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대칭이동과 관련된 두 외접원의 반지름의 관계를 묻는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 점 A, B, C의 좌표를 a를 이용해 나타냅니다. (B는 A의 y=x 대칭, C는 B의 x축 대칭)
2. (외접원 C₁) 삼각형 ABC의 외심을 찾아 반지름 r₁을 구합니다. 세 점이 직각삼각형을 이루는지 확인하면 계산이 간단해질 수 있습니다.
3. (외접원 C₂) 삼각형 AOC의 외심을 찾아 반지름 r₂를 구합니다.
4. r₁ * r₂ = 18√2 라는 등식을 세워 a에 대한 방정식을 풀고, a²의 값을 구합니다.
주의할 점:
외접원의 반지름을 구하는 과정이 복잡합니다. 외심의 정의(세 꼭짓점까지 거리가 같다)를 이용하거나, 외심의 위치에 대한 기하학적 성질을 활용해야 합니다.
”
대칭이동과 두 외접원의 반지름 관계 추론하기
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원 위의 점에서의 접선, 평행선, 그리고 교점을 이용하는 복합적인 문제입니다.
접근법:
1. 기울기가 2이고 원에 접하는 직선 l의 방정식을 구합니다.
2. 교점 A, B의 좌표를 구합니다.
3. 직선 OA의 방정식을 구하고, 원과의 또 다른 교점 C의 좌표를 찾습니다.
4. 점 C를 지나고 x축과 평행한 직선(y=c)과 직선 l의 교점 D의 좌표를 구합니다.
5. 최종적으로 a+b 값을 계산합니다.
주의할 점:
각 단계에서 요구하는 바(접선, 교점 등)를 정확하게 계산해야 합니다. 여러 개의 직선과 점이 등장하므로 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
접선, 평행선, 교점 좌표를 종합하여 계산하기
“
삼각형의 세 변 위를 움직이는 점들로 만들어진 내접 삼각형의 둘레의 최솟값을 구하는 문제입니다. 연속적인 대칭이동을 활용합니다.
접근법:
1. 삼각형의 세 꼭짓점 좌표를 먼저 구해야 합니다. (문제에서 주어진 변의 길이를 이용해 좌표 설정)
2. 둘레 길이 DE+EF+FD의 최솟값은, 한 점(예: F)을 두 변(AB, BC)에 대해 각각 대칭이동한 두 점 F’, F”를 잇는 직선의 길이와 같습니다.
3. 이 최소 길이는 점 F의 위치에 따라 변합니다.
4. 최소 둘레 길이는 점 F가 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발일 때 최소가 됩니다. 이 기하학적 성질을 이용하거나, 점 F를 변수화하여 최솟값을 찾아야 합니다.
주의할 점:
일반적인 삼각형의 내접 삼각형 둘레 최솟값은 수족삼각형(pedal triangle)과 관련이 있으며, 매우 고난도의 기하학적 지식이 필요합니다. 이 문제는 좌표를 설정하여 대수적으로 푸는 것이 현실적입니다.
”
내접 삼각형 둘레의 최솟값 구하기 (대칭이동)
“
연속적인 평행이동을 거친 두 원이 특정 직선과 모두 두 점에서 만날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 C를 x축으로 m만큼 평행이동한 원 C₁의 중심과 반지름을 구합니다.
2. 원 C₁을 다시 y축으로 n만큼 평행이동한 원 C₂의 중심과 반지름을 구합니다.
3. (가) 조건: 원 C₁이 직선 l과 두 점에서 만나므로, (C₁의 중심과 l 사이의 거리) 4. (나) 조건: 원 C₂가 직선 l과 두 점에서 만나므로, (C₂의 중심과 l 사이의 거리) 5. 두 범위를 만족하는 자연수 m, n에 대하여 m+n의 최댓값을 찾습니다.
주의할 점:
두 개의 독립적인 ‘원과 직선이 두 점에서 만날 조건(d
”
평행이동한 두 원이 직선과 만날 조건 찾기
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원 위의 두 점 A, B가 y=x 대칭 관계에 있고, 특정 조건을 만족하는 다른 두 점 P, Q로 만들어진 사각형의 넓이를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. AP=BP, AQ=BQ를 만족하는 점 P, Q는 **선분 AB의 수직이등분선** 위에 있습니다.
2. 두 점 A, B는 y=x 대칭이므로, 선분 AB의 수직이등분선은 y=-x+k 형태이며 원의 중심(0,0)을 지납니다. 즉, 수직이등분선은 직선 y=-x 입니다.
3. 점 P, Q는 원과 직선 y=-x의 교점입니다. 두 교점의 좌표를 구합니다.
4. 사각형 APBQ의 넓이는 두 삼각형 APQ와 BPQ의 합이며, 이는 1/2 * PQ * (높이의 합) = 1/2 * PQ * AB 와 같습니다.
5. 이 넓이가 2√2 임을 이용해 선분 AB의 길이를 구하고, a,b의 관계식을 통해 ab값을 찾습니다.
주의할 점:
문제의 조건으로부터 점 P,Q가 직선 y=-x 위에 있다는 사실을 추론하는 것이 가장 중요한 단계입니다.
