“
두 유한집합의 원소의 개수(n(A))를 각각 구하고, 그 차를 계산하는 문제입니다.
접근법:
1. (n(A) 구하기) 집합 A는 15 이하의 소수를 원소로 가집니다. {2, 3, 5, 7, 11, 13} 이므로, n(A) = 6 입니다.
2. (n(B) 구하기) 집합 B는 100 이하의 5의 양의 배수를 원소로 가집니다. 100 ÷ 5 = 20 이므로, n(B) = 20 입니다.
3. 두 값의 차 n(B) – n(A)를 계산합니다.
주의할 점:
소수, 약수, 배수 등 수의 종류에 대한 정의를 정확히 알고 있어야 원소의 개수를 올바르게 셀 수 있습니다.
”
두 유한집합의 원소 개수 계산하기
“
684번 문제와 동일하게, 주어진 집합이 무한집합인 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 조건을 만족하는 원소가 유한개인지 무한개인지 판별합니다.
– ①, ③, ④: 조건을 만족하는 원소가 없으므로 공집합입니다. 공집합은 유한집합입니다.
– ②: 짝수인 두 자리 자연수는 10, 12, …, 98로 유한개입니다.
– ⑤: -1
주의할 점:
같은 범위라도 원소의 조건이 ‘정수’이면 유한집합, ‘유리수’나 ‘실수’이면 무한집합이 된다는 차이를 명확히 알아야 합니다.
”
무한집합의 조건 판별하기
“
주어진 집합이 유한집합인지 무한집합인지 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 집합이 나타내는 원소들을 생각합니다.
– **(유한집합)** 원소의 개수를 셀 수 있거나, 원소가 아예 없는(공집합) 경우입니다.
– **(무한집합)** 원소의 개수가 무한히 많은 경우입니다.
2. ④번의 경우, -3 3. 나머지 보기들은 ‘…’으로 표현되거나, 특정 범위의 ‘실수’ 또는 ‘자연수’ 전체를 나타내므로 무한집합입니다.
주의할 점:
조건제시법으로 표현되었을 때, 원소 x가 어떤 수의 집합(정수, 유리수, 실수 등)에 속하는지를 확인하는 것이 중요합니다.
”
유한집합과 무한집합 구분하기
“
복소수의 거듭제곱을 원소로 하는 집합과, 그 원소들의 제곱의 합으로 만들어지는 새로운 집합에 대한 문제입니다.
접근법:
1. (집합 A 구하기) i의 거듭제곱은 i, -1, -i, 1 네 가지 값을 반복합니다. 따라서 A = {i, -1, -i, 1} 입니다.
2. (원소의 제곱) A의 원소 z₁, z₂를 제곱하면 z₁²과 z₂²은 각각 -1 또는 1이 됩니다.
3. (제곱의 합) 가능한 z₁²+z₂²의 조합을 모두 구합니다.
– (-1)+(-1) = -2
– (-1)+1 = 0
– 1+1 = 2
4. 따라서 집합 B = {-2, 0, 2} 이며, 원소의 개수는 3개입니다.
주의할 점:
복소수 i의 순환성을 정확히 이해하고 있어야 집합 A를 올바르게 구할 수 있습니다.
”
복소수 거듭제곱 규칙으로 집합 원소 구하기
“
한 집합의 원소를 더하여 만들어지는 새로운 집합의 합을 이용해, 원래 집합의 원소를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A={a, a+1}의 원소 x, y를 이용하여 집합 B의 원소를 구합니다.
– x=a, y=a → x+y = 2a
– x=a, y=a+1 → x+y = 2a+1
– x=a+1, y=a+1 → x+y = 2a+2
– B = {2a, 2a+1, 2a+2}
2. 집합 B의 모든 원소의 합이 15라고 했으므로, (2a)+(2a+1)+(2a+2) = 15 라는 방정식을 풉니다.
3. a값이 결정되면 집합 A의 원소를 확정하고, 그 원소들의 합을 구합니다.
주의할 점:
집합 B의 원소를 구할 때, x와 y가 같을 수도 있다는 점(x∈A, y∈A)을 고려해야 합니다.
”
두 집합 원소의 합으로 만들어진 새 집합
“
두 집합의 원소를 곱하여 만들어지는 새로운 집합이 주어졌을 때, 원래 집합의 미지수를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A의 원소 x와 집합 B의 원소 y를 곱한 모든 결과를 나열합니다. 이 결과에는 미지수 a를 포함한 식들이 포함됩니다.
