“
집합과 원소 사이의 관계를 나타내는 기호 ∈ (속한다)와 ∉ (속하지 않는다)의 의미를 정확히 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 집합 A를 원소나열법으로 나타냅니다. 12의 양의 약수는 {1, 2, 3, 4, 6, 12} 입니다.
2. 보기의 각 숫자가 이 집합 A에 포함되는 원소인지 확인합니다.
3. 포함되면 ∈, 포함되지 않으면 ∉ 기호를 사용한 것이 올바른 표현입니다.
주의할 점:
원소와 집합 사이의 관계는 삼지창 모양의 기호(∈)를 사용합니다. 부분집합을 나타내는 기호(⊂)와 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
집합과 원소의 포함 관계(기호 ∈)
“
668번 문제와 동일하게, 주어진 모임들이 집합의 조건(기준의 명확성)을 만족하는지 판별하는 문제입니다.
접근법:
각 보기를 분석하여 객관적인 기준이 있는지 확인합니다.
(집합인 것) ‘천연기념물’, ‘독도보다 넓이가 큰 섬’, ‘방정식의 해’, ‘제곱하여 -1이 되는 실수'(공집합)는 모두 명확한 기준이 있습니다.
(집합이 아닌 것) ‘유명한’, ‘가까운’ 등은 기준이 주관적입니다.
주의할 점:
원소가 하나도 없는 공집합도 명확한 기준을 만족하는 집합입니다. ‘제곱하여 -1이 되는 실수의 모임’은 원소가 없으므로 공집합입니다.
”
집합이 될 수 있는 조건의 이해
“
집합이 되기 위한 가장 중요한 조건을 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
접근법:
집합이 되려면 그 대상을 분명하고 객관적으로 정할 수 있어야 합니다.
보기의 ‘맛있는’, ‘아름다운’, ‘훌륭한’, ‘키가 큰’과 같은 표현은 주관적이고 기준이 명확하지 않아 집합이 될 수 없습니다.
반면, ‘사물함 번호가 짝수인 학생’은 누구나 동의할 수 있는 명확한 기준이 있으므로 집합이 됩니다.
주의할 점:
집합은 기준의 명확성이 핵심입니다. 주관적인 판단이 개입될 여지가 있다면 집합이 아닙니다.
”
집합의 조건(기준의 명확성) 판별하기
“
대칭이동과 평행이동으로 변환된 두 점을 잇는 직선의 기울기의 최대/최소를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 점 P를 대칭이동한 점 P’이 그리는 자취(원 C₁)를 구합니다.
2. 점 Q를 평행이동한 점 Q’이 그리는 자취(원 C₂)를 구합니다.
3. 이제 문제는 ‘원 C₁ 위의 점 P”과 ‘원 C₂ 위의 점 Q”을 잇는 직선 P’Q’의 기울기의 최대/최소’를 구하는 것으로 바뀝니다.
4. 기울기가 최대/최소가 되는 경우는, 두 원의 공통 접선일 때입니다.
5. 두 원의 공통 접선의 기울기를 구하고, 주어진 최대/최소값과 비교하여 r과 k의 값을 찾습니다.
주의할 점:
두 원 사이를 지나는 직선의 기울기 범위는 두 원의 공통 접선의 기울기 사이라는 기하학적 통찰이 필요한 최고난도 문제입니다.
”
이동 후 두 원의 공통접선 기울기 최대/최소
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대칭이동과 관련된 두 외접원의 반지름의 관계를 묻는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 점 A, B, C의 좌표를 a를 이용해 나타냅니다. (B는 A의 y=x 대칭, C는 B의 x축 대칭)
2. (외접원 C₁) 삼각형 ABC의 외심을 찾아 반지름 r₁을 구합니다. 세 점이 직각삼각형을 이루는지 확인하면 계산이 간단해질 수 있습니다.
3. (외접원 C₂) 삼각형 AOC의 외심을 찾아 반지름 r₂를 구합니다.
4. r₁ * r₂ = 18√2 라는 등식을 세워 a에 대한 방정식을 풀고, a²의 값을 구합니다.
주의할 점:
외접원의 반지름을 구하는 과정이 복잡합니다. 외심의 정의(세 꼭짓점까지 거리가 같다)를 이용하거나, 외심의 위치에 대한 기하학적 성질을 활용해야 합니다.
”
대칭이동과 두 외접원의 반지름 관계 추론하기
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원 위의 점에서의 접선, 평행선, 그리고 교점을 이용하는 복합적인 문제입니다.
접근법:
1. 기울기가 2이고 원에 접하는 직선 l의 방정식을 구합니다.
2. 교점 A, B의 좌표를 구합니다.
3. 직선 OA의 방정식을 구하고, 원과의 또 다른 교점 C의 좌표를 찾습니다.