”
y=x 대칭과 수직이등분선을 이용한 넓이 계산
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대칭이동으로 만들어진 두 삼각형의 공통부분의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 점 A, B를 y=x에 대해 대칭이동한 점 C, D의 좌표를 구합니다.
2. 두 삼각형 OAB와 ODC의 각 변을 나타내는 직선의 방정식을 모두 구합니다.
3. 공통부분은 사각형입니다. 이 사각형의 꼭짓점은 원점 O와 두 삼각형의 변들이 만나는 교점들로 이루어집니다.
4. 필요한 교점들의 좌표를 연립방정식을 통해 구합니다.
5. 신발끈 공식을 이용하거나, 전체 삼각형에서 불필요한 부분의 넓이를 빼는 방식으로 공통부분의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
공통부분의 형태를 정확히 파악하고, 그 넓이를 구하기 위한 전략을 세우는 것이 중요합니다. 교점 계산이 여러 번 필요합니다.
”
대칭이동 후 두 삼각형의 공통부분 넓이 계산
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대칭이동을 통해 만들어진 두 삼각형의 넓이 비를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A를 y=x에 대해 대칭이동한 점 A’의 좌표를 구합니다.
2. 두 삼각형 A’BC와 ACB는 밑변 BC를 공유합니다.
3. 따라서 넓이의 비는 **높이의 비**와 같습니다. 높이는 각각 점 A’과 A에서 직선 BC까지의 거리입니다.
4. 점 C(0,k)이므로, 직선 BC의 방정식을 미지수 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
5. 점 A’과 A에서 이 직선까지의 거리를 각각 구하고, 그 거리의 비가 2:1이라는 등식을 세워 k값을 구합니다.
주의할 점:
넓이의 비를 높이의 비로, 높이를 점과 직선 사이의 거리로 변환하여 푸는 문제입니다. 계산 과정에서 절댓값 처리에 유의해야 합니다.
”
대칭이동 후 두 삼각형의 넓이 비 계산하기
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대칭이동과 점과 원 사이의 거리를 결합한 최단 거리 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ, ㄴ)** 대칭이동의 기본 성질과 점과 원 사이의 거리 최솟값 공식을 확인합니다.
2. (ㄷ)** (BR+PR의 최솟값)은 점 B를 x축 대칭한 점 B’과 원 C₁ 위의 점 P 사이의 거리 최솟값입니다. (BS+QS’의 최솟값)도 마찬가지로 점 B’과 원 C₂ 위의 점 Q 사이의 거리 최솟값입니다.
3. 각 최솟값은 (두 중심 사이 거리) – (반지름) 형태로 표현됩니다.
4. 주어진 등식에 이 식들을 대입하면, 점 B’이 두 원의 중심 O’₁, O’₂로부터 같은 거리에 있어야 함을 알 수 있습니다. 즉, B’은 **선분 O’₁O’₂의 수직이등분선** 위에 있어야 합니다.
5. 수직이등분선의 방정식을 구해 점 B’의 좌표를 대입하여 a값을 찾고, OB의 길이를 구합니다.
주의할 점:
각 보기에서 요구하는 바를 정확히 해석하고, 대칭이동과 거리의 최소/최대 원리를 정확하게 적용해야 하는 고난도 문제입니다.
”
대칭이동과 원 사이의 최대/최소 거리 판별
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대칭이동을 이용한 최단 거리 문제입니다. 626, 627번과 유사합니다.
접근법:
1. 경로 AP+PR+RQ+QB를 직선으로 펴기 위해 대칭이동을 활용합니다.
2. 점 A를 점 P,Q가 움직이는 x축에 대해 대칭이동한 점 A’을 구합니다.
3. 점 B를 점 R이 움직이는 직선 y=1에 대해 대칭이동한 점 B’을 구합니다.
4. 최단 거리는 대칭된 두 점 **A’과 B’을 직선으로 이은 거리**와 같습니다.
5. 두 점 A’과 B’ 사이의 거리를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
움직이는 점이 3개이지만 경로가 순차적으로 연결되어 있으므로, 양 끝점을 각각 경로의 첫 번째와 마지막 직선(축)에 대해 대칭시키면 됩니다.
”
연속적인 대칭이동을 이용한 최단 거리 구하기
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대칭이동을 이용한 최단 거리 문제입니다. 점이 x축과 직선 y=x를 모두 거쳐 갑니다.
접근법:
1. 경로가 거쳐가는 축과 직선에 대해 시작점 또는 끝점을 대칭이동시킵니다.
2. 점 A를 점 P가 움직이는 x축에 대해 대칭이동한 점 A’을 구합니다.
3. 점 B를 점 Q가 움직이는 직선 y=x에 대해 대칭이동한 점 B’을 구합니다.
4. AP+PQ+QB의 최솟값은, 최종적으로 이동된 두 점 **A’과 B’을 직선으로 이은 거리**와 같습니다.
5. 두 점 A’과 B’ 사이의 거리를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
여러 개의 움직이는 점이 있을 경우, 각 점이 움직이는 직선(축)에 대해 고정된 양 끝점을 각각 대칭시켜 일직선으로 만드는 것이 기본 원리입니다.
”
대칭이동을 이용한 최단 거리 구하기