– (예: -1×1=-1, -1×2=-2, 2×4=8, a×1=a, …)
2. 이렇게 만들어진 원소들의 집합이 문제에서 주어진 집합 P와 같아야 합니다.
3. 집합 P에 포함된 원소들과 비교하여, a, 2a, 4a가 될 수 있는 값들을 추론합니다.
4. 각 경우에 대해 모든 원소가 집합 P에 포함되는지 확인하여 모순이 없는 a값을 찾습니다.
주의할 점:
a가 P의 원소 중 하나일 수 있으므로, a=-4, a=-2, a=-1 등의 경우를 나누어 생각해보는 것이 체계적인 접근법입니다.
”
두 집합 원소의 곱으로 만들어진 새 집합
“
다른 집합의 원소를 이용해 새로운 집합의 원소를 정의하고, 그 원소들의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (집합 B 구하기) 집합 A의 원소 a=0, 1, 2를 각각 b=a²+1에 대입하여 집합 B의 원소를 모두 구합니다. B = {1, 2, 5}.
2. (집합 C 구하기) 집합 A의 원소 x와 집합 B의 원소 y를 짝지어 더한 모든 결과를 나열하여 집합 C의 원소를 구합니다. 중복되는 원소는 한 번만 씁니다.
– (예: 0+1=1, 0+2=2, 1+1=2, …)
3. 집합 C의 모든 원소의 합을 계산합니다.
주의할 점:
새로운 집합의 원소를 구할 때, 가능한 모든 조합을 빠짐없이 고려해야 하며, 중복되는 결과는 집합에 한 번만 포함시켜야 합니다.
”
새로운 규칙으로 정의된 집합의 원소 구하기
“
원소나열법으로 주어진 집합을 조건제시법으로 표현할 때, 조건에 맞는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원소나열법으로 주어진 집합 {6, 12, 18, 24, 30, 36}의 특징을 파악합니다. 이들은 ’36 이하의 6의 양의 배수’입니다.
2. 조건제시법은 ‘{x | x는 k보다 작은 6의 양의 배수}’ 입니다.
3. 이 집합이 36을 원소로 포함하려면, k는 36보다 커야 합니다.
4. 이 집합이 그 다음 6의 배수인 42를 포함하지 않으려면, k는 42보다 작거나 같아야 합니다.
5. 따라서 36
주의할 점:
부등식에서 등호가 포함되는지 여부를 정확히 판단해야 합니다. ‘k보다 작다’이므로 k=42일 때 42는 포함되지 않습니다.
”
원소나열법을 조건제시법으로 표현하기
“
조건제시법으로 표현된 집합의 원소가 될 수 없는 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A의 원소는 2ª × 3ᵇ (a, b는 자연수) 형태로 소인수분해되는 수입니다.
2. 즉, 집합 A의 원소는 소인수로 2와 3만을 가져야 하며, 각각의 지수는 1 이상이어야 합니다.
3. 각 보기의 수를 소인수분해하여, 이러한 형태를 만족하는지 확인합니다.
4. 15 = 3¹ × 5¹ 이므로, 소인수 5를 포함하기 때문에 집합 A의 원소가 될 수 없습니다.
주의할 점:
조건에서 a,b가 ‘자연수’라고 했으므로, 2와 3은 반드시 한 번 이상 곱해져야 합니다.
”
조건제시법으로 표현된 집합의 원소 찾기
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벤 다이어그램으로 표현된 집합을 조건제시법으로 올바르게 표현한 것을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 벤 다이어그램에 있는 모든 원소를 원소나열법으로 나타냅니다. A = {1, 2, 3, 6}.
2. 각 보기의 조건제시법이 나타내는 집합을 원소나열법으로 바꾸어 1단계의 집합과 일치하는지 확인합니다.
– ① 10 이하 2의 배수: {2, 4, 6, 8, 10}
– ④ 6의 양의 약수: {1, 2, 3, 6}
3. 두 집합이 일치하는 보기를 선택합니다.
주의할 점:
각 보기의 조건(‘소수’, ‘자연수’, ‘약수’, ‘배수’)을 정확히 이해하고 적용해야 합니다.
”
벤 다이어그램을 조건제시법으로 표현하기
