“
두 집합의 원소를 더하여 만들어지는 새로운 집합의 원소 개수가 특정 값을 갖도록 하는 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 A의 원소 x와 B의 원소 y를 더한 모든 결과를 표를 이용해 나열합니다. 이 결과에는 미지수 a가 포함됩니다.
2. 만들어진 결과들을 오름차순으로 정리합니다. X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a+1, a+3, a+5}
3. 집합 X의 원소 개수가 10개가 되려면, a를 포함한 3개의 값 중 **두 개가 기존의 8개 원소와 중복**되고, **하나는 중복되지 않아야** 합니다.
4. a+1, a+3, a+5는 2씩 차이나는 연속된 홀수 또는 짝수입니다. 이 값들이 기존 원소들과 어떻게 겹칠 수 있는지 경우를 나누어 생각하고, 자연수 a의 최댓값을 찾습니다.
주의할 점:
새로운 원소가 기존 원소와 중복될 가능성을 고려하는 것이 이 문제의 핵심입니다.
”
새로운 집합의 원소 개수와 미지수
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원소의 개수(n(A))와 집합의 포함 관계(⊂) 사이의 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
(ㄱ) n(∅)=0 이므로, n(A)=n(∅) 이면 n(A)=0 입니다. 원소의 개수가 0개인 집합은 공집합(∅) 뿐입니다.
(ㄴ) (반례) A={1}, B={1,2}이면 A⊂B 이고 n(A)(ㄷ) (반례) A={1,2}, B={3,4}이면 n(A)=n(B)이지만 A=B는 아닙니다.
주의할 점:
A⊂B는 n(A)≤n(B)를 의미하며, 등호가 성립할 수 있습니다. 두 집합의 원소 개수가 같다고 해서 두 집합이 같은 것은 아닙니다.
”
원소 개수와 집합 포함 관계의 이해
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원소의 개수(n(A))와 관련된 기호의 의미를 정확히 이해하고 있는지 묻는 진위 판별 문제입니다.
접근법:
(ㄱ) A={0}은 원소 0을 한 개 가지고 있으므로, n(A)=1 입니다.
(ㄴ) B=∅는 원소가 하나도 없는 공집합이므로, n(B)=0 입니다.
(ㄷ) {∅}는 원소 ∅를 한 개 가지고 있는 집합이므로 n({∅})=1 입니다. n(∅)=0 이므로 1-0=1 입니다.
(ㄹ) n({0})=1 이고 n({∅})=1 이므로, 1+1=2 입니다.
주의할 점:
{0}과 {∅}는 모두 원소가 1개인 집합이며, ∅는 원소가 0개인 집합입니다. 이 셋을 명확히 구분해야 합니다.
”
원소의 개수(n(A)) 기호의 의미 이해
“
두 집합의 원소의 개수가 같을 조건을 이용해 미지수 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (n(A) 구하기) 집합 A는 36의 양의 약수를 원소로 가집니다. 36 = 2² × 3² 이므로 약수의 개수는 (2+1)(2+1) = 9개입니다. 즉, n(A) = 9.
2. (n(B) 구하기) 집합 B는 k보다 작은 자연수를 원소로 가집니다. {1, 2, …, k-1} 이므로, n(B) = k-1 입니다.
3. n(A) = n(B) 라는 등식, 즉 9 = k-1 을 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
약수의 개수를 구하는 공식(소인수분해 후 각 지수에 1을 더해 곱한다)을 이용하면 편리합니다.
”
두 집합의 원소 개수가 같을 조건
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두 유한집합의 원소의 개수(n(A))를 각각 구하고, 그 차를 계산하는 문제입니다.
접근법:
1. (n(A) 구하기) 집합 A는 15 이하의 소수를 원소로 가집니다. {2, 3, 5, 7, 11, 13} 이므로, n(A) = 6 입니다.
2. (n(B) 구하기) 집합 B는 100 이하의 5의 양의 배수를 원소로 가집니다. 100 ÷ 5 = 20 이므로, n(B) = 20 입니다.
3. 두 값의 차 n(B) – n(A)를 계산합니다.
주의할 점:
소수, 약수, 배수 등 수의 종류에 대한 정의를 정확히 알고 있어야 원소의 개수를 올바르게 셀 수 있습니다.
