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대칭이동을 통해 만들어진 두 삼각형의 넓이 비를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A를 y=x에 대해 대칭이동한 점 A’의 좌표를 구합니다.
2. 두 삼각형 A’BC와 ACB는 밑변 BC를 공유합니다.
3. 따라서 넓이의 비는 **높이의 비**와 같습니다. 높이는 각각 점 A’과 A에서 직선 BC까지의 거리입니다.
4. 점 C(0,k)이므로, 직선 BC의 방정식을 미지수 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
5. 점 A’과 A에서 이 직선까지의 거리를 각각 구하고, 그 거리의 비가 2:1이라는 등식을 세워 k값을 구합니다.
주의할 점:
넓이의 비를 높이의 비로, 높이를 점과 직선 사이의 거리로 변환하여 푸는 문제입니다. 계산 과정에서 절댓값 처리에 유의해야 합니다.
”
대칭이동 후 두 삼각형의 넓이 비 계산하기
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대칭이동과 점과 원 사이의 거리를 결합한 최단 거리 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ, ㄴ)** 대칭이동의 기본 성질과 점과 원 사이의 거리 최솟값 공식을 확인합니다.
2. (ㄷ)** (BR+PR의 최솟값)은 점 B를 x축 대칭한 점 B’과 원 C₁ 위의 점 P 사이의 거리 최솟값입니다. (BS+QS’의 최솟값)도 마찬가지로 점 B’과 원 C₂ 위의 점 Q 사이의 거리 최솟값입니다.
3. 각 최솟값은 (두 중심 사이 거리) – (반지름) 형태로 표현됩니다.
4. 주어진 등식에 이 식들을 대입하면, 점 B’이 두 원의 중심 O’₁, O’₂로부터 같은 거리에 있어야 함을 알 수 있습니다. 즉, B’은 **선분 O’₁O’₂의 수직이등분선** 위에 있어야 합니다.
5. 수직이등분선의 방정식을 구해 점 B’의 좌표를 대입하여 a값을 찾고, OB의 길이를 구합니다.
주의할 점:
각 보기에서 요구하는 바를 정확히 해석하고, 대칭이동과 거리의 최소/최대 원리를 정확하게 적용해야 하는 고난도 문제입니다.
”
대칭이동과 원 사이의 최대/최소 거리 판별
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대칭이동을 이용한 최단 거리 문제입니다. 626, 627번과 유사합니다.
접근법:
1. 경로 AP+PR+RQ+QB를 직선으로 펴기 위해 대칭이동을 활용합니다.
2. 점 A를 점 P,Q가 움직이는 x축에 대해 대칭이동한 점 A’을 구합니다.
3. 점 B를 점 R이 움직이는 직선 y=1에 대해 대칭이동한 점 B’을 구합니다.
4. 최단 거리는 대칭된 두 점 **A’과 B’을 직선으로 이은 거리**와 같습니다.
5. 두 점 A’과 B’ 사이의 거리를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
움직이는 점이 3개이지만 경로가 순차적으로 연결되어 있으므로, 양 끝점을 각각 경로의 첫 번째와 마지막 직선(축)에 대해 대칭시키면 됩니다.
”
연속적인 대칭이동을 이용한 최단 거리 구하기
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대칭이동을 이용한 최단 거리 문제입니다. 점이 x축과 직선 y=x를 모두 거쳐 갑니다.
접근법:
1. 경로가 거쳐가는 축과 직선에 대해 시작점 또는 끝점을 대칭이동시킵니다.
2. 점 A를 점 P가 움직이는 x축에 대해 대칭이동한 점 A’을 구합니다.
3. 점 B를 점 Q가 움직이는 직선 y=x에 대해 대칭이동한 점 B’을 구합니다.
4. AP+PQ+QB의 최솟값은, 최종적으로 이동된 두 점 **A’과 B’을 직선으로 이은 거리**와 같습니다.
5. 두 점 A’과 B’ 사이의 거리를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
여러 개의 움직이는 점이 있을 경우, 각 점이 움직이는 직선(축)에 대해 고정된 양 끝점을 각각 대칭시켜 일직선으로 만드는 것이 기본 원리입니다.
”
대칭이동을 이용한 최단 거리 구하기
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평행이동과 대칭이동을 거친 점이 만드는 삼각형의 넓이가 최대일 때, 원래 점의 위치를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 P를 이동시킨 점 Q의 자취를 먼저 생각합니다. 점 P가 원 위를 움직이므로, 점 Q 또한 어떤 원 위를 움직입니다. P의 이동 규칙을 역으로 적용하여 Q가 움직이는 원의 방정식을 찾습니다.
2. 삼각형 ABQ의 넓이가 최대가 되려면, 고정된 밑변 AB로부터 점 Q까지의 **높이가 최대**여야 합니다.
3. 높이의 최댓값은 **(Q가 움직이는 원의 중심과 직선 AB 사이의 거리) + (Q원의 반지름)** 입니다.
4. 이 최대 높이를 갖게 하는 점 Q의 위치를 찾고, 이동 규칙을 역으로 적용하여 원래 점 P의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
이동된 점 Q의 자취를 먼저 파악하고, 그 자취 위에서 넓이가 최대가 되는 지점을 찾은 뒤, 다시 원래 점 P로 되돌아오는 역추적 과정이 필요합니다.
