📌 핵심 — 교점의 x좌표 α, β는 ‘근과 계수의 관계’로 묶인다
이차함수와 직선의 교점 A, B의 x좌표는 이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 두 근 α, β입니다. 이때 두 근을 직접 구하지 않아도
α + β = −b/a , αβ = c/a
두 관계식만으로 중점·내분점·선분의 길이를 계산할 수 있습니다. 이것이 유형11 문제의 핵심 무기입니다.
왜 α+β = −b/a, αβ = c/a 일까?
1단계 · 인수분해 형태로 쓰기. 이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 두 근이 α, β이면, 좌변은 a(x − α)(x − β) 로 인수분해됩니다.
2단계 · 전개해서 비교하기. 우변을 전개하면
a(x − α)(x − β) = ax² − a(α + β)x + aαβ
이것이 원래 식 ax² + bx + c 와 항상 같아야 하므로, x의 계수와 상수항을 각각 맞춰 보면
−a(α + β) = b ⟹ α + β = −b/a , aαβ = c ⟹ αβ = c/a
3단계 · 교점 좌표에 연결하기. 이차함수 y = x² + px + q 와 직선 y = mx + n 의 교점을 구하면
x² + px + q = mx + n ⟹ x² + (p − m)x + (q − n) = 0
이 식의 두 근 α, β가 곧 교점 A, B의 x좌표이므로 (a=1 이므로)
α + β = −(p − m) = m − p , αβ = q − n
🔧 이 관계식이 곧바로 쓰이는 3가지
① 중점의 x좌표 = (α + β)/2 — 두 근을 구하지 않고 합만으로 결정
② 두 근의 차 (α − β)² = (α + β)² − 4αβ — 선분 AB의 길이 계산의 출발점
③ 내분점·대칭 조건 — α, β의 합·곱으로 미지수 방정식을 세움
적용 예제
예제 1. 근을 구하지 않고 중점·근의 차 구하기
이차함수 y = x² 와 직선 y = 2x + 3 의 두 교점 A(α, ·), B(β, ·)에 대하여, 선분 AB의 중점의 x좌표와 (α − β)²을 구해 봅시다.
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교점에서 y값이 같으므로 x² = 2x + 3 ⟹ x² − 2x − 3 = 0.
근과 계수의 관계에서 α + β = 2, αβ = −3.
① 중점의 x좌표 = (α + β)/2 = 1.
② (α − β)² = (α + β)² − 4αβ = 2² − 4·(−3) = 4 + 12 = 16. (따라서 |α − β| = 4)
※ 검산: 실제로 (x−3)(x+1)=0 → α=3, β=−1. 중점 x = 1 ✓, (3−(−1))²=16 ✓. 근을 직접 구한 결과와 일치합니다.
예제 2. 중점 조건으로 미지수 구하기 (유형11 대표)
이차함수 y = x² − 4x − 6 과 직선 y = mx + n 이 두 점 A, B에서 만나고, 선분 AB의 중점이 (3, 5)일 때 mn의 값을 구해 봅시다.
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교점 조건: x² − 4x − 6 = mx + n ⟹ x² − (4 + m)x − (6 + n) = 0.
두 근(=A, B의 x좌표) α, β에 대해 근과 계수의 관계에서 α + β = 4 + m.
① x좌표 조건 — 중점의 x좌표가 3이므로 (α + β)/2 = 3 ⟹ α + β = 6 ⟹ 4 + m = 6 ⟹ m = 2.
② y좌표 조건 — 중점 (3, 5)는 직선 위의 점이므로 직선 식에 대입: 5 = m·3 + n = 6 + n ⟹ n = −1.
따라서 mn = 2 × (−1) = −2.
※ 중점의 y좌표는 이차함수가 아니라 직선에 대입합니다 — 중점은 두 교점을 잇는 직선(=문제의 직선) 위에 있기 때문입니다.
⚠️ 자주 나오는 실수
• α + β의 부호 실수 — α + β = −b/a. 예를 들어 x² − 2x − 3 = 0 에서는 b = −2이므로 α + β = −(−2) = +2입니다. 계수 앞의 부호까지 함께 대입하세요.
• α + β 와 αβ 혼동 — 합은 −b/a, 곱은 c/a. 중점은 ‘합’, 길이·판별식은 ‘합과 곱’ 모두 필요합니다.
• 중점의 y좌표를 이차함수에 대입 — 중점은 직선 위의 점입니다. 반드시 직선 식에 대입하세요.
• 판별식 확인 누락 — 교점이 실제로 2개 있으려면 D > 0 이어야 합니다. 미지수를 구한 뒤 D > 0 을 만족하는지 점검하면 안전합니다.
📘 관련 개념정리
✏️ 이 개념, 직접 풀어볼까요?
근과 계수의 관계 → 중점·내분점 조건식 세우기, 직접 계산하며 손에 익혀 보세요.