“
방정식의 해를 원소로 갖는 집합에 대한 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A의 원소는 주어진 삼차방정식의 실수 해입니다.
2. 2 ∈ A 라는 조건은, x=2가 이 방정식의 해라는 의미입니다. 따라서 방정식에 x=2를 대입하여 상수 a값을 먼저 구합니다.
3. a값을 다시 방정식에 대입하여 완전한 삼차방정식을 만듭니다.
4. 조립제법 등을 이용하여 삼차방정식의 모든 해를 구하면, 집합 A의 모든 원소를 알 수 있습니다.
5. 이를 바탕으로 각 보기의 참/거짓을 판별합니다.
주의할 점:
특정 수가 집합의 원소라는 것은, 그 집합의 조건(이 문제에서는 방정식)을 만족시킨다는 의미입니다.
”
방정식의 해를 원소로 갖는 집합
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673번 문제와 동일한 유형입니다. 집합을 원소로 갖는 집합에서 원소(∈)와 부분집합(⊂)을 구분하는 능력을 평가합니다.
접근법:
(ㄱ) ∅는 집합 A의 원소 목록에 있으므로 ∅ ∈ A 는 참입니다.
(ㄴ) 공집합 ∅는 모든 집합의 부분집합이므로 ∅ ⊂ A 는 항상 참입니다.
(ㄷ) 1과 2는 모두 A의 원소이므로, 이들을 중괄호로 묶은 {1, 2}는 A의 부분집합입니다.
(ㄹ) {1,2}는 집합 A의 원소이므로, 이것을 다시 중괄호로 묶은 {{1,2}}는 A의 부분집합입니다.
주의할 점:
∅는 원소일 수도 있고, 모든 집합의 부분집합이기도 합니다. 이 문제에서는 두 가지 역할을 모두 수행합니다.
”
집합을 원소로 갖는 집합의 포함 관계
“
집합의 표현 방법과 포함 관계에 대한 종합적인 이해를 묻는 진위 판별 문제입니다.
접근법:
(ㄱ) 공집합 ∅는 원소가 없는 집합입니다. 0은 숫자 원소이므로, 0 ∈ ∅ 는 틀린 표현입니다.
(ㄴ) ’10보다 작은 소수’는 {2, 3, 5, 7} 입니다. 원소나열법으로 표현된 집합과 일치하지 않습니다.
(ㄷ) 집합 A의 원소 a, b, {a,b}를 모두 가져와 중괄호로 묶었으므로, {a, b, {a,b}}는 A의 부분집합이 맞습니다.
주의할 점:
공집합(∅)과 숫자 0을 혼동하지 않도록 주의해야 합니다. 부분집합은 원래 집합의 원소들로만 구성되어야 합니다.
”
집합의 표현과 포함 관계의 이해
“
원소와 부분집합을 나타내는 기호 ∈ 와 ⊂ 를 명확하게 구분하는 문제입니다. 집합 자체를 원소로 가질 수 있음을 이해해야 합니다.
접근법:
집합 A = { ∅, {∅}, 0, {0,∅} } 입니다.
(∈ 관계) 쉼표(,)로 구분된 형태 그대로가 원소입니다. {∅}와 {0,∅}는 집합 A의 원소입니다.
(⊂ 관계) A의 원소들을 가져와 새로운 중괄호로 묶으면 부분집합이 됩니다. 예를 들어, 원소 {∅}를 가져와 { {∅} } 로 묶으면 A의 부분집합이 됩니다.
주의할 점:
{∅, {∅}} ⊂ A 가 되려면 ∅와 {∅}가 모두 A의 원소여야 합니다. 이 문제에서는 두 가지 모두 A의 원소이므로 ⊂ 관계가 성립합니다. ⑤번은 ∈ 기호를 사용했으므로 틀린 표현입니다.
”
원소와 부분집합 기호(∈, ⊂) 구분하기
“
벤 다이어그램을 보고 두 집합 A, B와 그 원소들의 포함 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. 벤 다이어그램을 보고 각 집합의 원소를 원소나열법으로 나타냅니다.
– A = {2, 4, 6}
– B = {2, 3, 4, 5, 6}
2. 각 보기의 표현이 옳은지 확인합니다.
– 원소와 집합의 관계는 ∈, ∉ 기호를 사용합니다.
– 집합과 집합의 관계는 ⊂, ⊃ 기호를 사용합니다.
