“
이차방정식의 해를 원소로 하는 집합의 원소 개수가 1개일 조건을 묻는 문제입니다. 단, 이차항의 계수가 0이 되는 경우를 고려해야 합니다.
접근법:
n(A)=1, 즉 해가 하나만 존재하려면 두 가지 경우가 있습니다.
1. (경우 1: 이차방정식일 때) k-1 ≠ 0 이고, 방정식이 **중근**을 가질 때입니다. **판별식 D = 0** 을 풀어 k값을 찾습니다.
2. (경우 2: 일차방정식일 때) 이차항의 계수가 0일 때, 즉 **k-1 = 0** 일 때입니다. 이때 주어진 식이 일차방정식이 되어 해를 하나 갖는지 확인합니다.
3. 두 경우에서 나온 모든 k값의 합을 구합니다.
주의할 점:
이차방정식이라는 말이 없을 때, 최고차항의 계수가 0이 되는 특별한 경우를 빠뜨리지 않도록 항상 주의해야 합니다.
”
해가 1개일 조건(이차항 계수 미지수)
“
이차방정식의 해의 개수(0개, 1개, 2개)를 판별식을 이용하여 구하고, 그 개수들의 총합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 Aₖ의 원소 개수는 이차방정식 x²+4x-k+9=0의 실근의 개수와 같습니다.
2. 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면, D의 부호에 따라 실근의 개수가 결정됩니다.
– D – D = 0 (k=5) 이면, n(Aₖ)=1
– D > 0 (k>5) 이면, n(Aₖ)=2
3. k=1부터 10까지 각 경우에 해당하는 n(Aₖ) 값을 구하여 모두 더합니다.
주의할 점:
k값의 범위에 따라 실근의 개수가 어떻게 변하는지를 체계적으로 분석해야 합니다.
”
이차방정식 실근 개수와 원소 개수의 합
“
두 집합의 원소의 개수가 같을 조건을 이용하여 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법: 주의할 점: ” 두 집합의 원소 개수가 같을 조건(공집합)
1. (n(A) 구하기) 집합 A는 방정식 x²+x+1=0의 실수 해의 집합입니다. 이 방정식의 판별식 D 2. (n(B) 구하기) n(A)=n(B)가 되려면 n(B)=0 이어야 합니다. 이는 집합 B의 조건인 이차방정식 x²-2kx+10k=0이 **허근**을 가져야 함을 의미합니다.
3. 따라서 이차방정식 x²-2kx+10k=0의 판별식 D
각 집합의 원소 개수를 먼저 정확하게 파악하는 것이 중요합니다.
“
이차부등식의 해를 원소로 하는 집합의 원소 개수가 1개일 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. n(A)=1 이 되려면, 부등식 x²+2kx+2k+3 ≤ 0을 만족하는 **실수 x가 오직 하나만 존재**해야 합니다.
2. 아래로 볼록한 이차함수의 값이 0 이하인 지점이 오직 하나만 존재하려면, 그 이차함수가 **x축에 접해야** 합니다.
3. 따라서 이차방정식 x²+2kx+2k+3=0이 **중근**을 가져야 합니다.
4. 이 이차방정식의 판별식 D = 0** 이라는 등식을 세워 가능한 모든 k값의 합을 구합니다.
주의할 점:
이차부등식의 해가 오직 하나일 경우는, 완전제곱식 형태로 묶이고 그 값이 0이 되는 경우 뿐입니다.
”
이차부등식의 해가 1개일 조건
“
이차부등식의 해를 원소로 하는 집합이 공집합이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A가 공집합(A=∅)이 되려면, 부등식 x²-2kx+2k+8 2. 이는 모든 실수 x에 대하여 부등식 **x²-2kx+2k+8 ≥ 0** 이 항상 성립해야 함을 의미합니다.
3. 아래로 볼록한 이차함수가 항상 0 이상이려면, x축에 접하거나(중근) x축 위에 떠 있어야(허근) 합니다.
4. 따라서 이차방정식 x²-2kx+2k+8=0의 판별식 D ≤ 0** 이어야 합니다.
5. 이 부등식을 풀어 k의 최댓값과 최솟값을 찾습니다.
주의할 점:
부등식의 해집합이 공집합이 될 조건은, 그 부등식을 반대로 바꾼(등호 포함) 식이 ‘모든 실수에 대해 성립’할 조건과 같습니다.
