📌 수능 고득점을 위한 출제 맥락 분석
「이차함수와 직선의 위치 관계 + 중점 조건」 유형은 수능·학력평가에서 15~17번대 중상위 문항으로 반복 출제됩니다.
핵심 공략 포인트는 세 가지입니다.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계로 두 교점의 좌표합·곱을 빠르게 파악
- 기하 조건(중점, 수선의 발, 거리)을 대수 방정식으로 변환하여 미지수 결정
- 두 점 사이의 거리 공식과 (β−α)² = (α+β)²−4αβ 변형을 능숙하게 활용
▸ 이차함수 계수 결정 → 근과 계수 관계 → 거리 공식의 3단계 흐름이 출제의 전형적 뼈대입니다.
💡 출제의도 & 문제풀이 핵심 맥락
| 출제의도 | 이차함수 y = ax²와 직선의 교점을 이차방정식의 근으로 해석하고, 중점의 기하 조건(MH = 1)을 이용해 미지수 a를 결정한 뒤 두 점 사이의 거리를 구하는 능력을 평가 |
| 풀이 흐름 |
STEP A. 교점 방정식 2ax² − x − 2 = 0의 두 근을 α, β로 놓고
근과 계수의 관계 적용 STEP B. 중점 M의 x좌표 = (α+β)/2 = 1 조건으로 a = 1/4 결정 STEP C. α+β = 2, αβ = −4 를 이용해 PQ = (√5/2)·√{(α+β)²−4αβ} = 5 |
| 함정 포인트 | 직선의 기울기가 1/2이므로 PQ 거리에 √(1 + (1/2)²) = √5/2 인수가 붙는다는 점을 놓치지 말 것 |
🔑 문제풀이에 필요한 핵심 개념 키워드
※ 해당 단원 외 필수 연계 개념 중심으로 구성
특히 주의: (β−α)² = (α+β)² − 4αβ 인수분해 변형 & 직선 기울기를 반영한 거리 공식 확장이 이 문제의 핵심 계산 도구입니다.
🎬 해설 동영상
📄 해설 이미지
▶ 해설 1/2 — STEP A·B (근과 계수 관계 & a값 결정)
▶ 해설 2/2 — STEP C & 다른풀이 (PQ 길이 계산)
📚 관련 개념정리 포스트 (C-01, C-02, C-04, C-05)
이 문제를 풀기 전에 아래 개념을 먼저 확인하세요.
✏️ 관련 연산연습 포스트 (P-01, P-03, P-04)
개념 이해 후 연산 속도를 높이고 싶다면 아래 연습문제를 풀어보세요.