주의할 점:
{2, 4}와 같이 중괄호로 묶인 것은 ‘원소’가 아닌 ‘집합’입니다. 따라서 {2, 4} ⊂ A와 같이 부분집합 기호를 사용해야 올바른 표현입니다.
”
벤 다이어그램과 원소의 관계 파악하기
“
수 체계(정수, 유리수, 실수)와 집합의 원소 포함 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
각 보기의 수가 해당하는 수의 집합(Z: 정수, Q: 유리수, R: 실수)에 속하는지 판별합니다.
①, ②, ③ 주어진 수들을 간단히 정리했을 때 각각 실수, 정수, 실수에 포함되는지 확인합니다.
④ √-9는 3i로, 복소수이지만 실수는 아니므로 실수 집합 R에 속하지 않습니다.
⑤ 주어진 분수를 계산하면 최종적으로 1이 되므로 정수 집합 Z에 속합니다.
주의할 점:
무리수도 실수의 일부이며, 허수는 실수가 아님을 명확히 구분해야 합니다. 복소수 계산을 정확히 할 수 있어야 합니다.
”
수 체계와 집합의 포함 관계
“
집합과 원소 사이의 관계를 나타내는 기호 ∈ (속한다)와 ∉ (속하지 않는다)의 의미를 정확히 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. 12의 양의 약수는 {1, 2, 3, 4, 6, 12} 입니다.
2. 보기의 각 숫자가 이 집합 A에 포함되는 원소인지 확인합니다.
3. 포함되면 ∈, 포함되지 않으면 ∉ 기호를 사용한 것이 올바른 표현입니다.
주의할 점:
원소와 집합 사이의 관계는 삼지창 모양의 기호(∈)를 사용합니다. 부분집합을 나타내는 기호(⊂)와 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
집합과 원소의 포함 관계(기호 ∈)
“
668번 문제와 동일하게, 주어진 모임들이 집합의 조건(기준의 명확성)을 만족하는지 판별하는 문제입니다.
접근법:
각 보기를 분석하여 객관적인 기준이 있는지 확인합니다.
(집합인 것) ‘천연기념물’, ‘독도보다 넓이가 큰 섬’, ‘방정식의 해’, ‘제곱하여 -1이 되는 실수'(공집합)는 모두 명확한 기준이 있습니다.
(집합이 아닌 것) ‘유명한’, ‘가까운’ 등은 기준이 주관적입니다.
주의할 점:
원소가 하나도 없는 공집합도 명확한 기준을 만족하는 집합입니다. ‘제곱하여 -1이 되는 실수의 모임’은 원소가 없으므로 공집합입니다.
”
집합이 될 수 있는 조건의 이해
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집합이 되기 위한 가장 중요한 조건을 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
접근법:
집합이 되려면 그 대상을 분명하고 객관적으로 정할 수 있어야 합니다.
보기의 ‘맛있는’, ‘아름다운’, ‘훌륭한’, ‘키가 큰’과 같은 표현은 주관적이고 기준이 명확하지 않아 집합이 될 수 없습니다.
반면, ‘사물함 번호가 짝수인 학생’은 누구나 동의할 수 있는 명확한 기준이 있으므로 집합이 됩니다.
주의할 점:
집합은 기준의 명확성이 핵심입니다. 주관적인 판단이 개입될 여지가 있다면 집합이 아닙니다.
”
집합의 조건(기준의 명확성) 판별하기
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대칭이동과 평행이동으로 변환된 두 점을 잇는 직선의 기울기의 최대/최소를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 점 P를 대칭이동한 점 P’이 그리는 자취(원 C₁)를 구합니다.
2. 점 Q를 평행이동한 점 Q’이 그리는 자취(원 C₂)를 구합니다.
3. 이제 문제는 ‘원 C₁ 위의 점 P”과 ‘원 C₂ 위의 점 Q”을 잇는 직선 P’Q’의 기울기의 최대/최소’를 구하는 것으로 바뀝니다.
4. 기울기가 최대/최소가 되는 경우는, 두 원의 공통 접선일 때입니다.
5. 두 원의 공통 접선의 기울기를 구하고, 주어진 최대/최소값과 비교하여 r과 k의 값을 찾습니다.
주의할 점:
두 원 사이를 지나는 직선의 기울기 범위는 두 원의 공통 접선의 기울기 사이라는 기하학적 통찰이 필요한 최고난도 문제입니다.
”
이동 후 두 원의 공통접선 기울기 최대/최소