”
이차부등식의 해가 없는 집합(공집합)
“
이차방정식의 해를 원소로 하는 집합이 공집합이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법: 주의할 점: ” 이차방정식의 해가 없는 집합(공집합)
1. 집합 A가 공집합(A=∅)이 되려면, 조건 x²-2kx-3k+10=0을 만족하는 **실수 x가 존재하지 않아야** 합니다.
2. 이는 이차방정식 x²-2kx-3k+10=0이 허근을 가져야 함을 의미합니다.
3. 이차방정식이 허근을 가질 조건은 판별식 D 4. 판별식을 k에 대한 식으로 나타내고, D
집합이 공집합이라는 조건을 방정식의 해가 없다는(실근이 없다는) 조건으로 변환하는 것이 중요합니다.
“
두 집합의 원소를 더하여 만들어지는 새로운 집합의 원소 개수가 특정 값을 갖도록 하는 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 A의 원소 x와 B의 원소 y를 더한 모든 결과를 표를 이용해 나열합니다. 이 결과에는 미지수 a가 포함됩니다.
2. 만들어진 결과들을 오름차순으로 정리합니다. X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a+1, a+3, a+5}
3. 집합 X의 원소 개수가 10개가 되려면, a를 포함한 3개의 값 중 **두 개가 기존의 8개 원소와 중복**되고, **하나는 중복되지 않아야** 합니다.
4. a+1, a+3, a+5는 2씩 차이나는 연속된 홀수 또는 짝수입니다. 이 값들이 기존 원소들과 어떻게 겹칠 수 있는지 경우를 나누어 생각하고, 자연수 a의 최댓값을 찾습니다.
주의할 점:
새로운 원소가 기존 원소와 중복될 가능성을 고려하는 것이 이 문제의 핵심입니다.
”
새로운 집합의 원소 개수와 미지수
“
원소의 개수(n(A))와 집합의 포함 관계(⊂) 사이의 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
(ㄱ) n(∅)=0 이므로, n(A)=n(∅) 이면 n(A)=0 입니다. 원소의 개수가 0개인 집합은 공집합(∅) 뿐입니다.
(ㄴ) (반례) A={1}, B={1,2}이면 A⊂B 이고 n(A)(ㄷ) (반례) A={1,2}, B={3,4}이면 n(A)=n(B)이지만 A=B는 아닙니다.
주의할 점:
A⊂B는 n(A)≤n(B)를 의미하며, 등호가 성립할 수 있습니다. 두 집합의 원소 개수가 같다고 해서 두 집합이 같은 것은 아닙니다.
”
원소 개수와 집합 포함 관계의 이해
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원소의 개수(n(A))와 관련된 기호의 의미를 정확히 이해하고 있는지 묻는 진위 판별 문제입니다.
접근법:
(ㄱ) A={0}은 원소 0을 한 개 가지고 있으므로, n(A)=1 입니다.
(ㄴ) B=∅는 원소가 하나도 없는 공집합이므로, n(B)=0 입니다.
(ㄷ) {∅}는 원소 ∅를 한 개 가지고 있는 집합이므로 n({∅})=1 입니다. n(∅)=0 이므로 1-0=1 입니다.
(ㄹ) n({0})=1 이고 n({∅})=1 이므로, 1+1=2 입니다.
주의할 점:
{0}과 {∅}는 모두 원소가 1개인 집합이며, ∅는 원소가 0개인 집합입니다. 이 셋을 명확히 구분해야 합니다.
”
원소의 개수(n(A)) 기호의 의미 이해
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두 집합의 원소의 개수가 같을 조건을 이용해 미지수 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (n(A) 구하기) 집합 A는 36의 양의 약수를 원소로 가집니다. 36 = 2² × 3² 이므로 약수의 개수는 (2+1)(2+1) = 9개입니다. 즉, n(A) = 9.
2. (n(B) 구하기) 집합 B는 k보다 작은 자연수를 원소로 가집니다. {1, 2, …, k-1} 이므로, n(B) = k-1 입니다.
3. n(A) = n(B) 라는 등식, 즉 9 = k-1 을 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
약수의 개수를 구하는 공식(소인수분해 후 각 지수에 1을 더해 곱한다)을 이용하면 편리합니다.
”
두 집합의 원소 개수가 같을 조건
