나타내고, 그들 사이의 포함 관계를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 A) A = {-1, 0, 1}
2. (집합 B) 방정식 x²-1=0의 해는 x=±1 이므로, B = {-1, 1}
3. (집합 C) -2 4. 세 집합의 원소를 비교합니다. A와 C는 같고, B는 A(또는 C)에 포함됩니다. 따라서 B ⊂ A = C 와 같은 관계를 찾습니다.
주의할 점:
집합 C에서 x가 ‘정수’라는 조건을 놓치면 안 됩니다. 조건제시법을 원소나열법으로 정확히 변환하는 것이 핵심입니다.
”
세 집합 사이의 포함 관계(⊂) 이해