4. 점 C를 지나고 x축과 평행한 직선(y=c)과 직선 l의 교점 D의 좌표를 구합니다.
5. 최종적으로 a+b 값을 계산합니다.
주의할 점:
각 단계에서 요구하는 바(접선, 교점 등)를 정확하게 계산해야 합니다. 여러 개의 직선과 점이 등장하므로 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
접선, 평행선, 교점 좌표를 종합하여 계산하기
“
삼각형의 세 변 위를 움직이는 점들로 만들어진 내접 삼각형의 둘레의 최솟값을 구하는 문제입니다. 연속적인 대칭이동을 활용합니다.
접근법:
1. 삼각형의 세 꼭짓점 좌표를 먼저 구해야 합니다. (문제에서 주어진 변의 길이를 이용해 좌표 설정)
2. 둘레 길이 DE+EF+FD의 최솟값은, 한 점(예: F)을 두 변(AB, BC)에 대해 각각 대칭이동한 두 점 F’, F”를 잇는 직선의 길이와 같습니다.
3. 이 최소 길이는 점 F의 위치에 따라 변합니다.
4. 최소 둘레 길이는 점 F가 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발일 때 최소가 됩니다. 이 기하학적 성질을 이용하거나, 점 F를 변수화하여 최솟값을 찾아야 합니다.
주의할 점:
일반적인 삼각형의 내접 삼각형 둘레 최솟값은 수족삼각형(pedal triangle)과 관련이 있으며, 매우 고난도의 기하학적 지식이 필요합니다. 이 문제는 좌표를 설정하여 대수적으로 푸는 것이 현실적입니다.
”
내접 삼각형 둘레의 최솟값 구하기 (대칭이동)
“
연속적인 평행이동을 거친 두 원이 특정 직선과 모두 두 점에서 만날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 C를 x축으로 m만큼 평행이동한 원 C₁의 중심과 반지름을 구합니다.
2. 원 C₁을 다시 y축으로 n만큼 평행이동한 원 C₂의 중심과 반지름을 구합니다.
3. (가) 조건: 원 C₁이 직선 l과 두 점에서 만나므로, (C₁의 중심과 l 사이의 거리) 4. (나) 조건: 원 C₂가 직선 l과 두 점에서 만나므로, (C₂의 중심과 l 사이의 거리) 5. 두 범위를 만족하는 자연수 m, n에 대하여 m+n의 최댓값을 찾습니다.
주의할 점:
두 개의 독립적인 ‘원과 직선이 두 점에서 만날 조건(d
”
평행이동한 두 원이 직선과 만날 조건 찾기
“
원 위의 두 점 A, B가 y=x 대칭 관계에 있고, 특정 조건을 만족하는 다른 두 점 P, Q로 만들어진 사각형의 넓이를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. AP=BP, AQ=BQ를 만족하는 점 P, Q는 **선분 AB의 수직이등분선** 위에 있습니다.
2. 두 점 A, B는 y=x 대칭이므로, 선분 AB의 수직이등분선은 y=-x+k 형태이며 원의 중심(0,0)을 지납니다. 즉, 수직이등분선은 직선 y=-x 입니다.
3. 점 P, Q는 원과 직선 y=-x의 교점입니다. 두 교점의 좌표를 구합니다.
4. 사각형 APBQ의 넓이는 두 삼각형 APQ와 BPQ의 합이며, 이는 1/2 * PQ * (높이의 합) = 1/2 * PQ * AB 와 같습니다.
5. 이 넓이가 2√2 임을 이용해 선분 AB의 길이를 구하고, a,b의 관계식을 통해 ab값을 찾습니다.
주의할 점:
문제의 조건으로부터 점 P,Q가 직선 y=-x 위에 있다는 사실을 추론하는 것이 가장 중요한 단계입니다.
”
y=x 대칭과 수직이등분선을 이용한 넓이 계산
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대칭이동으로 만들어진 두 삼각형의 공통부분의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 점 A, B를 y=x에 대해 대칭이동한 점 C, D의 좌표를 구합니다.
2. 두 삼각형 OAB와 ODC의 각 변을 나타내는 직선의 방정식을 모두 구합니다.
3. 공통부분은 사각형입니다. 이 사각형의 꼭짓점은 원점 O와 두 삼각형의 변들이 만나는 교점들로 이루어집니다.
4. 필요한 교점들의 좌표를 연립방정식을 통해 구합니다.
5. 신발끈 공식을 이용하거나, 전체 삼각형에서 불필요한 부분의 넓이를 빼는 방식으로 공통부분의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
공통부분의 형태를 정확히 파악하고, 그 넓이를 구하기 위한 전략을 세우는 것이 중요합니다. 교점 계산이 여러 번 필요합니다.
”
대칭이동 후 두 삼각형의 공통부분 넓이 계산