”
두 유한집합의 원소 개수 계산하기
“
684번 문제와 동일하게, 주어진 집합이 무한집합인 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 조건을 만족하는 원소가 유한개인지 무한개인지 판별합니다.
– ①, ③, ④: 조건을 만족하는 원소가 없으므로 공집합입니다. 공집합은 유한집합입니다.
– ②: 짝수인 두 자리 자연수는 10, 12, …, 98로 유한개입니다.
– ⑤: -1
주의할 점:
같은 범위라도 원소의 조건이 ‘정수’이면 유한집합, ‘유리수’나 ‘실수’이면 무한집합이 된다는 차이를 명확히 알아야 합니다.
”
무한집합의 조건 판별하기
“
주어진 집합이 유한집합인지 무한집합인지 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 집합이 나타내는 원소들을 생각합니다.
– **(유한집합)** 원소의 개수를 셀 수 있거나, 원소가 아예 없는(공집합) 경우입니다.
– **(무한집합)** 원소의 개수가 무한히 많은 경우입니다.
2. ④번의 경우, -3 3. 나머지 보기들은 ‘…’으로 표현되거나, 특정 범위의 ‘실수’ 또는 ‘자연수’ 전체를 나타내므로 무한집합입니다.
주의할 점:
조건제시법으로 표현되었을 때, 원소 x가 어떤 수의 집합(정수, 유리수, 실수 등)에 속하는지를 확인하는 것이 중요합니다.
”
유한집합과 무한집합 구분하기
“
복소수의 거듭제곱을 원소로 하는 집합과, 그 원소들의 제곱의 합으로 만들어지는 새로운 집합에 대한 문제입니다.
접근법:
1. (집합 A 구하기) i의 거듭제곱은 i, -1, -i, 1 네 가지 값을 반복합니다. 따라서 A = {i, -1, -i, 1} 입니다.
2. (원소의 제곱) A의 원소 z₁, z₂를 제곱하면 z₁²과 z₂²은 각각 -1 또는 1이 됩니다.
3. (제곱의 합) 가능한 z₁²+z₂²의 조합을 모두 구합니다.
– (-1)+(-1) = -2
– (-1)+1 = 0
– 1+1 = 2
4. 따라서 집합 B = {-2, 0, 2} 이며, 원소의 개수는 3개입니다.
주의할 점:
복소수 i의 순환성을 정확히 이해하고 있어야 집합 A를 올바르게 구할 수 있습니다.
”
복소수 거듭제곱 규칙으로 집합 원소 구하기
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한 집합의 원소를 더하여 만들어지는 새로운 집합의 합을 이용해, 원래 집합의 원소를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A={a, a+1}의 원소 x, y를 이용하여 집합 B의 원소를 구합니다.
– x=a, y=a → x+y = 2a
– x=a, y=a+1 → x+y = 2a+1
– x=a+1, y=a+1 → x+y = 2a+2
– B = {2a, 2a+1, 2a+2}
2. 집합 B의 모든 원소의 합이 15라고 했으므로, (2a)+(2a+1)+(2a+2) = 15 라는 방정식을 풉니다.
3. a값이 결정되면 집합 A의 원소를 확정하고, 그 원소들의 합을 구합니다.
주의할 점:
집합 B의 원소를 구할 때, x와 y가 같을 수도 있다는 점(x∈A, y∈A)을 고려해야 합니다.
”
두 집합 원소의 합으로 만들어진 새 집합
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두 집합의 원소를 곱하여 만들어지는 새로운 집합이 주어졌을 때, 원래 집합의 미지수를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A의 원소 x와 집합 B의 원소 y를 곱한 모든 결과를 나열합니다. 이 결과에는 미지수 a를 포함한 식들이 포함됩니다.
– (예: -1×1=-1, -1×2=-2, 2×4=8, a×1=a, …)
2. 이렇게 만들어진 원소들의 집합이 문제에서 주어진 집합 P와 같아야 합니다.
3. 집합 P에 포함된 원소들과 비교하여, a, 2a, 4a가 될 수 있는 값들을 추론합니다.
4. 각 경우에 대해 모든 원소가 집합 P에 포함되는지 확인하여 모순이 없는 a값을 찾습니다.
주의할 점:
a가 P의 원소 중 하나일 수 있으므로, a=-4, a=-2, a=-1 등의 경우를 나누어 생각해보는 것이 체계적인 접근법입니다.
”
두 집합 원소의 곱으로 만들어진 새 집합