”
이동 후 삼각형 넓이 최댓값과 원래 점 위치 추적
“
종이를 접었을 때 두 점이 겹쳐지는 상황은 선대칭 이동을 의미합니다.
접근법:
1. 두 점 A와 B가 겹쳐졌으므로, 접는 선은 **선분 AB의 수직이등분선**입니다.
2. 선분 AB의 기울기와 중점을 이용해 접는 선(대칭축)의 방정식을 구합니다.
3. 점 C와 겹쳐지는 점 D는, 점 C를 이 접는 선에 대해 대칭이동한 점입니다.
4. 점의 직선 대칭 이동 방법(중점 조건 + 수직 조건)을 이용해 점 D의 좌표 (a,b)를 구합니다.
주의할 점:
‘종이를 접어 점이 겹친다’는 표현이 ‘선분의 수직이등분선을 대칭축으로 하는 선대칭’임을 파악하는 것이 핵심입니다.
”
선대칭(종이접기)을 이용해 점의 좌표 구하기
“
삼각형을 평행이동시킨 후, 그 삼각형에 내접하는 원의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 원래 삼각형 OAB가 직각삼각형임을 파악하고 내접원의 중심과 반지름을 구합니다. (삼각형 넓이 공식 S = 1/2 * r * (둘레) 이용)
2. 점 A가 A’으로 이동하는 것을 보고, 이 평행이동이 x축과 y축으로 각각 얼마만큼 이동했는지 평행이동 규칙을 찾습니다.
3. 내접원도 삼각형과 똑같이 평행이동합니다. 1단계에서 구한 원래 내접원의 중심을 2단계의 규칙에 따라 평행이동시켜, 새로운 내접원의 중심 좌표를 구합니다.
4. 평행이동해도 반지름은 변하지 않습니다.
5. 새로운 중심과 반지름으로 원의 방정식을 구하고, 일반형으로 전개하여 계수를 비교합니다.
주의할 점:
도형의 평행이동은 그 도형에 내접하는 원의 평행이동과 같다는 점을 이용해야 합니다. 내접원을 새로 구하는 것은 매우 복잡합니다.
”
평행이동한 삼각형의 내접원의 방정식 구하기
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평행이동 후 두 직선이 일치할 조건을 이용하여, 특정 식의 최솟값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 직선을 x축으로 a, y축으로 b만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이동한 직선이 두 번째 직선과 일치하므로, 두 방정식의 상수항이 같아야 합니다. 이를 통해 a와 b 사이의 선형 관계식(직선)을 얻습니다.
3. 문제에서 요구하는 a²+(b-1)²의 최솟값은, 점 (0,1)과 2단계에서 구한 직선 위의 점 (a,b) 사이의 **거리의 제곱**을 의미합니다.
4. 따라서, 점 (0,1)과 직선 사이의 거리를 구해 제곱하면 그것이 바로 구하는 최솟값이 됩니다.
주의할 점:
a²+(b-1)² 이라는 식의 형태를 보고, 두 점 (a,b)와 (0,1) 사이의 거리 제곱임을 기하학적으로 해석하는 능력이 필요합니다.
”
두 직선 일치 조건으로 점과 직선 사이 거리 최솟값
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두 직사각형이 평행이동 관계에 있을 때, 대응하는 꼭짓점의 좌표를 이용해 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직사각형의 대응하는 꼭짓점 C(4,8)와 G(1,6)를 비교하여, 이 평행이동이 x축과 y축 방향으로 각각 얼마만큼 이동했는지 평행이동 규칙을 찾습니다.
2. 꼭짓점 F는 꼭짓점 B에 대응하는 점입니다. 하지만 B의 좌표를 모르므로 다른 점을 이용합니다.
3. 꼭짓점 E는 꼭짓점 A(6,-3)에 대응하는 점이므로, 1단계에서 찾은 규칙을 적용해 E의 좌표를 구합니다.
4. 사각형 DEFG는 직사각형이므로, 대각선 DF의 중점과 대각선 EG의 중점은 일치합니다. 이 성질을 이용해 F(a,b)의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
평행사변형(직사각형 포함)의 대각선은 서로를 이등분한다는 성질, 즉 ‘대각선의 중점이 일치한다’는 점을 활용하는 것이 핵심입니다.
”
평행이동 규칙과 직사각형 대각선 중점 성질 활용
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평행이동한 직선이 다른 두 직선과 삼각형을 이루지 않을 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 직선을 x축 방향으로 -3만큼 평행이동한 새로운 직선의 방정식을 구합니다.
2. 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 (1) 두 직선 이상이 평행하거나 (2) 세 직선이 한 점에서 만나는 경우입니다.
3. (경우 1: 평행) 이동한 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 a값을 구합니다.
4. (경우 2: 한 점) 미지수가 없는 두 직선의 교점을 먼저 구하고, 그 교점을 이동한 직선이 지나도록 하는 a값을 구합니다.
5. 두 경우에서 나온 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
삼각형이 만들어지지 않는 두 가지 핵심 조건(평행, 한 점에서 만남)을 모두 빠짐없이 고려해야 합니다.
”
평행이동한 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건 찾기
